數學思想方法在集合問題中的應用

集合是每年高考必考的知識點，若以選擇題或者填空題的形式出現，主要有兩種考查傾向，一是考查集合的基本概念，二是一些基本運算問題；當然也不排除出解答題的可能，集合常與其他知識（如函數、方程、不等式等）進行交匯命題，考查中學數學的一些數學思想方法.在解答集合這部分內容中的數學問題時，倘能積極挖掘問題中隱含的數學思想方法，能使復雜的問題變得條理清楚，脈絡分明，起到化難為易、化繁為簡、事半功倍的作用. 為幫助2012屆的考生更好地把握如何利用數學思想方法解題，本文總結了集合中比較常考的思想方法，并對每一種思想方法先作一個總體的闡述，然后配以典型的例題輔以說明，旨在引導考生盡快領會如何應用所介紹的方法解題，相信新一屆高三的同學們閱讀后會有不少的收獲.

一、利用直接法解題

直接法就是從題設條件出發，通過正確的運算、推理或判斷，直接得出結論再與選擇支對照，從而解題的一種方法.

例1（2011年高考天津卷）已知集合A={x∈R|x+3+x-4≤9}，B={x∈R|x=4t+-6，t∈（0，+∞）}，則集合A∩B=.

分析 要解答本題，首先就要理解兩個集合所表達的意義，集合里的一些符號及集合的運算法則.

解析 因為t>0，所以4t+≥4，所以B={x∈R|x≥-2}；由絕對值的幾何意義可得：A={x∈R|-4≤x≤5}，所以A∩B={x|-2≤x≤5}.

點撥 運用直接法在解答客觀題時需要扎實的數學基礎，即必須熟練掌握課本上的基本概念、基本定理、公式、法則等，利用直接法來解答的題目是相當多的，希望同學們在復習備考時應注意把基礎部分的把握落到實處.

二、利用數形結合法解題

數形結合是指根據問題的數量和相關圖形間的關系，認識問題的數學特征，求得問題解決的一種數學思想，應用數形結合思想解答集合部分問題的關鍵是由問題的數量關系作出或構造其幾何圖形，或由已知圖形分析其數量特征，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而快速找到解題的途徑. 在每年的高考中，利用數形結合法解答客觀題（包括填空與選擇題）的頻率是相當高的，希望同學們應注意和重視數形結合法解題.

例2 （2011年高考江蘇卷）設集合A={（x，y）|≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=，則實數m的取值范圍是.

分析 本題綜合考察集合及其運算、直線與圓的位置關系、含參分類討論、點到直線距離公式、兩條直線位置關系、解不等式，這道集合問題比較抽象，是一道難題，根據題目的意思，我們不妨借助利用數形結合法解答

解析 當m≤0時，集合A是以（2，0）為圓心，以m為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間，∵+m=（１－）m+>0，因為A∩B≠，此時無解；當m>0時，集合A是以（2，0）為圓心，以和m為半徑的圓環區域，集合B是在兩條平行線之間的帶狀區域，必有≥m，≤m，∴≤m≤+1. 又因為≤m2，∴≤m≤+1.

點評 有的集合問題比較抽象，解題時若借助韋恩圖進行數形分析或利用數軸、圖像，采用數形結合方法，往往可使問題直觀化、形象化，進而能使問題簡捷、準確地獲解

例3已知集合A={（x，y）|x2+（y-1）2=1}，B={（x，y）|x+y+a≥0}，若A∩B=A，求實數a的取值范圍.

分析 A，B均為點集，A是一個圓上的點組成的集合，B是一個平面區域組成的集合，A∩B=A說明圓在平面區域內，據此我們考慮數形結合思想方法來解題.

解析 A∩B=A?圳AB，所以圓x2+（y-1）2=1總在平面區域x+y+a≥0內，如右圖所示，當x=y=0時，x+y+a≥0中的a≥0，所以直線y=-x-a的截距小于零，在坐標系中作出平面區域和圓，當直線y=-x-a在圖中的位置且向左下方平移時，均滿足條件，故只需求出臨界狀態下的截距.由直線y=-x-a與圓x2+（y-1）2=1相切，得=1，解得a=-1或a=--1（舍去）. 所以實數a的取值范圍是a≥-1.

點評 本題可以用代數法求解，但是過程復雜，運算量大，根據題目的特征，我們利用數形結合思想，快速解答了本題. 通過本例題可以看出，通過挖掘問題的幾何意義，構造出問題的幾何模型，以形助數，用數形結合法既可借助直觀獲得簡捷解法，又可避免因對限制條件考慮不周造成的失誤，還有利于溝通數學各個分支.

三、利用特殊與一般的思想方法解題

對于某個一般性的問題，如果一時難于解決，那么可以先解決它的特殊情況，即將研究對象的全體變為研究屬于這個全體中的一個對象或部分對象，然后再把解決特殊情況的方法或結論應用或推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解決，這就是特殊化思想.從特殊情況出發，推出一般情況的結論的思想方法在數學解題中是隨處可見的，特殊情況比較容易猜想出結論.

例4 （2011年高考廣東卷）設S是整數集Z的非空子集，如果a，b∈S，有ab∈S，則稱S關于數的乘法是封閉的． 若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且a，b，c∈T，有abc∈T；x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結論恒成立的是（）

A． T，V中至少有一個關于乘法是封閉的

B． T，V中至多有一個關于乘法是封閉的

C． T，V中有且只有一個關于乘法是封閉的

D. T，V中每一個關于乘法都是封閉的

分析 這是一道以集合知識為背景的開放性定義型問題，近兩年來廣東的高考都考了類似的題，從評卷的情況來看，此題失分大，失分的主要原因是題目字母多，比較抽象，考生不適應這類新定義（運算）問題的解答，解此類問題的關鍵是理解并且掌握題目給出的新定義與（新運算），思路是利用特殊與一般化地思想方法構造出滿足題目條件的特殊的集合，這樣就降低了題目的難度，有助于同學們正確理解題意.

解析 取T={x|x∈（-∞，1]，且x∈Z}，V={x|x∈[2，+∞），且x∈Z}，可得T關于乘法不封閉，V關于乘法封閉；又取T={奇數}，V={偶數}，可得T與V關于乘法均封閉，故排除B，C，D，選A.

例5 （2011年高考浙江卷）設a，b，c為實數，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1），記集合S={x| f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R）}，若S，T分別為集合S，T的個數，則下列結論不能成立的是（）

A. S＝１且 T＝0B. S＝１且 T＝1

C. S＝２且 T＝２D. S＝２且 T＝３

分析 這道高考題同樣是字母符號多，要理解的概念多，初看難于下手，倘若我們給字母賦予特殊值，則題目就變成簡單容易理解了，使題目快速獲得解答.

解析 若a=b=c=0，則f（x）=x3=0，得到S=1，g（x）=1，g（x）=0無解，因此 T＝0，即選項A有可能成立；若a=1，f（x）=x（x2+bx+c），又滿足b2-4c<0，則得到S=1且T=1成立，即f （x）=0與g （x）=0都僅有一個解x=-1，即選項B也是有可能成立的；若a=1，f（x）=x（x2+bx+c），又滿足b2-4c=0（如b=2，c=），則得到S=2且T=2成立，即f （x）=0與g （x）=0有兩個解x=-1和x=-，即選項C也是有可能成立的；若T=3，則b2-4c＞0，從而導致f（x）=（x+a）（x2+bx+c）也有3個解，因此S＝２且 T＝３不可能成立，選D.

點評 從上述兩道高考題的解答來看，凡是遇到抽象晦澀難懂的集合題目時我們都可嘗試利用特殊與一遍的思想方法解題，命題對一般情況成立，對特殊情況也成立；對特殊情況不成立，對一般情況肯定不成立，選取特殊時也要注意選取恰當的集合，否則容易出錯.

四、利用分類討論思想方法解題

當面臨的數學問題有多種情形加以說明，不能一概而論或不能用一種方法或同一的形式加以解決時，我們必須把面臨的對象劃分為幾類，分別加以解決，這就是分類討論思想方法.

例6 設集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定義運算為：AiAj=Ak，其中k為i+j被4除的余數，i、j=0，1，2，3則滿足關系式（xx）A2=A0的x的個數為（）

A. 1B. 2C.3D. 4

解析 Aj表示由被4除的余數i（i=0，1，2，3）組成的集合，若x=A0，則xx=A0A0=A0，A0A2=A2≠A0；若x=A1，則xx=A1A1=A2，A2A2=A0，繼續驗證x=A3，A2分別與x=A1，A0情況相同，選B.

點評 應用分類討論思想方法解答問題時要做到能根據解題需要確定討論對象及討論的范圍，把討論對象進行合理的分類，做到不重復、不遺漏，對每一類分別進行討論，最后將各類的結論歸納、化簡，得出結論.

五、利用轉化與化歸思想解題

在解集合問題時，當一種集合的表達式不好入手時，可將其先轉化為另一種形式. 如將A∩B=B或A∪B=A轉化為BA，將（UA）∪（UB）轉化為U（A∩B），將（UA）∩（UB）轉化為U（A∪B）等，轉化與化歸思想在解答集合部分的題目的作用是相當大的，在解題中有意識地利用轉化與化歸思想解題有助于提高解題的能力和速度.

例7 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若A∪B=A，求實數m的值.

分析 由A∪B=A轉化為BA，我們就容易理解題意了.

解析 A={x|x2-3x+2=0}={1，２}.

因為A∪B=A，所以BA.

當B＝時，m=0，滿足題意.

當B≠時，若x=1，則有m=1，滿足題意.

若x=2，則有m=，滿足題意.

綜上所述實數m的值為0，1，.

點評 本題的這種解法充分體現了將問題進行等價轉化的重要性. 很多同學在解題時由于不會等價轉化，從而忽視對空集的討論，導致漏解.

六、利用補集思想方法解題

補集思想是解答數學問題中的一種重要的思想方法，補集思想是“正難則反”的發散性思維的運用，是逆向思維的一種表現方式，從正面嘗試解答某個問題遇到障礙時，補集思想往往會成為解題的有效手段，其基本步驟是：從其反面來考慮，先求其補集，再次求補集即為所求集合.

例8 已知集合P={x|4≤x≤5，x∈R}，Q={x|k+1≤x≤2k-1，x∈R}，求當P∩Q≠Q時，實數k的取值范圍.

分析 P∩Q≠Q的情況比較復雜，若正面求解，需要一一列舉出來分別討論，然后再求并集，運算量相當大，并且不容易考慮周全，注意到“≠”比較特殊單純，從問題的反面去思考探究，就容易得到正面結論，這就是補集思想在解題的靈活運用.

解析 若P∩Q=Q時，即QP，

當Q=時，k+1>2k-1，解得k<2.

當Q≠時，k+1≥4，2k-1≤5，k+1≤2k-1，解得k=3.

所以當k<2或k=3時P∩Q=Q，

故當k≥2且k≠3時P∩Q≠Q.

例9 設全集U={2，４，２m2-3m-3}，集合A={2，m2-m+2}，UA={-1}，求m的值.

分析 初看這道題不容易下手，通過挖掘題目中的條件，可得UA∪A=U，所以m2-m+2只能等于4，或者-1一定在集合U中但不在集合A中，則問題迎刃而解了.但是要注意檢驗.

解析 因為UA={-1}，所以-1∈U，得2m2-3m-3=-1，得2m2-3m-２=０，解得m＝２或m＝-.

把m＝-代入集合Ａ，得到Ａ={２，}，m＝-不合題意，舍去；

把m＝２代入集合Ａ，得到Ａ={２，４}，合題意. 所以m＝２.

點評 解答上述兩道題的關鍵是充分利用了集合中的補集思想和基本性質，在解答與補集有關的命題時，要注意的是（1）補集中的元素一定是全集中的元素，但是全集中的元素不一定是補集中的元素，也就是說補集是全集的子集.（2）根據條件確定集合中的參數的值時，列方程是關鍵，解出參數后要驗證，否則易出錯.

（作者單位：廣東省五華縣五華中學）

責任編校徐國堅

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