師范生數學證明素養的調查研究

摘要數學證明是中學數學課程改革關注的焦點，也是數學教育研究的熱點。通過調查顯示，我國高師院校師范生對“ 數學證明” 的概念基本上是清晰的，這與他們接受過正規的數學專業本科教育知識有一定的關系，但是他們在“ 數學證明” 上的基本功還是不扎實的。這就要求數學師范生在證明水平上還有待于更進一步的提高。

關鍵詞數學 師范生 證明素養

中圖分類號：G650 文獻標識碼：A

Normal Mathematical Proof Literacy Research

MA Zengying

(Mathematics Science School， Harbin Normal University， Harbin， Heilongjiang 150080)

AbstractThe mathematical proof is the secondary focus of mathematics curriculum reform， which is a hot research of mathematics education. Through the survey shows that China Normal College students on \"mathematical proof\" concept is basically clear. There is a certain relationship that they had a proper knowledge of undergraduate education in mathematics; but they are not solid in the \"mathematical proof\" on the basic skills. This requires that future mathematics teachers has yet to be further improved at the proof level.

Key wordsmathematics; normal; proof literacy

0 引言

數學證明最早起源于希臘，就其本質而言，它與幾何是兩個不同類別的學習對象，證明是不局限于幾何的，代數或其他領域也同樣存在證明。但應該承認，證明的最初起源是幾何，證明教學與學習的主要載體也是幾何，所以古今中外許多數學家一直將證明稱為“幾何論證”。①什么是數學證明？目前多數人接受的說法是：數學證明就是以一些基本概念、基本公理為基礎，運用邏輯規則和方法推導數學命題的方法和過程。②《普通高中數學標準（實驗）》③內容的有關說明中，提到證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明，但是數學結論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎上，通過正確使用推理規律得出結論。《美國學校數學教育的原則和標準》④指出：“數學教學綱要應當集中精力學會將推理和證明作為理解數學的一部分。”

綜上可知，數學證明素養是學生數學能力的重要組成部分，對師范學生而言，數學證明素養是教師專業知識的重要部分，關系其將來從事數學教學的能力和水平。本文著重調查師范院校學生的數學證明素養的情況，具體包括以下兩個方面：一是師范生對數學證明的認識；二是師范生本身的數學證明水平。

1 調查對象

本文的研究數據來自我們最近所做的一次調查。調查的對象是哈爾濱師范大學數學與應用數學專業、哈爾濱學院數學與計算機學07、08級的大學本科師范生，總計165 人。

2 結果與分析

2.1 數學師范生對數學證明的認識

近年來各國對傳統的幾何教材已經進行大膽的改革。我國的新課程改革明確提出了“著眼于培養學生終身學習的愿望和能力”。這對教師提出了要研究證明教學的需要，要了解目前學生學習證明的情況，從而改進教學，達到新課程中對證明的要求。

問題：“代數證明”與“幾何證明”哪個難度更大？為什么？困難在哪里？

對于這個問題，師范生認為，“代數證明”和“幾何證明”各有難處。 其中，“代數證明”的難點包括：“書寫比較困難，常搞不清條件和結論”，“比較抽象”，“變化多端”等；而“幾何證明”的難點則有：“依賴于圖形”，“需要較高的空間想象能力”等。 在總計165名數學師范生中，認為“代數推理”更難的占25.3%，認為“幾何推理”更難的有60.2%，還有一些師范生（14.5%）認為兩者的難點是不同的，會因人而異、因題而異，無法比較。⑤可見，數學師范生們對“數學證明”難度的認識是有差異的。

但是當師范生回答幾何和代數證明哪種比較困難時，我們從數據上還是看到有半數以上的數學師范生認為幾何證明更加困難，原因在于幾何需要更多的圖形和輔助線，而且思維上的跳躍比較大。但在“遇到無從下手的數學證明，而又不選擇放棄的情況下”，多數數學師范生還是會“多方面、用多種可能的方法試試”的，這是值得提倡的。

根據上面的調查，我們可以充分地認為，我國數學師范生對“數學證明”的概念基本上是清晰的。他們對“數學證明”的理解是有一定水平的。

2.2 數學師范生本身的數學證明能力

Healy和Hoyles(2000)對學生數學證明進行了綜合的研究，⑥做了大型的調查研究，以探究學生證明的信念和學生構造證明的能力。國外的研究主要集中在兩個方面:對證明的理解和構造證明的能力。在研究中，發現大多數學生的證明能力薄弱，很難形成有效的證明。

那么，我國數學師范生的情況如何呢？在調查中，我們在不限時的條件下要求學生完成下面的測試題：請用盡可能多的方法證明：“已知：ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。

測試結果

除了上面的證明方法，有的師范生還利用直角坐標系、正弦定理、向量、三角形的面積公式、外接圓等去證明。從書寫的情況看，數學師范生們對證明過程的表述不是特別的規范，并且有些數學師范生給出了錯誤的證法，如“過A作BC 邊上的中線AD，證明：△ABD≌△ACD” ，“ 過A 作BC 邊上的高AD，推出BD=DC” 等。

3 初步結論

從上述兩個方面的調查可以初步看到：（1）我國數學師范生在“數學證明”上的認識和理解還是有一定水平的。可以說，這不僅與他們接受過正規的數學專業本科教育有關，而且也與他們長時期接觸有關幾何論證方面的知識有一定的聯系。（2）我國數學師范生的證明水平相比之下就顯得比較薄弱，這說明數學師范生在證明水平上還有待于更進一步的提高。這就要求在教學過程中應該考慮師范生的思維發展水平，應當集中精力學會將證明作為高師師范生理解數學的一部分 。

注釋

①李文林.文明之光—圖說數學史[M].濟南:山東教育出版社，2005.4.

②Tall D. (2002) Differing Modes of Proof and Belief in Mathematics， International Conference on Mathematics: Understanding Proving and Proving to Understand， 91-107。 National Taiwan Normal University， Taipei， Taiwan.

③中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京:人民教育出版社，2003.

④National Council of Teachers of Mathematics Principles and standards for school mathematics [M]. Reston， VA: Author， 2000.

⑤周超，鮑建生.對中學數學教師證明素養的一次調查[J].數學教育學報，2009(6) .

⑥Lulu Healy， Celia Hoyles A study of conceptions in algebra ，Journal for Research in Mathematics Education，2000(31):396-428.