集合中常見的幾類易錯問題

集合是數學中最基本的概念，集合語言是現代數學的基本語言，因而在每年的高考中必考.在歷年的高考數學試卷中，集合問題多以選擇題、填空題的形式出現，考查的內容有集合的概念、集合的運算等，屬于容易題的范疇，一般難度不大.但在集合學習中，我們有時會遇到一些似是而非的問題，此類問題往往是由于我們對某些概念或公式的認識不深，使我們在解題時容易造成一些失誤.

易錯問題1. 忽視“空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集”而導致思維不全出現錯誤

空集是不含任何元素的集合，具有以下性質：?哿A，?芴A（Ａ≠），Ａ∪＝Ａ，A∩＝.在解有關集合的問題時，常因忽略這些性質而造成不是解題過程殘缺不全，就是解題過程多余，因此在解題中應引起高度重視.

例1． 集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|log(x2-5x+8)=-1}，C={x|x2+2x-8=0}，求a的值使A∩B?芡，且A∩C=同時成立.

錯解：由log(x2-5x+8)=-1，由此得x2-5x+8=2，∴B={2，3}.由x2+2x-8=0，∴C={2，－4}，又A∩C=，∴2和－4都不是關于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，而A∩B?芡 ，即A∩B≠，

∴3是關于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，∴可得a=5或a=－2 .

剖析：上述解答忽視了當a=5時，得A={2，3}，∴A∩C={2}，這與A∩C=不符合，所以a=5應舍去；而當a=－2時，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B?芡 ，所以a=-2 .

點評：空集是一個特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解決有關類似于A∩B?芡，且A∩C=等集合問題時，易忽視空集的情況而產生增解.

例2． 已知集合P={x|x2-x-6>0}，Q={x|x2+6x+m<0}，滿足Q?哿P，求實數m的取值范圍.

錯解：P={x|x>3或x<-2}，Q={x|-3-

剖析：上述解答忽視了“空集是任何集合的子集”這一結論，即Q=時，△=36-4m≤0?圯m≥9，不等式x2+6x+m<0的解集為空集.所以m的取值范圍為{m|m≥9}.

點評：空集是一個特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解決有關類似于A∩B＝，A?哿B等集合問題時，易忽視空集的情況而漏解.

易錯問題2. 忽視集合中元素的互異性

集合中元素的互異性是指集合中任何兩個元素都是互不相同的，相同元素歸入同一集合時只能算作一個元素.我們在解題中常常因忽視這一重要屬性而導致錯誤.

例3． 若A={2，4，m3-2m2-m+7}，B={1，m+1，m2-2m+2，-(m2-3m-8)}，且A∩B={2，5}，求實數m的值.

錯解：依題意m3-2m2-m+7=5，解得m=2或m=±1，故m的值是2或±1.

剖析：當m=1時，集合B中有兩個元素為1，與集合中元素的互異性相矛盾，故應舍去t=1.

點評：集合中元素的互異性是集合的重要屬性，解題時常常被忽視而導致錯誤.

變式題． 若集合A＝{1，2，x，4}，B＝{x2，1}，A∩B＝{1，4}，則滿足條件的實數x的值為 ()

A． 4B． 2或－2 C． －2D． 2

錯解：依題意x2=4，解得x=2或x=-2，故x的值是2或－2.

剖析：當x=2時，集合A中有兩個元素為2，與集合中元素的互異性相矛盾，故應舍去x=2.答案：C.

易錯問題3. 忽視集合中代表元素的含義

在集合的運算中，對集合本身概念不清是導致錯誤最直接的原因之一，通常要搞清集合中元素的表現形式或其元素的含義這兩個方面.

例4． 若A={y|y=1-x2，x∈R}，B={x|y=}，則A∩B等于()

A. {(1，0)，（－1，0）} B．{1，-1}

C．{1}D． {x|x≤－1或x=1}

錯解：由y=1-x2，y=x=1，y=0 或x=-1，y=0，故選A.

剖析：本題容易把集合A，B看作兩條曲線上的點集而錯選答案A，事實上集合A、B均表示數集，由A={y|y=1-x2，x∈R}={y|y≤1，y∈R}，B={x|y=}={x|x2-1≥0}={x|x≥1，x≤-1}，所以A∩B={x|x≤－1或x=1}，故選D.

點評：集合是由元素構成的，認識集合要從認識元素開始，忽視代表元素的含義，將出現錯誤.本題中，集合A，B中的元素均為數而不是點.

例5． 已知M＝{y|y＝x＋1}，N＝{(x，y)|x2+y2＝1}，則集合M∩N中元素的個數是 ()

A． 0B． 1 C． 2 D． 多個

錯解：由y=x+1，x2+y2＝1x=0，y=1或 x=-1，y=0，故選C.

剖析：本題容易把集合M，N看作直線和圓上的點集而錯選答案C，事實上集合M是數集、而N是點集，所以M∩N=，故選A.

點評：集合是由元素構成的，忽視代表元素的含義，即元素的一般形式，混淆數集與點集將出現錯誤.本題中，集合N是點集，而集合M是數集，不是點集.

易錯問題4. 忽視隱含條件的限制

在利用集合的交集、并集或補集求某些元素的范圍時，一定要搞清楚題中的隱含條件.

例5． 已知P={y|y=x2-4x+3，x∈Z}，Q={y|y=-x2-2x，x∈Z}，求P∩Q.

錯解：∵ P={y|y=(x-2)2-1≥-1，x∈Z}，Q={y|y=-(x+1)2+1≤1，x∈Z}，當x∈Z時，y∈Z， ∴M∩N={y|y=-1，0，1}.

剖析：∵x2-4x+3=-1時，x=2∈Z，且-x2-2x=-1時，x=-1±Z，∴ －1M∩N.同理可證，1M∩N，0∈M∩N，∴ M∩N=｛0｝.

點評：x∈Z時，y∈Z，但是當 x取遍整數集合中的所有元素時，y未必能取遍大于或等于－1的所有整數.

綜上所述，在進行集合的運算中應注意以下幾點：

(1)注意集合語言和集合思想的運用；

(2)注意空集是任何集合的子集；

(3)注意題中的隱含條件；

（4）注意題中的代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解題時分清是點集、數集還是其他的集合．

（5）注意題中的元素組成：集合是由元素組成的，從研究集合的元素入手是解集合題的常用方法．

（6）注意題中的集合能否化簡：有些集合是可以化簡的，如果先化簡再研究其關系，可使問題變得簡單明了、易于解決．

（7）注意善于利用數形結合：常運用數形結合形式，如數軸、坐標系和Venn圖來解決集合問題.

注意了上述這些問題以后，在解決這類題目時就會達到事半功倍的效果.

（作者單位：貴州省龍里中學）

責任編校 徐國堅

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