分類討論后的“交”與“并”

分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種方法在簡(jiǎn)化研究對(duì)象、發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)問題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，需要根據(jù)對(duì)象屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果解決整個(gè)問題.它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.用分類討論的方法解決含參的問題時(shí)，由于學(xué)生對(duì)分類的標(biāo)準(zhǔn)和對(duì)邏輯運(yùn)算把握不準(zhǔn)確，出現(xiàn)集合運(yùn)算的“交”與“并”不分的錯(cuò)誤，造成不必要的失分.下面我對(duì)分類討論后“交”與“并”的教學(xué)作如下探究，不妥之處，敬請(qǐng)指教.

例1 已知集合A＝{x|x2-6x＋8＜0}，B＝{x|(x-a)#8226;(x-3a)＜0}，若A∩B＝，求a的取值范圍.

分析 這道題中含有參數(shù)a，解題時(shí)，需根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論.

解 ∵A＝{x|x2-6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}.

要滿足A∩B＝，則B=或B與A無公共元素.

當(dāng)a＞0時(shí)，B＝{x|a＜x＜3a}，

∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4；

當(dāng)a＜0時(shí)，B＝{x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥43，

∴a＜0時(shí)成立；

當(dāng)a＝0時(shí)，B＝，A∩B＝也成立.

綜上所述，a≤23或a≥4時(shí)，A∩B＝.

說明 這道題并不難，解題關(guān)鍵在于比較a與3a的大小，需要學(xué)生具有一定的分析能力和分類技巧.應(yīng)用分類討論思想解決問題必須保證在討論對(duì)象相關(guān)的區(qū)域內(nèi)對(duì)所討論的問題進(jìn)行合理的分類，分類時(shí)做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級(jí)，然后逐類討論，最后歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論.要合理地應(yīng)用分類討論的方法解題，需克服兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：

易錯(cuò)點(diǎn)一 區(qū)間端點(diǎn)“開”與“閉”的確定

這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，恰恰是學(xué)生極易丟分的地方.原因是學(xué)生在分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一或“斷點(diǎn)”沒有找準(zhǔn)造成的.只有在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的前提下找準(zhǔn)了“斷點(diǎn)”，才能合理地將問題相關(guān)的區(qū)域分成若干個(gè)小區(qū)域，準(zhǔn)確地把握結(jié)果中區(qū)間的“開”與“閉”.為此可以做如下變式訓(xùn)練：A＝{x|2≤x＜4}或B＝{x|(x-a)(x-3a)≥0}，其余條件不變?nèi)绾谓饽?

易錯(cuò)點(diǎn)二 分類討論后，是求“交集”“并集”，還是不求

類型題1 求“交集”.

求“交集”往往發(fā)生在分類討論的某一步中，如例1的解題過程：

當(dāng)a＞0時(shí)，B＝{x|a＜x＜3a}.

∵A∩B＝，∴a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4.

在上述過程中，“a＞0”是“a≥4或3a≤2”的前提條件，是“且”的關(guān)系，所以求條件間的“交集”.多數(shù)學(xué)生往往只看到“a≥4或3a≤2”而忽視了前提條件“a＞0”，造成失分.

類型題2 求“并集”.

同例1一樣，這類題的特征是：題設(shè)條件中含有參數(shù)，通過已知條件求參數(shù)的取值或取值范圍.解題時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，在參數(shù)的不同情形下求參數(shù)的取值或取值范圍，由于各分類間是并列的關(guān)系，所以最后要求各分類下參數(shù)的取值或取值范圍的并集.

例2 已知函數(shù)f(x)=mx2-6mx+m+8的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 “函數(shù)f(x)=mx2-6mx+m+8的定義域?yàn)镽”的充要條件是“mx2-6mx＋m＋8≥0的解集為R”.

解 依照二次項(xiàng)系數(shù)m是否為零進(jìn)行分類討論.

(1)當(dāng)m=0時(shí)，f(x)＝8，其定義域?yàn)镽；

(2)當(dāng)m≠0時(shí)，要使mx2-6mx＋m＋8≥0在x∈R的情況下均成立，必須滿足m>0，Δ=36m2-4m(m+8)≤0，解得0＜m≤1.

綜合(1)，(2)可知，m的取值范圍為［0，1］.

類型題3 “不求”.

這類題的特征是：含有參數(shù)，求自變量的取值或取值范圍.解題時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，在參數(shù)的不同情形下求自變量的取值或取值范圍.由于各分類下自變量的取值或取值范圍只有在參數(shù)特定的條件下才成立，也就是說，各分類下自變量的取值或取值范圍是獨(dú)立的，所以最后既不求并集也不求交集.

例3 解不等式2x2+ax+2>0.

分析 根據(jù)一元二次不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，依判別式的符號(hào)分類，在各分類下討論不等式對(duì)應(yīng)方程根的情況，再結(jié)合圖像或公式得出不等式的解集.

解 ∵Δ=a2-16，

∴當(dāng)Δ<0，即-4

當(dāng)Δ=0，即a=±4時(shí)，原不等式的解集為x|x≠-a4；

當(dāng)Δ>0，即a<-4或a>4時(shí)，方程2x2+ax+2=0的兩根為

x1=14(-a-a2-16)，x2=14(-a+a2-16).

原不等式的解集為x|x<14(-a-a2-16)或x>14(-a+a2-16).

總結(jié) (1)對(duì)含參的一元二次不等式，根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，或按x2項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)分類，或按判別式的符號(hào)分類，或按方程ax2+bx+c=0的根x1，x2的大小分類.

(2)仔細(xì)審題，看清楚分類后是求“交集”“并集”，還是“不求”.求“交集”往往發(fā)生在分類的某一類中，條件間是“且”的關(guān)系；求“并集”的特點(diǎn)是根據(jù)參數(shù)分類，求參數(shù)的取值或取值范圍，條件間是“或”的關(guān)系；而“不求”的特點(diǎn)是根據(jù)參數(shù)分類，求自變量的取值或取值范圍，雖然各分類間是“或”的關(guān)系，但由于自變量的取值是建立在參數(shù)的不同分類基礎(chǔ)上，是在參數(shù)特定的取值或取值范圍下才成立，故“不求”.

總之，分類討論應(yīng)注重理解掌握分類的原則、方法與技巧，做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏”，逐步進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果，看清楚是對(duì)階段性成果求“交集”“并集”，還是“不求”，最后進(jìn)行歸納小結(jié)，得出結(jié)論.只有科學(xué)合理地使用分類討論，才能有效地提高解題能力.

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