函數(shù)綜合復(fù)習(xí)的“四個(gè)抓手”

函數(shù)是貫穿于高中數(shù)學(xué)的一條主線，它的知識(shí)點(diǎn)多、涉及面廣、綜合性強(qiáng)，是高考經(jīng)久不衰的考查熱點(diǎn).函數(shù)綜合復(fù)習(xí)關(guān)注以下四個(gè)抓手，能有效鞏固函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、圖像等)，并與相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，提高解決函數(shù)問(wèn)題的能力.

抓手1：以分段函數(shù)為載體的問(wèn)題

一般地，在自變量的不同取值范圍內(nèi)，函數(shù)有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)常常稱為分段函數(shù). 以分段函數(shù)為載體的問(wèn)題，主要有求函數(shù)值、求解析式、求最值、判斷單調(diào)性、求函數(shù)的零點(diǎn)、周期性、畫(huà)圖像和求參數(shù)范圍等題型，在高考中常考常新. 解決分段函數(shù)問(wèn)題，要處理好整體與局部的關(guān)系， 注重?cái)?shù)形結(jié)合、分類討論思想方法的運(yùn)用.

例1． 已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c，（x≤0）2，（x＞0）且f（－４）＝f（0），f（－２）＝－２，求函數(shù)f（x）－５x的零點(diǎn).

解析：f（－４）＝f（0）?圯16-4b+c=f（0）=c?圯b=4，f（－２）＝－２?圯c＝－２.當(dāng)x≤0時(shí)，x2+4x+2=5x，x１＝１，x２＝２；當(dāng)x＞0時(shí)，5x＝２，x＝. 因此函數(shù)f（x）－５x只有一個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)零點(diǎn)的求解方法和分類討論的思想. 先由條件確定待定系數(shù)b，c，不能代錯(cuò)分段解析式；再分別求x≤0和x＞0時(shí)方程f（x）－5x=0的實(shí)數(shù)根.函數(shù)的零點(diǎn)是新增內(nèi)容，注意它與方程實(shí)根的關(guān)系.

例2．已知函數(shù)f（x）=，x≥2（x-1）3，x＜2若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解析：當(dāng)x≥2時(shí)，＝k，x＝. 由≥2，得0＜k≤1.此時(shí)x＝是方程f（x）=k的一個(gè)實(shí)數(shù)根. 當(dāng)x＜2時(shí)，（x-1）3=k，x=＋１.由＋１＜2，得k＜１. 此時(shí)x=＋１是方程f（x）=k的一個(gè)實(shí)數(shù)根. 使0＜k≤1與k＜1同時(shí)成立的是 0＜k＜1，這時(shí)兩實(shí)根不等. 故實(shí)數(shù)k的取值范圍是 0＜k＜1.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分類討論的思想和不等式的解法. 先分別求x≥2和x＜2時(shí)方程f（x）=k的實(shí)數(shù)根，再解出相應(yīng)的不等式，最后求不等式解集的交集.

例3．已知f（x）=（2-a）x+1，x＜１ax，x≥1是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （）

A． （1，+∞） B． [，2）

C． （1，]D． （1，2）

解析：因?yàn)閒（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，所以f（x）在（-∞，1）和[1，+∞）上是增函數(shù)，于是2-a＞0且a＞1?圯1＜a＜2. 又畫(huà)圖可知還要保證一次函數(shù)在（-∞，1]上的最大值不大于指數(shù)函數(shù)在[1，+∞）上的最小值，即取2-a+1≤a與1＜a＜2的交集，所以≤a＜2，故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題以分段函數(shù)為載體，融指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、解不等式組、函數(shù)的圖像等知識(shí)于一體，具有一定的綜合性，很容易出錯(cuò). 這里不能僅根據(jù)分段函數(shù)兩個(gè)局部的單調(diào)性來(lái)斷定整個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，即僅有2-a＞0，a＞1確定實(shí)數(shù)a的取值范圍是錯(cuò)誤的，必須觀察圖像考慮兩個(gè)局部連接點(diǎn)的情況，得到2-a+1≤a.實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)該由不等式組2-a＜0，a＞1，2-a+1≤a確定.注意函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，而不是整體性質(zhì)， 函數(shù)在兩個(gè)不同區(qū)間遞增（或遞減），那么在這兩個(gè)區(qū)間的并集上不一定遞增（或遞減）.對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題要特別關(guān)注這一點(diǎn).

抓手2: 以抽象函數(shù)為載體的問(wèn)題

一般地，沒(méi)有給出具體的函數(shù)（對(duì)應(yīng)法則），僅含有抽象的函數(shù)符號(hào)、抽象的函數(shù)結(jié)構(gòu)式或抽象的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)往往稱為抽象函數(shù). 以抽象函數(shù)為載體的問(wèn)題既是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，又是高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的交匯點(diǎn)，更是高考在逐年加大考查力度的重點(diǎn).賦值法是破解這種問(wèn)題的有效途徑，必須切實(shí)掌握.

例4.定義在R上的函數(shù)y= f（x），f（0） ≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）#8226;f（y）.（1）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，有0＜f（x）＜1;（2）證明：f（x）是R上的增函數(shù);（3）解不等式f（x）#8226;f（2x-x2） ＞1.

解析：（1）令x=y=0，則f（0）= f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1 .當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0.∵f（x）#8226;f（-x）= f（0）=1， ∴f（-x）= ＞1，∴0＜f（x）＜1.

（2）設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＞1且f（x1）＞0，∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）#8226;f（x1）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函數(shù).

（3）由題意知，原不等式等價(jià)于f（3x-x2）＞f（0）.又f（x）在R上是增函數(shù)，∴3x-x2＞0 ，∴0＜x＜3，故此不等式的解集是（0，3）.

點(diǎn)評(píng)：本題以抽象函數(shù)為載體，主要考查賦值法、函數(shù)單調(diào)性的定義和函數(shù)單調(diào)性的逆用.常見(jiàn)的抽象函數(shù)關(guān)系式有f（x+y）=f（x）#8226;f（y）、f（x+y）=f（x）+f（y）、f（ax）=af（x）、f（xy）=f（x）+f（y）、f（x-y）=、f（x-y）=f（x）-f（y）、f=f（x）-f（y）等等，在解題中要引起注意.

例5．若函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+3）=成立， 試判斷f（x）是不是周期函數(shù)，為什么？

解析：對(duì)抽象關(guān)系式作整體聯(lián)想，立即發(fā)現(xiàn)其與tan（x+）=極為相似，因此視tanx為f（x）的一個(gè)原型，而tanx的周期?仔是的4倍，由此猜想4×3是f（x）的一個(gè)周期.

事實(shí)上，f（x+6）===-.

進(jìn)一步得到f（x+12）=-=f（x）.所以f（x）是周期函數(shù)，12k（k≠0，k∈Z） 是其周期.

點(diǎn)評(píng)： 一般地，若函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=-f（x）（a≠0），則f（x）是周期函數(shù)，且周期是2ak（k≠0，k∈Z）；若函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=±（a≠0），則f（x）是周期函數(shù)，且周期是2ak（k≠0，k∈Z）；若函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=±（a≠0），則f（x）是周期函數(shù)，且4ak（k≠0，k∈Z）是它的周期.

抓手3：以函數(shù)中恒成立為載體的問(wèn)題

以函數(shù)中恒成立為載體的問(wèn)題，是高考考查函數(shù)的熱點(diǎn). 恒成立問(wèn)題中往往涉及到的知識(shí)點(diǎn)多、字母多、綜合性較強(qiáng)，能有效檢驗(yàn)考生的數(shù)學(xué)思維水平和綜合能力.注重最值法、分離變量法、換元法、圖像法、不等式法、導(dǎo)數(shù)法的靈活運(yùn)用.

例6．已知a＞0，且a≠1，f（x）=x2-ax，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)恒有f（x）＜成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：從f（x）＜推出x2-＜ax.令g（x）=x2-，h（x）=ax，則f（x）＜在（-1，1）上恒成立，即g（x）＜h（x）在（-1，1）上恒成立.作出g（x），h（x）的圖像.

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，只要g（1）≤h（1），即1-≤a，a≥，所以≤a＜1；當(dāng)a＞1時(shí)，只要g（-1）≤h（-1），1-≤a-1，a≤2，所以1＜a≤2. 綜上a∈[，1）∪（1，2].

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于超越不等式x2-＜ax恒成立問(wèn)題，用傳統(tǒng)方法往往難以求解.若用函數(shù)觀點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系，就可以利用它們的圖像直觀觀察，得到相應(yīng)的不等式，從而順利確定參數(shù)a的取值范圍.整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了“數(shù)?邛形?邛數(shù)”.

例7．已知f（x）=loga（x+1），點(diǎn)P是函數(shù)y=f（x）圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q形成函數(shù)y=g（x）的圖像.若當(dāng)a＞1，且x∈[0，1）時(shí)，總有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析： 設(shè)Q（x，y），∵P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，-y），又點(diǎn)P （-x，-y）在函數(shù)y=f（x）的圖像上，∴-y=loga（-x+1），即g（x）=-loga（1-x）.

所以2f（x）+g（x）=2loga（x+1）-loga（1-x）=loga，即a＞1且x∈[0，1）時(shí)loga≥m恒成立，即m≤loga.

設(shè)u==（1-x）+-4，令t=1-x，t∈（0，1].

∵ u（t）=t+-4，t∈（0，1]，∴u（t）在t∈（0，1]上單調(diào)遞減， ∴u（t）的最小值為1.

又∵a＞1，∴l(xiāng)oga的最小值為0，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤0.

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)中的恒成立為載體，主要考查函數(shù)圖像的對(duì)稱性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、換元法、雙勾函數(shù)（x+（a＞0））的性質(zhì)等等.一般地，不等式f（x）＜k（＜k為實(shí)數(shù)）在x∈I上恒成立?圳fmax＜k（x∈I）；不等式f（x）＞k（k為實(shí)數(shù)）在x∈I時(shí)恒成立?圳fmin＞k（x∈I） .

抓手4：以定義函數(shù)中的新概念為載體的問(wèn)題

在高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的知識(shí)交匯處命題是近幾年高考命題的一種新趨勢(shì)， 其中定義函數(shù)中的新概念題屬高頻考點(diǎn)， 這與函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的主線分不開(kāi). 此類問(wèn)題往往具有背景新、情境新、結(jié)構(gòu)新的特點(diǎn)，常常置于選擇題、填空題或解答題靠后的位置，成為高考試卷的亮點(diǎn).

例8．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù).例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù).下列命題：①函數(shù)f（x）=x2（x∈R）是單函數(shù)；②若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A，且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B為單函數(shù)，則對(duì)于任意b∈B，它至多有一個(gè)原象；④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）在此區(qū)間上一定是單函數(shù). 其中的真命題是.（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

解析：對(duì)于①，由x21=x22得，x1=±x2，①錯(cuò). 對(duì)于②，假如f（x1）=f（x2），則由單函數(shù)的定義得x1=x2，與x1≠x2矛盾， ②對(duì). 對(duì)于③，假如b有兩個(gè)原象 x1，x2，且x1≠x2，即f（x1）=f（x2）=b，則由單函數(shù)的定義得x1=x2，與x1≠x2矛盾， ③對(duì). 對(duì)于④， 函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則對(duì)于此區(qū)間上的任意x1，x2，且x1＜x2都有f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2），即對(duì)于此區(qū)間上的任意x1，x2，且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），此命題等價(jià)于單函數(shù)的定義， ④對(duì). 故所有的真命題是②③④.

點(diǎn)評(píng)：本題定義“單函數(shù)”概念，主要考查考生閱讀、理解、遷移新知識(shí)的能力，以及運(yùn)用反證法的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想處理問(wèn)題的能力.解題的基本步驟是：弄懂新定義，按定義判斷.

例9．對(duì)于函數(shù)f（x），如果f（x）可導(dǎo)，且f（x）=f′（x）有實(shí)數(shù)根x0，則稱x0是函數(shù)f（x）的新駐點(diǎn).若函數(shù)g（x）=x，h（x）=ln（x+1），?漬（x）=cosx在x∈（，?仔）上的新駐點(diǎn)分別是x1，x2，x3，則x1，x2，x3，的大小關(guān)系是.

解析：由g（x）=g′（x），得x1=1. 由?漬（x）=?漬′（x），得x3=.由h（x）=h′（x），得 ln（x+1）=.在同一個(gè)坐標(biāo)系下畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像，得0＜x2＜1.因此x3＞x1＞x2.

點(diǎn)評(píng)：本題定義函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，主要考查考生閱讀、理解、遷移新知識(shí)和數(shù)形結(jié)合的能力. 解題的基本步驟是：弄懂新定義，按定義求新駐點(diǎn)，確定大小關(guān)系.

例10．先閱讀以下兩個(gè)定義：定義1：若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間D上也可導(dǎo)，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記作f′′（x），即f′′（x）=（f′（x））′.定義2：若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)恒為正， 即f′′（x）＞0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上為凹函數(shù).

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b在x=1處取得極值.（1）試判斷f（x）=x3+ax2+b在（，+∞）是否為凹函數(shù)， 寫(xiě)出理由; （2）求證：對(duì)于任意的x1，x2?綴（，+∞），都有f≤[f（x1）+f（x2）]成立.

解析：（1）因?yàn)閒（x）=x3+ax2+b， 所以f ′（x）=3x2+2ax.

函數(shù)f（x）=x3+ax2+b在x=1處取得極值，則f′（1）=3+2a=0?圯a=-而f′′（x）=6x+2a=6x-3.當(dāng)x＞，f′′（x）=6x-3＞0，故f（x）=x3+ax2+b在（，+∞）為凹函數(shù).

(2）任取x1，x2?綴（，+∞），則[ f（x1）+f（x2）]-2f（）=x31-x12+b+x32-x22+b-2[（）3-（）2+b]=（x1-x2）2（x1+x2）-（x1-x2）2=（x1-x2）2（x1+x2-1）.

因?yàn)閤1＞，x2＞，所以x1+x2-1＞0，從而（x1-x2）2（x1+x2-1）≥0. 即f≤[f（x1）+f（x2）].

點(diǎn)評(píng)：本題以高等數(shù)學(xué)中的凹函數(shù)與其二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為背景，通過(guò)給出凹函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的定義（設(shè)置新情境），考查考生閱讀、理解、遷移新知識(shí)和推理運(yùn)算能力. 解題的基本步驟是：弄懂新定義，按定義證明，作差證明不等式.

（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）

責(zé)任編校徐國(guó)堅(jiān)

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