分期付款標準回望期權定價的二叉樹方法

【摘要】分期付款是一種廣泛應用于金融實際的支付形式， 將其引入到標準回望期權中，構造出一類分期付款回望期權，本文主要討論分期付款標準回望期權的定價技術。

【關鍵詞】分期付款期權 回望期權 修正二叉樹方法

一、引言

分期付款(Installment Paying) 是一種廣泛應用于金融實際的支付形式，如人壽保險、教育基金保險、住房按揭貸款等都是分期付款。本文將分期付款引入到標準回望期權中，構造出分期付款標準回望期權，可以為投資者提供靈活的進入與退出機制，而且降低投資者風險和投資成本，從而研究這些產品的定價與風險管理顯得十分重要。

二、分期付款標準回望期權定價

執行價格為，到期日為T的分期付款標準回望看漲期權，它在t時刻的價格為，期權持有人在t 時刻要繼續擁有此期權至到期日T， 必須支付。持有人也可以選擇在停時τ∈Tt（Tt是取值與[t，T](t≥0)的停時集合）放棄該期權，獲得收益為，同時可以收回余下的期權金Q(τ)，那么在τ時刻的總收益為。由風險中性定價原理：

即.

同理，同樣得到分期付款標準回望看跌期權的價格函數：，其中.

三、修正二叉樹方法

Cheuk1997年對標準回望期權得到一個單狀態二叉樹模型，該模型簡單易懂，已得到廣泛應用。但此法收斂速度慢，為了提高其效率，DaiMing在此基礎上提出了修正二叉樹模型，本節將其推廣到對分期付款標準回望期權定價。

現將區間[0，T]進行分割：，定義風險中性概率測度：

.

對于到期日為T的分期付款標準回望期權，在到期日的收益為：.那么表示標準回望看漲期權在tj時刻的價格，定義()，則有：，其中是依賴狀態變量和時間變量的函數。那么給定分期付款率q，得到分期付款標準回望看漲期權的二叉樹模型：

通過倒推得到初始期權費：，其中V(k，tj)為：

對于修正二叉樹模型，將u-j變為即可。

四、數值結果及結論

設定股票的初始價格S0=100，無風險利率r=0.04，紅利率δ=0，到期日T=1，波動率σ=02，分期付款率q分別為5、10、15，用二叉樹模型和修正二叉樹模型得到的數值結果如下：

隨著分期付款率的增加期權價格呈下降趨勢。另外與二叉樹模型相比，修正二叉樹模型得到的結果收斂速度快，效率高。

利用以上的參數和修正二叉樹模型，得到分期付款標準回望看漲期權的最佳停止邊界，如圖1所示。邊界是單調遞減的，且分期付款率越高停止區域越大，表明合約之初， 放棄的概率較大， 但隨著時間的增加差別逐漸減小。 因此對于分期付款標準回望期權定價來說， 分期付款率的確定非常重要。

參考文獻

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[2] Jailllet P，Lamberton D，Lapeyre B.Variational inequalities and the pricing of American options[J]. Acta Applications Mathematics，1990，21:263-289.

作者簡介：周靜（1980-），女，廣州科技職業技術學院，研究方向：金融工程；李家華（1982-），男， 講師， 廣州科技職業技術學院，研究方向：金融、物流、電子商務。