隨機變量的數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用

摘要本文的第一部分應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的相關(guān)知識去解決高等數(shù)學(xué)中一些難以計算的積分問題以及無窮級數(shù)的求和問題，并將這些問題加以推廣得到一般的計算公式。在本文的第二部分通過實例分析向讀者介紹數(shù)學(xué)期望在實際問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)期望 積分的計算 無窮級數(shù)的求和 決策 最大利潤

中圖分類號：O211文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Application of Mathematics Expectation of Stochastic Variable

KOU Bingyu， TENG Xinghu

(Department of Applied Mathematics， Mathematics Department， Science School，

The PLA University of Technology， Nanjing， Jiangsu 211101)

AbstractIn the first part of this paper，the author will apply the knowledge which is relevant to the mathematics expectation to calculating a kind of integrations and infinte series.It is difficult to solve these questions ，if we use the methods of advanced mathematics.In the second part of the paper ，the author will illustrate the application of mathematics expectation in the real world by examples.

Key wordsmathematics expectation; calculation of integrations; the sum of infinte series; making decisions; the maximum of profit

英國邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家杰文斯曾說：“概率論是生活真正的領(lǐng)路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為。”概率論這一數(shù)學(xué)分支也不負(fù)眾望，在眾多領(lǐng)域內(nèi)扮演著越來越重要的角色，取得越來越廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)期望作為隨機變量的一個重要的數(shù)字特征也有著其非常重要的意義，下面從基礎(chǔ)應(yīng)用性和實際應(yīng)用性兩個方面來向讀者介紹隨機變量的數(shù)學(xué)期望。

1 數(shù)學(xué)期望在高等數(shù)學(xué)的一些復(fù)雜計算中的應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是高等數(shù)學(xué)的后繼課程，其發(fā)展離不開高等數(shù)學(xué)的思想和方法。但是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的思想也為解決高等數(shù)學(xué)中的一些復(fù)雜計算提供了事半功倍的途徑。下面從兩個實例出發(fā)，看看概率論的思想是如何解決高等數(shù)學(xué)中復(fù)雜的計算問題的？

1.1數(shù)學(xué)期望在積分計算中的應(yīng)用

例1 計算積分

解：將被積函數(shù)整理得，聯(lián)想到服從正態(tài)分布的隨機變量的密度函數(shù)的形式，可以嘗試將被積函數(shù)化成服從某一正態(tài)分布的密度函數(shù)的形式，這樣本題事實上就轉(zhuǎn)化為了計算隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的問題，從而使計算過程簡單化。所以

其中，X~N(-2，)，故E(X) = -2，D(X) = ，從而

E(X2) = D(X) + E2(X) =

所以根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)容易得到

E(2X2 + 4X + 5) = 2E(X2) + 4E(X) + 5 = 6

故

事實上，我們可以將這一方法推廣到計算這類積分的一般形式，具體如下：

例2 計算積分

解：解：將被積函數(shù)整理得

其中，X~N(- ，)，故E(X) = - ，D(X) = 從而

所以根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)容易得到

1.2數(shù)學(xué)期望在無窮級數(shù)求和中的應(yīng)用

例3 求n2()n-1

解：在高等數(shù)學(xué)中這類無窮級數(shù)的求和也是非常麻煩的，但是如果我們在這里將概率論的思想引入的話就會將計算過程簡單化。引入隨機變量，設(shè)隨機變量服從p = 的幾何分布，即P{ = n} = ·()n-1，則E() == 5，

D() == 20，從而E(2) = D() + E2() = 45

又由于E(2) = n2··()n-1=n2·()n-1 = 45，

故n2()n-1 = 45€? = 225

同樣，我們也可以將這一方法推廣到計算這類無窮級數(shù)的和的一般形式，具體如下：

例4 求n2qn-1（其中0＜q＜1）

解：引入隨機變量，設(shè)隨機變量服從p = 1 - q的幾何分布，即P{ = n} = p·qn-1，則E() = ，D() =，

從而E(2) = D() + E2() =

又由于隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計算可知

E(2) = n2·p·qn-1= p n2·qn-1，

從而p n2·qn-1 = ，

故n2qn-1 ==

2 數(shù)學(xué)期望在實際問題中的應(yīng)用

現(xiàn)實社會中具有很多的不確定因素，那么我們?yōu)榱私鉀Q當(dāng)前或未來可能發(fā)生的問題，在若干可供選擇的行動方案中選擇一個最佳方案，這一過程就成為決策。因此，我們在決策分析過程中，需要進行縝密的邏輯思考，靈活運用概率論知識，這樣就很容易解決一些實際的問題。然而隨機變量的數(shù)學(xué)期望在我們的決策中又起到了至關(guān)重要的作用。下面，我們結(jié)合具體的實例來看看數(shù)學(xué)期望在我們實際生活中的應(yīng)用。

2.1 數(shù)學(xué)期望在生活決策中的應(yīng)用

現(xiàn)在我們來分析法院受理的一宗民事糾紛案例。 如若當(dāng)事人將案件提交法院訴訟，當(dāng)事人不僅僅要考慮勝訴的可能情況下所帶來賠償費用，還應(yīng)考慮到所應(yīng)承擔(dān)的訴訟費。這里就涉及到我們的決策問題——理性的當(dāng)事人往往權(quán)衡之后，做出決策：私下協(xié)商賠償費用而趨于和解，免于起訴。

在下班交通高峰時段發(fā)生一起小型轎車追尾事故，事故造成乙車車主經(jīng)濟損失15萬元，若將案件提交訴訟，訴訟費用共0.5萬元，按雙方所負(fù)責(zé)任的比例由雙方共同承擔(dān)。經(jīng)事故現(xiàn)場的勘察分析，法院對事故的判決有三種可能性：

（1）甲車車主應(yīng)承擔(dān)100%的責(zé)任，賠償乙15萬元經(jīng)濟損失費，并支付全部的訴訟費。

（2）甲車車主應(yīng)承擔(dān)70%的責(zé)任，賠償乙10.5萬元經(jīng)濟損失費，且支付訴訟費3500元（全部訴訟費的70%），乙支付剩余30%的訴訟費1500元。

（3）甲乙兩車車主各承擔(dān)50%的責(zé)任，甲向乙賠償7.5萬元的經(jīng)濟損失費用，訴訟費由雙方各承擔(dān)一半。

乙車車主估計第（1）（2）（3）種情況發(fā)生的概率分別為，0.2，0.7 和0.1， 如果甲車主希望私下和解，他應(yīng)至少給乙多少數(shù)額的賠償費，才會使乙從經(jīng)濟收益上考慮而作出和解的決策？

解：要使乙車車主考慮和解，就要將甲車車主的賠償金額與乙車車主上訴的情況下所得的期望收益進行比較，如果賠償金額大于上訴時的期望收益，為了免于上訴麻煩，乙車主自然會考慮免于上訴，因此，本題就轉(zhuǎn)化為了計算乙車車主的的期望收益問題，也即是要計算在上訴的情況下乙車主所獲得的平均收益，即計算三種情況下收益的平均值，從而將這一決策問題轉(zhuǎn)化為了計算數(shù)學(xué)期望的問題。引入隨機變量X表示乙車主在上訴時可獲得的收益(單位：萬元)，顯然X為一離散型隨機變量，結(jié)合題意，可得其分布律如下：

則乙車車主在上訴時獲得的期望收益為：E(X) = 15€?.2+(10.5-0.8€?.3)€?.7 + (7.5-0.5€?.5)€?.1 = 10.97(萬元)

因此，甲車車主至少應(yīng)給乙車車主10.97萬元，才會使乙車車主考慮做出和解的決策。

2.2數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開它在現(xiàn)實世界的應(yīng)用。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)應(yīng)和強大的應(yīng)用性，使它與經(jīng)濟問題的解決有著密不可分的關(guān)系。下面我們用數(shù)學(xué)期望以及微積分的有關(guān)知識，來看看數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟決策中的應(yīng)用，分析一下商家是如何制定銷售方案以達(dá)到最大利潤的。

例：市場上對某種商品每年的需求量X(噸)服從區(qū)間(2000，4000)上均勻分布，某一代理商進貨數(shù)量為區(qū)間(2000，4000) 中的某一數(shù)值，代理商每銷售一噸商品可獲利3萬元；若供大于求則打折處理，每處理一噸商品虧損1萬元；若供不應(yīng)求，則經(jīng)調(diào)劑后仍可滿足銷售，但此時每噸商品僅獲利2萬元。這個代理商應(yīng)如何確定進貨量，才能使所獲得的平均利潤最大？

解：由于X是隨機變量，在已知其概率分布的前提下構(gòu)造利潤函數(shù)（它是X的函數(shù)），根據(jù)期望利潤最大，確定最佳進貨量或最佳存儲量，為隨機存儲決策提供了切實有效的數(shù)學(xué)模型。

設(shè)進貨量為a噸，利潤為Y萬元 ，構(gòu)造利潤函數(shù)為

X的密度函數(shù)為

根據(jù)隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，得

因此，當(dāng)a = 3000(噸)時，即進貨量為3000噸時，可以獲得最大利潤8500萬元。

通過本文的例子，我們看到數(shù)學(xué)期望不僅僅在高等數(shù)學(xué)的復(fù)雜計算中起到簡化計算的強大作用，也看到了數(shù)學(xué)期望在我們現(xiàn)實生活中解決實際問題所發(fā)揮至關(guān)重要的決策作用，因此隨機變量的這一數(shù)字特征無論是在學(xué)術(shù)上還是在生活中都為我們提供了極大的便利。

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