2011年高考廣東數學試卷評析

2011年廣東高考數學試卷分文、理兩卷，試題整體穩定、難易適中，貼近考生，有利于素質教育和高校選拔新生；充分體現了考基礎、考能力、考素質、考潛能和以考生發展為本的考試目標，對今后中學數學教育改革有良好的推動與導向作用.針對這套試卷讓我們一起來看下述三個問題.

一、試題特點

（1）基礎題以小綜合的形式出現

統觀全卷，基礎題分值約占72分（選擇題與填空題的最后一題未列入其中，而解答題的第一題屬于基礎題），這些基礎題無一例外的都是涉及多個知識點的小型綜合題，有的是本題所在章節知識范圍內的綜合如：第1、3、4、6、7、10、11、16；有的是與章節外的知識的綜合如：第2題（圓與集合）、第5題（線性規劃與平面向量），由于基礎試題的綜合性，使考查的力度明顯加大.

請看：（理第5題）已知平面直角坐標系xOy上的區域D由不等式組0≤x≤■，y≤2，x≤■y給定.若M(x，y)為D上動點，點A的坐標為(■，1)．則z=■·■的最大值為（ ）

A. 4■ B. 3■C. 4D. 3

簡解:如圖，區域D為四邊形OABC及其內部區域，z=（x，y）·（■，1）=■x+y，即z為直線則y=-■x+z的縱截距，顯然當直線y=-■x+z經過點Ｂ（■，２）時，z取到最大值，從而zmax=（■）２＋２＝４，故選Ｃ.

這是一道位于試卷第5的試題，應該說是一道簡單題，但做起來并非十分簡單.首先要會計算z=■·■，然后，再回歸線性規劃問題.此題能保證百分這八十的考生都能做對嗎？我看很難.

（2）部分試題背景新穎、思路靈活

高考的公平性原則對命題人設計試題的背景提出了較高的要求.本次考試，有些試題的設計確實讓你不得不佩服得五體投地，請看：第13題“某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為cm.”

解析：根據題中所提供的信息，可知父親與兒子的對應數據可列表如下：

■=173，■=176，∴b=■=■＝１，a=■-b■=176-173=1， ∴所以回歸直線方程為y=x+3，從而可預測也他孫子的身高為１８２＋３＝１８５cm.

對于此題本人在高二的兩個班中進行課前小測讓學生用八分鐘的時間完成，結果一個班中50名同學只有11人做對，另一個班50名同學中只有10 人做對.高考的結果也可想而知了.為什么會這樣呢？試題背景新、靈活性自然增大，在本題中其實有四代人，其中三個父親、三個兒子，認清這一點后x，y的變量的關系式也就產生了，否則，結論永遠無法產生.

（3）加強思想、方法的考查

數學思想是數學的精髓，對數學解題具有指導作用；本卷中主要考查的數學思想有：

①特殊化思想：

第3題：若向量■，■，■滿足■//■，且■⊥■，則■·（■＋２■）＝（ ）

A． 4B． 3C． 2D． 0

解：由■//■，令■=（1，0），■=（2，0），又■⊥■，令■=（0，1），則立得答案D.

第4題：設函數f（x）和g（x）分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是（ ）

A． f（x）+g（x）是偶函數

B. f（x）-g（x）是奇函數

C．f（x）＋g（x）是偶函數

D．f（x）-g（x）是奇函數

解：設f（x）=x2，g（x）=x，則立得答案A.

②數形結合思想，如第19題：設圓C與兩圓（x+■）2+y2=4，（x-■）2+y2=4中的一個內切，另一個外切.

（1）求C的圓心軌跡L的方程.

（2）已知點M（■，■），F（■，0）且P為L上動點，求MP-FP的最大值及此時點P的坐標.

我們看：

解：（１）設Ｆ ′（－■，0），Ｆ（■，0），并設圓Ｃ的半徑為r，則CF ′-CF=（２＋r）-（r-2）=4，又４<2■，∴C的圓心軌跡是以Ｆ ′，F為焦點的雙曲線，且a=2，c=■，從而b=1，∴C的圓心軌跡Ｌ的方程為：■-y2=1.

（２）如圖，MP-FP≤ＭＦ＝２，等號當且僅當Ｐ為直線ＭＦ與雙曲線的位于線段ＭＦ的延長線上的那個交點處取得，直線ＭＦ的方程為：2x+y-2■=0，將直線方程代入雙曲線方程中并整理得：

（３■x-14）（■x-6）=0，x1=■，x2=■=■>■，

∴P點的橫坐標應取■＝■，代入得其縱坐標為－■，綜上所述，MP-FP的最大值為２，此時點Ｐ的坐標為（－■，■）.

本題的兩問中，集中體現的是數形結合思想.第一問通過畫出圖形，結合圖形產生了“CF ′－CF＝４”，進一步產生結論，第二問的求解中，我們不僅能夠從“MP-FP”中窺視到三點共線時產生最值，還能夠從中找出哪一點是取得最值的點.數形結合，不僅便于直觀求解，更重要的是它產生結論的方法，幾乎是唯一方法.

③歸納、猜想、證明.第20題“設b>0，數列an滿足a1=b，an=■（n≥2），（1）求數列{an}的通項公式”

解：當b=2時，■=■+■，此時，■=■，從而an=2.

當b≠2時，a1=b，a2=■=■，a3=■=■，猜想an=■，下面用數學歸納法證明：

①當n=1時，猜想顯然成立；

②假設當n=k時，ak=■，則ak+1=■=■=■，

所以當n=k+1時，猜想成立，由①②知，?坌n∈N*，an=■．

很早以前，高考特別重視對這一思想方法的考查.時至今日，它又卷土重來，重新讓我們走這條路.想一想，不奇怪.新課標教材對考生觀察、分析、推理、論證的能力有特殊要求，為此還在教材中專門設立一章“推理與證明”，顯然，這就非常正常了.

另有方程思想、函數思想、分類討論思想等都溶解試題的求解過程之中.數學思想、方法的合理選擇，可以看出考生思維的靈活性，把數學思想方法置于數學試題之中可以很快的抓住問題的本質，準確的將問題轉化，從而順利地進行求解.

（4）精巧試題層出不窮，亮點隨處可見

理科第6、7、8、13、20、21題，文科第2、6、7、9、10、12、13、18、19、21題等都是非常漂亮的精巧試題，欣賞一下理科的第8題：

設S是整數集Z的非空子集，如果?坌a，b∈S，有ab∈S，則稱S關于數的乘法是封閉的．若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z且?坌a，b，c∈T，有abc∈T，?坌x，y，z∈V有xyz∈V．則下列結論恒成立的是（ ）

A． T，V中至少有一個關于乘法是封閉

B． T，V中至多有一個關于乘法是封閉

C． T，V中有且只有一個關于乘法是封閉

D． T，V中每一個關于乘法是封閉

分析：若C正確，則T，V中有且只有一個關于乘法是封閉，此時A一定正確；于是C一定不正確；同理若D正確，則A也一定正確；于是正確答案就在A、B之中.

又當Ｔ＝奇數，Ｖ＝偶數時，T，V顯然關于乘法都是封閉的，故選A.

（5）注重知識的交匯性

關注知識的內在聯系和綜合，在知識網絡的交匯點處設計試題，是高考命題改革與發展的基本要求；本套試卷較準確地突出了這一要求；第16題文理試題幾乎相同，本題考查了三角函數、誘導公式、特殊角的三角函數值、兩角和與差的三角函數等，將三角的知識與技能融為一體進行了較綜合的考查，但試題難很小，屬于廣大考生普遍能得分之題.第17題文、理都是概率統計題考到的基礎知識有：抽樣方法、標準差、統計表、古典概型、分布列與數學均值等.立體幾何主要考查線面位置關系，文理試題的難度都不大，但求解此題應用立幾中的所有的基礎知識與基本技能，可以說是立幾范圍內質量較好的綜合性試題.注：理科題還可以建立空間直角坐標系進行求解，只是要找好三條兩兩垂直的直線.最具代表性的試題是理科第20題的第二問，讓我們一起來欣賞一下：

當b=2時，an=2，■+1=2，∴an=■+1，從而原不等式成立;當b≠2時，要證an≤■+1，只需證■≤■+1，即證■≤■＋■，

即證■≤■＋■，

即證n≤■+■+■+…+■+■+■+■+…+■+■，

而上式左邊=（■+■）＋（■+■）+…+（■+■）＋（■+■）≥２■＋２■＋…＋２■＋２■=n.

∴當b≠2時，原不等式也成立，從而原不等式成立.

本題與不等式的交匯達到了近乎完美的程度，既相當隱含又非常靈活.

（6）加強對算運算的合理性與科學性的考查

2011年高考考綱明確指出，運算能力包括分析運算條件，探究運算方向，選擇運算公式，確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.下面我們一起來欣賞理科壓軸題，看看在這一題中是如何體現考綱的要求.

在平面直角坐標系xOy上，給定拋物線Ｌ:y＝■x2.實數p，q滿足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的兩根，記?覫（p，q）=max{x1，x2}.

（１）過點A（p0，■p02）（p0≠0）作Ｌ的切線交y軸于點Ｂ.證明：對線段ＡＢ上的任一點Ｑ（p，q），有?覫（p，q）=■;

（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a2-4b>0，a≠0.過M（a，b）作L的兩條切線l1，l2，切點分別為E（p1，■p12），E′（p2，■p22），l1，l2與y分別交于F，F′.線段EF上異于兩端點的點集記為X.證明：

M（a，b）∈X?圳p1>p2?圳?覫（a，b）=■；

（3）設D=（x，y）y≤x-1，y≥■（x+1）2-■，當點（p，q）取遍D時，求?漬（p，q）的最小值（記為?漬min）和最大值記為（記為?漬max）.

解：（１）顯然A（p0，■p02）在拋物線L上，∴過點Ａ的拋物線Ｌ的切線方程為：y-■p02=■p0（x-p0），即y=■p0x-■p02，若p0>0，則線段AB的方程為y=■p0x-■p02（0≤x≤po）；若p0<0，則線段AB的方程為y=■p0x-■p02（p0≤x≤0）；又若p2-4q≥0，則方程x2-px+q=0的兩根為■，若Q（p，q）在線段ＡＢ，則q=■p0 p-■p02，從而p2-4q=（p-p0）2，∴ x1，2=■，當p0>0時，0≤p≤p0，則?覫（p，q）=max{x1，x2}=■=■=■；當p0<0時，p0≤p≤0，則?覫（p，q）=max{x1，x2}=■=■.

故對線段ＡＢ上的任一點Ｑ（p，q），?覫（p，q）＝max{x1，

x2}=■.

（２）由（１）知，若Ｍ（a，b）∈X，則?漬（a，b）=■，若Ｍ（a，b）?埸X根據（1）知，若p1>0，b=（a-p1）2（a>p1或a<0），x1，2=■，∴當a>p1時，?漬（a，b）＝■=a-■≠■（∵ a≠p1）；當a<0時，?漬（a，b）＝■=■-a≠■（∵ a≠０）.

這就是說，當Ｍ（a，b）?埸X時，?漬（a，b）≠■，即當?漬（a，b）＝■時，Ｍ（a，b）∈X.同理，當p1<0時，照樣可證當?漬（a，b）＝■時，Ｍ（a，b）∈X.綜上Ｍ（a，b）∈X?圳 ?漬（a，b）＝■.顯然若Ｍ（a，b）∈X，等價于Ｍ在線段Ｅ′Ｆ′的延長線上，不妨設p１<０，則p2>0（如下圖），∴b=（a-p1）2（p1p2，∴p1>p2，同理，當p1>0時，由Ｍ（a，b）∈X，可得p1>p2，綜上所述Ｍ（a，b）∈X?圳p1>p2 ?圳?漬（a，b）＝■.

（３）如下圖，Ｄ表示直線y=x-1下方及拋物線y=■（x+1）2-■上方的區域（含邊界），易知Ａ（0，-1），B（2，1），當點（p，q）∈D時，■（p+1）2-■≤q≤p-1，從而（p-2）2≤p2-4q≤4-2p（0≤p≤2），■≤?漬（p，q）=■≤■，∴?漬（p，q）≥■=1，即?漬min=1，設■=t∈[0，2]，則■＝■=■=■≤■，∴ ?漬max=■，綜上所述，?漬min=1，?漬max=■.

很多考生反映本題的難度大，讀一遍都十分吃力.首先本題的新定義“?覫（p，q）=max{x1，x2}”讓一少考生無法認識.其次，在第一問的證明上條件“對線段ＡＢ上的任一點Ｑ（p，q）”的利用，也讓不少考生難以下手，這些都增大試題的難度.其實第一問還算常規建立在分類的基礎上，利用上Ｑ（p，q）在線段AB上，不難產生結論.第二問難度較大，應該說是四個命題的合成，首先可以充分利用第一問的結論，說明“若Ｍ（a，b）∈X，則?漬（a，b）＝■”及“當Ｍ（a，b）?埸X時，?漬（a，b）≠■”，顯然這里既證明了原命題也證明了否命題，合在一起正好證明了一個充要條件.再結合方程說明“Ｍ（a，b）∈X?圳p1>p2”，也就完成了第二問的證明.可見對運算的合理與科學性的要求有多高？第三問其實是一個獨立的內容，首先求得p的范圍，進一步轉化為求閉區間上函數的最值，應該說，這一問的難度是不太大的，若不是被前兩問嚇蒙了的話，完成這一問的求解是完全有可能的.

（7）熱點、重點內容的考查

當向量、導數、概率與統計進入中學教材以來，始終是倍受關注的熱點.人們普遍認為：高考一定會考.理由很簡單，因它是新增的，要借助高考的“指揮大棒”來召示中學師生：這些內容很重要.理科卷，僅上述三個內容試題分值已超過35分（即第3、6、13、17、21題）；文科卷，僅上述三個內容試題分值已達35分（即第3、13、17、19題）.可見，熱點果然有內容.

另一個古老的熱點問題：應用性問題.考試說明對應用意識要求較高，它指出：能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中簡單的數學問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型；應用相關的數學方法解決問題并加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明.本次試卷中，理科考了三題，涉及分數約23分，文科考了兩題涉及分數約18分.與去年相比有較大的減少.

二、試卷的布局

理科卷中選擇題與填空題共14道，有兩題（第8題與第13題）屬于難題.第6題、第10題與第13題皆屬于概率與統計試題，第6題的隱含條件隱的“太深”，輕易發現不了，當發現后就不難了.但第8題與第13題就不同，它真的很難.六個解答題第16題、第17題、第18題屬于基礎題與中檔題，只要練習到位還是很容易得分的，值得一提的是，只要你在高考前認真的閱讀過《高中》關于高考的預測的幾篇文章，完成這幾題也不成問題，因為它都在哪幾篇文章的預測之中.后三題都有難度，尤其是最后兩題，對于很多考生幾乎都成了廢題，中山市廣一模的數學冠軍說：最后一題連讀三遍，不明其意，只得放棄.

可以看出難題的分布欠佳，第8題、第13題及最后兩題，它使整個分數下了幾個檔次.雖然我們也曾指導學生，當遇到不會做的題時，要學會跳過去；但由于心理因素，“量尺”度量的準確性是會打折扣的.但難題多的時候，都跳過去嗎？顯然，這也或多或少的影響分數的信度.

三、2012年高考復習建議

看看2011，想想2012；有幾點應該引起我們的關注：

（1）基礎知識、基本技能、基本方法始終是高考試題考查的重點，且從近年的高考試題看，對基礎知識的要求更高、靈活性更大了，只有基礎扎實的考生才能正確地作出判斷.

（2）結合具體問題加強數學思想方法的訓練，注意通性、通法，淡化特殊技巧；

（3）以邏輯思維能力為核心，抓住運算能力是思維能力與運算技巧結合的特點強化運算能力，同時兼顧算理及邏輯推理能力；

（4）從對空間圖形的觀察、分析、變換、抽象入手，培養空間想象能力；

（5）新增內容是高考試題新的滋生點，面對新增內容要注意深度與廣度，既要抓住它與其它知識的交匯題，更要注意新情境下，設計的新問題；

（6）應用性問題每年都會考，新的課標把中學生的建模能力、解決實際問題的能力，提出的很響亮，用什么方式引起中學師生的關注呢？誰都會用考試的指揮棒.

（作者單位：中山市第一中學）

責任編校徐國堅

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