2011高考廣東數(shù)學(xué)理21題的表述及解答模式探究

普遍認(rèn)為2011年高考廣東數(shù)學(xué)試題偏難，全省理科平均分不足80分．特別地，試卷第21題，且不談那冗長的解答過程，僅那題設(shè)條件，不少數(shù)學(xué)教師已認(rèn)為其晦澀難懂，令考生費解.本文將詳細(xì)分析該題的陳述方式，并給出風(fēng)格迥異的三種解法，讀者將會看到該題之難點，恰是現(xiàn)代數(shù)學(xué)之特點，閱讀全文之后更發(fā)現(xiàn)解答方法豐富多彩.現(xiàn)抄錄該試題（以下簡稱為“試題”）如下：

在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L：y=x2.實數(shù)p，q滿足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的兩根，記（p，q）=max{|x1|，|x2|}.

（1）過點A（p0，p20）（p0≠0）作L的切線y軸交于點B.證明：對線段AB上任一點Q（p，q）有（p，q）=；

（2）設(shè)M（a，b）是定點，其中a，b滿足a2-4b＞0，a≠0.過M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，切點分別為E（p1，p21），E′（p2，p22），l1，l2與y軸分別交于F，F(xiàn)′.線段EF上異于兩端點的點集記為X.證明：M（a，b）∈X

|p1|>|p２|（a，b）=；

（3）設(shè)D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）2-}.當(dāng)點（p，q）取遍D時，求（p，q）的最小值（記為min）和最大值（記為max）.

一、試題表述的鮮明數(shù)學(xué)特征

如所知，現(xiàn)代數(shù)學(xué)具有符號化、抽象性、形式化三大基本特征，縱觀各省的高考數(shù)學(xué)壓軸題的表述形式，日益顯現(xiàn)出這三大特征，本文將分析試題這三個特征.

1． 題面的符號化與抽象性.

試題在“符號化”的思維模式方面表現(xiàn)得淋漓盡致，為數(shù)學(xué)字符眾多（字符約定為字母及組成數(shù)學(xué)符號的單個符號），細(xì)數(shù)下來，共有183個數(shù)學(xué)字符，而現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)實驗教材中函數(shù)概念只有35個數(shù)學(xué)字符；由數(shù)學(xué)符號形成的數(shù)學(xué)概念眾多，出現(xiàn)有拋物線、一元二次方程、不等式、...，最保守計有18個數(shù)學(xué)概念，而2010年高考廣東理科數(shù)學(xué)第21題僅有直角坐標(biāo)系、平面上的點、絕對值、大于等于這4個數(shù)學(xué)概念；試題包含眾多的符號及概念增加試題的信息容量，無疑增加解題者的信息負(fù)擔(dān).試題抽象性表現(xiàn)為多處使用抽象數(shù)學(xué)符號及敘述，如符號“（p，q）=max{|x1|，

|x2|}”，中學(xué)教師普遍反映該式傳遞的信息相當(dāng)抽象，又如“當(dāng)點（p，q）取遍D時”同樣抽象地表達(dá)了“整個區(qū)域”.

2． 題面的形式化.

形式化思維模式被頻繁地使用到試題的敘述之中.如“實數(shù)p，q滿足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的兩根，記（p，q）=max{|x1|，|x2|}.”這樣的敘述就是充分形式化：先抽象地規(guī)定實數(shù)（p，q）滿足條件

p2-4q≥0，再令有序?qū)崝?shù)對約定實系方程x2-px+q=0有實根，最后定義函數(shù)（p，q）=max{|x1|，|x2|}；事實上，一句話“實系數(shù)方程x2-px+q=0恒存在實根x1，x2”就可以表達(dá)上述形式化的含義，而且對于二元函數(shù)（p，q）舉一個具體例子以解釋將更直觀易懂，但形式化不需要直觀.又如“過M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，切點分別為E（p1，p21），E′（p2，p22），l1，l2與y軸分別交于F，F(xiàn)′.線段EF 上異于兩端點的點集記為X.”事實上通過畫圖，那些復(fù)雜的表述將會變得極為淺顯，但形式化拒絕這樣做，特別是那句“線段EF上異于兩端點的點集記為X”，亦是典型的形式化描述，事實只需設(shè)M（a，b）在線段之間就可以了，不過，這樣就失去數(shù)學(xué)家鐘愛的形式化表述模式.

以上題面分析表明，大量使用抽象的數(shù)學(xué)符號，以及多次使用形式化的敘述手段，導(dǎo)致試題的難度顯著增加.

二、多角度探究試題

以下，我們將以完全不同的知識范疇、方法技能解答試題，讀者將發(fā)現(xiàn)每一種解法都將給考生帶來啟示.

1． 數(shù)學(xué)通法模式.

第（1）問證明：

由題設(shè)y=x2，則y′=，從而過A點的切線方程為y-p20=（x-p0），即y=x-p20，由于點（p，q）在線段上，則q=p-p20，從而由x2-px+q=0，得x==，即x1=，x2=p-.

（i）當(dāng)p0＞0時，有0≤p≤p0，x2=p-≤=x1，此時（p，q）=|x1|=.

（ii）當(dāng)p0＜0時，有p0≤p≤0，x1=≤p-=x2≤

-=-x1，此時（p，q）=|x1|=.

第（2）問證明：

l1，l2的方程分別為y=p1x-p12，y=p2x-p22，求得l1，l2 交點M（a，b）的坐標(biāo)（，），由于a2-4b>0，a≠0，即（）2-4#8226;=()2>0，故有|p1|≠|(zhì)p2|.證明M（a，b）∈X|p1|>|p2|.

設(shè)M（a，b）∈X. 當(dāng)p1>0時，0<|p2|. 當(dāng)p1<0時，p1<<0?圯2p1

|p1|>|p2|.

設(shè)|p1|>|p2|，則<1?圯-1<<1?圯0<<2.當(dāng)p1>0時，0<

證明：M（a，b）∈X（a，b）=.

當(dāng)M（a，b）∈X，由（1）中的結(jié)論可知有（a，b）=.即充分條件成立.

當(dāng)（a，b）＝時，必有｜p1|>｜p２|，否則｜p1|<｜p２|.

令Ｙ是l2上線段E′Ｆ ′上異于兩端點的點的集合，由已證的等價式1)M（a，b）∈Ｙ .

再由(1)得（a，b）＝≠矛盾，即｜p1|<｜p２|不成立.故必有｜p1|>｜p２|.

綜上，M（a，b）∈X｜p1|>｜p２|（a，b）＝.

第（3）問解答：

求得y=x－１和y=（x＋１）２－的交點Q1（0，-1），Q2（2，1）其中０≤p≤２，?坌（p，q）∈D，有 ０≤p≤２，（p＋１）２-≤q≤p-1，（p，q）=≥===1，（p，q）=≤=.

在（0，2）上，設(shè)h(p)=（p，q）=，令h′(p)==0，得p=，由于h(0)=h(2)=1，h=（）=，∴（p，q）=hnax=，所以（p，q）≤，故min=1，

nax=.

評注：本解答的特點為將數(shù)學(xué)通法貫穿于整個解答，如用導(dǎo)數(shù)求切線方程和函數(shù)最值，用求根公式、方程組求根、用分類討論處理含參數(shù)的式子.解法2將帶給讀者完全不一樣的風(fēng)格.

2． 個性化模式.

第（1）問證明：

若點（x0，y0）在曲線x2=2py上，過該點切線方程為x0x-p（y-y0）=0，即4y+p20=2p0x，而（p，q）在AB上，∴#8226;p=q+，∴為方程x2-px+q=0的一根，方程另一根為p-.∵Q在AB上，∴p在0與p0之間，∴|p-|≤.∴ （p，q）=.

第（2）問證明：證明M（a，b）∈X|p1|＞|p2|．

由（1）知l1的方程為4y+p2i=2pix，i=1，2， ∴ p1，p２為方程p２-2pa+4b=0的兩根，∴p1+p２=2a，所以有M（a，b）∈Xa在0與p1之間（a-0）（p1-a）＞0#8226;（p1-）＞0p21＞p22|p1|＞|p2|，∴M（a，b）∈X|p1|＞|p2|.

證明M（a，b）∈X（a，b）=，同解法一.

第（3）問解答：

∵（p，q）∈D，∴（p+1）2-≤q≤p-1，∴0≤p≤2.同（2）知，p1，p２為x2-2px+4q=0的兩根，∴ p1= p+，p２= p-.∵p≥0，∴|p1|＞|p2|.對（p，q）≠（2，1），∴（p，q）=，（p，q）=（2，1）時易知同樣有（p，q）=，（p，q）=（ p+）≥（p+|p-2|）≥1，當(dāng)p=2時成立，∴min（p，q）=1.

（p，q）=（p+）≤（p+）=（p+），設(shè)t =，∴p+=2-+t≤，當(dāng)p=時成立，min=1，max=.

評注：本解答過程中沒有使用一個數(shù)學(xué)上的通法，如求根公式、分類討論等，也沒有用到高級的數(shù)學(xué)工具，如導(dǎo)數(shù)，整個解答過程充滿個性化色彩，在每一個需要數(shù)學(xué)通法的時候，解題者都使用數(shù)學(xué)技巧極具智慧地避開繁復(fù)的步驟和冗長的計算.

3． 幾何模式.

第（1）問證明：如圖1，P0是A在x軸的投影，過BＡ與x軸的交點P1作y的平行線，交OA于N，因P1O，P1A是過P1的兩條切線，所以N是線段OA的中點，從而知P1是線段OP0的中點（理由見評注），因為

f（p）=q，所以f（x）=x2-px+q有零點（，0），由于f（x）=x2-px+q的對稱軸滿足＜，故f（x）=x2-px+q兩個零點中離原點較遠(yuǎn)者為，所以有（p，q）=.

第（2）問證明：

如圖2，點P1，P2，N分別是點E，E′，M在x軸上的投影，P3，P4分別是切線FE，F(xiàn)′E′與x軸的交點，則有線段|NP1|=|NP2|（理由見評注），由第（1）知分別P3，P4為線段OP1，OP2的中點.證明M（a，b）∈X|p1|＞|p2|.M（a，b）∈X|NP1|＞|NP2||OP1|=|ON|+|NP1|>|NP2||p1|＞|p2|，所以M（a，b）∈X|p1|＞|p2|成立.證明M（a，b）∈X（a，b）＝，M（a，b）∈X|OP3|=|OP1|=（|ON|+|NP1|）＝（|ON|+|ON|+|OP2|）=（2|ON|+2|OP4|）=|ON|+|OP4|（|ON|≠0）|OP3|>|OP4|，即>，所以M（a，b）∈X（a，b）-成立.

第（3）問解答同方法一.

評注：幾何模式既無個性化模式的高超數(shù)學(xué)技能，也無數(shù)學(xué)通法模式的固定程序，將圖形畫出來后，曲線之間的關(guān)系一目了然，但需要熟悉圓錐曲線的幾何性質(zhì)，本解答的關(guān)鍵性質(zhì)是“如果作拋物線的一對切線OQ，OQ′并且作平行于軸的直線OV，交QQ′于V，那么QQ′被V點平分.”讀者可自行證明此定理.

三、給考生復(fù)習(xí)帶來的啟示

以上分析告訴我們，試題表述的形式化、符號化已成為當(dāng)今高考試題命題的趨勢，而命題者亦將這種代表數(shù)學(xué)特征的表述形式作為提升試題難度的手段，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該注重數(shù)學(xué)閱讀，特別要經(jīng)常有目的地關(guān)注形式化表述數(shù)學(xué)關(guān)系的手法，如本試題中用符號定義直觀圖形，再用該定義給出數(shù)學(xué)關(guān)系.以上數(shù)學(xué)通法解題模式、個性化解題模式、幾何解題模式代表解題過程中常用的三種思考方向，通法有時會帶來繁復(fù)的運算，過多的步驟，此時需要適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)技巧來簡化，如果我們在解題考慮到符號關(guān)系的圖形特征，將無疑會給思路帶更明確的方向，因此如何融合這種解題模式是教學(xué)中要解決的問題.

（ 作者單位：華南師范大學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅

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