金融數學概述

【摘要】金融數學是以隨機分析為核心，在兩次“華爾街革命”的基礎上產生和發展起來的獨立的、具有理論研究與實踐價值的交叉學科。它主要是運用現代數學理論和方法對金融理論和實踐進行數量分析。本文從金融數學的主要理論、最新進展和發展趨勢等方面對其做以概述，以及對金融數學的未來發展提供借鑒。

【關鍵詞】金融數學 投資組合選擇理論 資本資產定價

經過兩次“華爾街革命”， 金融數學迅速發展。套利、最優與均衡是金融數學的基本經濟思想和三大基本概念。近年來，金融數學的發展，帶動了現代金融市場中金融產品的快速創新，使金融交易的范圍和層次更加豐富。本文從金融數學的主要理論、最新進展和發展趨勢等方面對其做以概述，以期對我國金融數學的未來發展提供借鑒。

一、金融數學的主要理論

（1）投資組合理論。金融數學的第一個突破是馬爾柯維茨1952年的論文“投資組合的選擇”。該文嘗試用方差來度量投資組合的風險，建立了兩目標二次規劃的數學模型，并提出投資組合的有效邊界的概念即均值一定時方差最小的點與方差一定時均值最大的點組成的集合。文中指出當個人的無差異曲線與投資組合的有效邊界相切時，投資組合的決策最優，進而可求出各資產持有的合理的比例。

（2）CAPM理論。經過研究均衡競爭市場中金融資產的價格形成，夏普、林特納和默頓在均值一方差投資組合理論的基礎上，發現證券投資的回報率與風險之間存在一定的定量關系，提出資本資產定價理（CAPM）。投資者在證券市場線上選擇證券，投資組合是其效用函數與證券市場線的切點，求切點、測度資本市場線中的斜率成為夏普評價的關鍵。在證券股價、投資組合的績效的測定、資本預算和投資風險分析中CAPM理論都得到廣泛應用。

（3）Black Scholcs期權定價公式。不同于之前的無套利定價原理，布萊克和斯科爾斯在1973年證明了期權的合理價格不依賴于投資者的偏好（風險中性原則），并在“期權定價與公司負債”一文中提出Black Scholes公式(簡稱B—S公式)。B-S模型為風險管理與套期保值套期保值開辟了新天地，因其實用性和可操作性，被廣泛用于各種金融衍生產品的開發和定價，已成為現代金融理論探索的源泉。同時默頓也提出標的股票支付紅利的期權定價公式和歐式看漲期權及看跌期權的定價公式，完成了對B-S模型和定價公式多方面的系統推廣。

二、金融數學理論的新進展

（1）隨機最優控制理論。上世紀60年代末，為解決隨機問題，控制理論應用布爾曼的最優化原理，結合測度論和泛函分析方法形成了隨機最優控制理論。默頓在上世紀70年代將該理論應用于對連續時間最優消費投資問題的研究。因為連續型的假設下交易有界并且連續變化，這與證券投資的實際環境存在很大差距，為克服連續最優控制理論的不足，脈沖最優控制理論應運而生。在倒向隨機微分方程上，彭實戈獲得了突破性研究，使我國在該方面居于國際前沿。

(2)鞅理論。當前，國外基于鞅方法的定價理論在金融理論中占主導地位，其作為現代金融理論的最新理論方法認為，在有效的假設下，證券價格等價于一個隨機鞅過程。借助等價鞅測度的概念，Karatzas L等提供了一套解決風險管理問題和不完備市場下復雜衍生產品定價問題的計算方法，揭示了金融市場的運行規律。國內學者也開始嘗試該理論進行研究，如郭文旌等。

（3）最優停時理論。作為概率論中一個應用性很強的分支， 最優停時理論在金融領域的應用目前正處于起步階段。近年來，國內的一些學者開始熱心該領域的研究，并取得了可喜的成果：運用最優停時理論考察了具有固定交易費用的證券投資決策問題，給出了具有二個風險證券的投資決策問題一種簡化算法。相信該理論將在投資組合等領域會取得更多的成果。

三、金融數學的發展趨勢

（1）新問題越來越多。金融數學模型都需要假設條件，但有時假設與客觀現實有一定差距甚至抵觸，因此其應用范圍比較狹窄，這需要在數學上進行改進。此外世界各國金融背景和管理模式各異，需要建立符合各自國情的金融模型和分析方法。如CAPM適合歐式期權不適合美式期權。金融環境和社會需求的不斷變化也為金融數學提出了越來越多的問題，要求我們繼續探索。

（2）實證研究成為主要方向。單純從概念到概念（定性分析），或從模型到模型，很難深刻、客觀地揭示金融市場的發展規律。實證研究從現實金融市場中獲取數據，進行分析，建立數學模型，進而揭示數據背后的規律，最后返回數據和現實中檢驗結論的正確性，將成為金融數學的主要方向。

（3）金融數學的方法展望。金融系統的非線性與不確定性為金融數學提出了較高的要求，金融市場波動性、突發事件、市場不完全和信息不對稱等特性也成為金融數學當前面臨的重要課題。

一般的隨機分析不能解釋重大的金融震蕩等小概率突發事件，起源于海岸線形狀和宇宙星系描述的分形理論卻可以解釋股票的瘋長和暴跌。另外突變理論和沖擊理論也被應用于金融領域；當市場受到各種限制而不完備形成不完全市場時， Duffie的不完全市場的一般均衡理論及Karatzas等人引入的鞅理論都能很好地派上用場，后者已在國外金融理論中占主導地位；信息不對稱條件下，我們很難在數學上處理相互。但重復對策、微分對策、多人對策及隨機對策理論在金融領域中已得到較好的嘗試，成為頗具前景的研究方向；統計和計算機已是金融數學它須臾不可離開的工具。

四、結語

經過兩次“華爾街革命”， 微觀金融理論與以隨機分析為核心的數學理論同步發展，已成為獨立的、具有理論研究與實踐價值的交叉學科，這越來越引起國際金融界和數學界的關注，在我國金融數學也已開始得到重視。可見數學家與金融學家的通力合作是發展金融數學的必由之路。

參考文獻

[1]宋逢明.金融工程程原理——無套利均衡分析[M].北京：清華大學出版社，1999.

[2]段翀.金融數學研究綜述及其前景展望[J]. 高校理科研究，

[3]孫宗岐，劉宣會. 金融數學概述及其展望[J]. 重慶文理學院學報，2010年6期.

作者簡介：郭馳（1990-），遼寧人，四川大學經濟學院，研究方向：金融學。