基于多重分形方法的我國期貨市場特征研究

【摘要】本文運用多重分形消除趨勢波動分析方法，對之前較少被研究的中國銅和小麥兩個期貨品種的價格收益序列進行實證研究。結果表明，兩種期貨價格收益序列不服從正態分布且具有尖峰態特征，因此二者均存在明顯的多重分形特征，單一的標度指數無法對其充分的描述。對其多重分形成因進行分析后發現，收益序列的波動相關性導致其多重分形特征，并引起價格的有偏隨機游走，市場未達到弱式有效。

【關鍵詞】多重分形趨勢波動分析期貨價格時間序列弱式有效

分形理論在復雜經濟系統中的應用方面取得了較有價值的理論成果。文獻[1-2]分別運用重標級差分析及盒維數分析等方法對實際市場的分形結構進行了確認。然而，許多學者發現僅用一個分形維數來刻畫金融時間序列是不夠的，而必須運用一個分形維度來描述金融時間序列中不同層次的奇異測度[3-5]。然而，在對資本市場進行多重分形分析時，絕大多數學者更多地關注于股票及外匯市場，而對同樣重要的我國期貨市場研究得較少。基于此，本文運用多重分形消除趨勢波動分析(MF-DFA)方法對我國銅和小麥期貨價格收益序列進行研究，探討了期貨市場中多重分形特征與非線性時間序列的長程相關性及胖尾概率分布之間的聯系，對期貨價格收益序列的多重分形成因進行了研究與探討。

一、研究方法

MF-DFA方法是驗證一個非平穩時間序列是否具有多重分形性的有效方法，對長度為N的序列{xi}，i=1，2，…，N，MF-DFA方法：

①通過求和把原序列歸并成一個新序列：

(1)

②把序列y(i)分割成長度為s的Ns=int(N/s)個互不相交的等長區間，由于長度N經常不是s的整數倍，為了不丟棄尾部剩余部分，從序列尾部重復這一分割過程，因此得2Ns區間。

③通過最小二乘法擬合每一子區間v(v=1，2，…，2Ns)上的局部趨勢pv(j)函數消除子區間v中的局部趨勢序列：

Zν（j）=yν(j)-pν(j)(j=1，2，3……，s)(2)

④分別計算2Ns個消除趨勢子區間序列的平方均值：

(3)

這里v=1，2，…，Ns，進而求出序列的q階波動函數：

(4)

⑤確定波動函數的標度指數，先固定q，通過在雙對數圖中分析Fq(s)與s的關系：

Fq(s)=∝Sh(q)(5)

對每一個分割長度s，可求出相應的一個Fq(s)，作出ln(Fq(s))與lns函數關系圖，其斜率為q階廣義Hurst指數h(q)。這里，當h(q)獨立于q為一常數時，序列為單一分形，當h(q)為q的函數時，序列為多重分形。⑥通過MF-DFA得到的h(q)與Renyi指數τ(q)的關系式：

τ(q)=qh(q)-1(6)

⑦用來描述多重分形時間序列的多重分形譜f(α)為：

f(α)=q［α-h(q)］+1(7)

式中：α=h(q)+qh`(q) (8)

一般地，時間序列中的多重分形行為存在兩種原因：一是由于小幅波動及大幅波動中不同的長范圍相關性造成的；另一種是由于波動的胖尾概率分布引起的對數據進行重排處理及相位隨機化處理能夠發現上述兩種原因對多重分形起因貢獻的大小，并能夠說明多重分形的強度。Koscielny-Bunde通過廣義多重分形模型發現，整個q階h(q)可以擬合為

(9)

式中τ(q)=-lnaq+bq/ln2。式(9)說明h(q)在無窮大時可以用兩個獨立參數來描述，這兩個參數可以描述一個時間序列的多重分形強度。在廣義多重分形模型中，時間序列的強度可以通過Δα=αmax-αmir來描述，Δα越大則多重分形強度越大，即：

Δα=αmax-αmir=h(-∞)-h(∞)=(lnb-lnа) (10)

二、數據描述

數據選自我國銅期貨指數(2004年7月9日至2010年5月4日收盤指數，共1417個觀察數據)及小麥期貨指數(2000年5月8日至2010年4月30日收盤指數，共2430個觀察數據)。數據來源于wind數據庫。進行實證研究的數據是對數收益率序列，兩個期貨指數收益序列的基本統計量如表1所示。

表1 收益序列的基本統計量

從表1可以看出，兩種期貨指數收益序列的偏度均不等于0，且峰度遠大于3，說明兩指數收益序列均不服從正態分布，而具有尖峰態的特征。這說明不適宜用傳統的有效市場理論來刻畫期貨價格收益序列。

三、實證研究結果

分別對銅期貨指數和小麥期貨指數收益原始序列及變換后的收益序列進行一階MF-DFA分析，根據式(1)～式(8)，s的取值范圍為3～N/5d(N為時間序列的總長度)，當q從-10～10變化時，得到隨q變化的h(q)如圖1所示。

（a）銅期貨 （b）小麥期貨

圖1不同收益序列的h(q)

注：圖中的a表示原始時間序列，b表示重排時間序列，c表示替代時間序列

從圖1可以看出，①當q從-10變化到+10時，兩個收益序列的h(q)均顯著地不為常數，說明兩種期貨指數收益率均存在多重分形特征；②小麥期貨指數原始序列的h(q)的變化范圍較銅期貨指數的變化范圍大，說明其多重分形特征比銅期貨指數更明顯；③銅期貨指數收益序列經重排后h(q)下降的幅度通常大于小麥期貨指數收益序列重排后下降的幅度，說明銅期貨指數收益序列的相關程度要高于小麥期貨指數收益序列的相關程度；④對于兩個不同的期貨收益序列，經過變換的收益序列與原始序列相比，其h(q)值隨q的變化幅度變小，多重分形特征明顯減弱，說明收益序列的長程相關性及波動的胖尾分布都會導致收益序列的多重分形特征而且與重排序列相比，相位隨機化序列的多重分形特征更弱。這一點從圖1中可以明顯看出。進一步，根據式(9)，對圖1中期貨指數時間序列的h(q)進行擬合，其結果如表2所示，從表2可以看出，h(q)隨q的變化關系可以通過兩個參數很好地描述，并且所有擬合都在95%的置信區間內。此外，由表2可知，兩個指數的原始收益序列的多重分形強度都很強，其次是重排序列，最后為替代序列，這一點說明了對于價格波動的多標度變化，持久相關性起到了重要作用，但是，替代序列的多重分形譜寬度要比重排序列的寬度窄得多，這可以解釋成極端的大的非高斯事件對時間序列分形特征的影響。因此，從以上分析可以看出，期貨價格收益序列的多重分形成因是由兩個因素共同作用的，其中收益序列的波動相關性起主導作用，是形成多重分形特征的主要原因，而收益序列的胖尾概率分布對多重分形特征的形成也起到了一定的作用。

表2 原始序列、重排序列及替代序列的多重分形強度

四、結語

運用MF-DFA方法，并結合多重分形譜模型，對我國商品期貨價格進行了多重分形實證分析，結果發現銅與小麥期貨指數收益率均存在較明顯的多重分形特征。此外，對于價格波動的多標度變化，持久相關性起到了重要作用。事實上，因為中國期貨市場上存在大量的噪聲，市場信息以非線性的方式呈現，因此具有長記憶性，投資者也以非線性方式對市場信息做出反應，他們按照所能接受的價格進行交易而不管價格是否公平，這導致了價格的有偏隨機游走，因此市場未達到弱式有效。針對這一情況，金融監管部門應該加強金融監管，健全法制，改善信息披露政策，從而讓投資者能夠及時準確地掌握真實的信息情況，更好地做出投資決策。

參考文獻

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作者簡介：黃勇飛（1984-），男，江蘇南通人，南京財經大學金融學院金融學碩士研究生，研究方向：商業銀行、證券期貨市場；韓輝（1987-），男，江蘇鎮江人，南京財經大學金融學院金融學碩士研究生，研究方向：商業銀行、經濟管理。