對中學數學中函數概念教學的思考

摘要中學數學的教與學，都反映出函數概念是一個教學難點。該文分析了函數概念的重要性，探討了函數概念成為教學難點的原因，繼而提出了對函數概念教學的思考。認為應該注意概念的引入順序和方式，強化函數概念多種形式之間的轉化。

關鍵詞函數 概念 教學

中圖分類號：O122 文獻標識碼：A

Thinking of the Function Concept in Middle School's Maths

LAI Shunfa

(Yudu No.8 Middle School， Ganzhou， Jiangxi 342300)

AbstractBoth the teaching and learning of middle schools' Maths reflects the concept of function is a difficult point. This paper analyses its importance and the reason for why it becomes a difficult point， then raises some thinking for the teaching of it. The paper thinks teachers should notice the introduction oder and method of the function concept， and stresses theconversion between a variety of forms.

Key wordsfunction; concept; teaching

0 引言

函數是中學數學教學的核心內容。函數概念的學習，昭示著常量數學到變量數學的轉變。在中學數學教學中加強函數的教學十分重要。原因在于：一是有利于牢固、透徹地掌握基礎知識；二是有利于使學生形成系統的知識；三是有利于與高等數學相互街接，以適應繼續學習的需要；四是有利于培養學生的數學思維能力；五是有利于培養學生分析問題、解決問題的能力，以適應其他學科的學習和將來參加工作的需要。①

從中學數學知識的組織結構看，函數是代數的串聯線。函數的方法是中學數學中從運動變化的角度來認識和處理問題的一個重要方法。利用函數方法可以分析中學數學的許多內容。一方面，利用函數方法，能把數、式子、方程、不等式、數列、曲線與方程（隱函數）、排列組合、極限與微分等有機地統一起來。另一方面，上述相關問題在推演過程中遇到困難時，可以將其轉化為函數問題，利用函數方法來處理和解決。因此，函數的教學非常重要，應當給予充分的重視。

函數的教學貫穿中學數學教學的始終，尤其是高中數學，更是以函數為中心。縱觀整個中學數學的知識構架，函數的概念明確出現了三次。第一次是在初中三年級（也曾在二年級），介紹了函數的變量說；第二次是高中一年級，引入集合、對應的概念，并由此定義函數，給出定義域、值域、對應法則，并研究基本初等函數；第三次是在高三年級，在微積分內容中對函數做了進一步研究。但是筆者在實際教學過程中發現，函數概念是中學生感到最難學的數學概念之一，學生的學習也有同樣反映。那么，這種現象的原因何在？如何有針對性地強化函數概念的教學呢？

1 函數教學困難的原因分析

1.1 函數概念的發展歷史復雜

最早于1692年，萊布尼茨首先使用了函數這樣一個術語；貝努利、歐拉、柯西、狄利克雷、黎曼、豪斯道夫、布爾巴基等都給出了各自的函數定義②，直到1920年代庫拉托夫斯基給出了抽象嚴謹的現代定義，其間經歷了二百余年的時間。函數概念也逐漸從直觀含糊發展到抽象精確。但是需要指出，隨著研究的深入，函數的概念仍處在不斷發展之中。

函數概念是隨著人們對客觀自然認識的逐步深入而不斷發展的，它體現出一種發展變化的特點。人們對函數概念的理解的差異性，導致了其發展變化的復雜性。

1.2 函數概念的表述多樣

函數概念的表述具有多樣性，現行教材中的各種函數的定義，都可以在函數概念發展的歷史中找到其原型。下面截取幾個歷史的函數定義，加以例證。

定義1（柯西定義） 在某些變數之間存在著一定關系，當已經給定其中某一變數的值，其他變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱為自變數，其他各變數則稱為函數。

定義2 （狄利克雷定義）對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數。

定義3 （基于集合的定義）如果對于集合M中的每一個元素x，都有集合N的一個元素y與之對應，則稱y為x的函數。

定義4 （基于映射的定義）設f : A→B是一個映射，若A，B均為非空數集，且B的每個元素都有原象，則稱映射f : A→B是定義域到值域上的函數。

定義5 （現代定義）從集合A到集合B的函數f是滿足以下條件的從A到B的關系：

(1) D(f ) = A

(2) 若(a，b)∈f，(a，c)∈f，則b = c，函數f記作f : A→B。

歷史上還出現過很多形式的函數定義，它們視角有差異，針對的范圍有寬有窄，直觀性差別較大，嚴謹程度有差異，抽象程度也不同；有較粗糙描述性的，有較嚴謹同時利于理解的，有抽象嚴謹布哈理解的。在中學的知識體系中，從范圍狹窄、生動直觀的描述性定義，過渡到較嚴謹抽象的定義，函數概念的表述形式多樣；在實際應用時，人們往往需要同時考慮幾種表示，選取適合于問題的表示形式，并自如的在多種表示之間轉換，這也是函數難學的一個重要原因。

1.3 教師對于函數概念的理解需要強化

在與一些中學數學教師的交流中，筆者發現，部分教師雖然能夠自如地在多種函數表述間轉換，但是不能很好地向學生講清楚。究其原因，還是對函數概念的認識不到位，需要強化對函數概念的理解。

2 關于強化函數概念教學的思考

2.1 重視函數概念多種表示的對比，引導學生熟悉不同表示形式之間的轉化

抽象的表示具有一定的普適性，但是不容易全面理解。學生的理解往往也是片面的；直觀的較為粗糙的表示，使用的范圍狹小，但是它直觀，針對性強，利于理解；利用多種不同表示，可以擴展函數概念的適用范圍，所以，需要對比不同表示，并靈活轉化。

2.2 重視不同表示的引入順序

函數的不同表示具有不同的抽象程度，反映現實對象的角度也有差異，尤其是它們在歷史中出現的先后是有順序的。個人對函數概念的學習過程，要簡約重復人類對函數概念的認識過程，所以，在引入函數概念時，要注意引入的順序，遵循由先到后的次序。

2.3 重視用實例引入函數概念

函數概念起源于對自然認識的加深，它反映了客觀世界的運動變化和實際事物之間的某種依存關系。所以，在教學中要堅持用實例引入函數概念，這樣既可以提高學生學習的積極性，又便于讓學生有機會學以致用，拓展學生的實踐能力。

3 結論

函數概念十分重要，不僅與中學數學的諸多內容聯系緊密，而且由于函數概念的基礎性，它影響深遠，能對高等數學的學習埋下伏筆。所以在教學中，不能僅僅側重于計算能力的培養，還要從函數概念出發培養學生掌握數學最本質的東西。

注釋

①陳志云，鄧樂斌.函數概念與中學數學[J].高等函授學報（自然科學版），1999（5，1）:6-10.

②克萊茵M.古今數學思想[M].上海:上海科學技術出版社，2009.10(1-4冊).