讓元認知訓練融入高三數學課堂

【摘要】為了提升學生的數學學習能力，實現新課程標準提出的數學教學三維目標，筆者結合課堂教學實踐案例，嘗試把元認知訓練融入高三數學的復習教學，以尋找提高數學復習效果的有效教學模式，期望對高三數學的教與學有所啟示。

【關鍵詞】高中數學；元認知；復習策略；數學思維

美國心理學家弗拉維爾（J.Flavell）1967年將元認知表述為“個人關于自己的認知過程及結果或其它相關事情的知識”，同時他又認為，元認知也指“為完成某一具體目標或任務，依據認知對象對認知過程進行主動的監測以及連續的調節和協調”。元認知主要包括元認知知識、元認知體驗和元認知監控三個方面的要素。元認知知識是指以認知活動為對象所進行的注意、感知、記憶、思維等認知活動。元認知體驗即主體伴隨著認知活動而產生的認知體驗或情感體驗，是個體對其認知經驗通過反思而獲得的更具有概括性的經驗。元認知監控是建立在元認知知識和元認知體驗基礎上的對認知活動的繼續規劃、執行和調整的過程，是一個人認知活動中元認知能力發展水平的集中體現，是元認知的核心。

元認知是一種高級的心理技能，對提高學習目標的意識水平，促進學習策略的使用和遷移具有重要作用。大量的研究表明，元認知與學習成績具有顯著的正相關，并且元認知能力的增強可以通過有效教學得到提高。因此，在數學教學過程中重視學生的數學元認知活動的開展，加強對學生進行數學方法和學習策略的指導，提高學生在學習過程中的自我監控能力是十分必要的。

一、創設課堂教學有效情景，增加學生的元認知體驗

學生在學校獲得元認知能力的途徑一般有三種：一是學生憑借自身的學習經驗，通過自己探索獲得；二是在教師的教學活動在無意中習得；三是在專門的訓練中明確獲得，如教師或心理咨詢師在課程之外專門進行的元認知知識訓練。

1.要保證學生在數學學習中的自主活動

《普通高中數學課程標準》中明確指出：學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

復習過程中通過創設一定情境，為學生提供一個學習、表達、展示及應用各種學習策略的機會，提高學習的主動性和自覺性。運用啟發式教學，讓學生得到所有必要的具體情況，發現并進行恰當的概括，從而形成新知。讓學生運用類比，學會歸納總結。

教師展示數學問題后先由師生一起分析討論，理清解題思路；再由學生動手，請學習能力較強的學生將他們的解題過程展示出來。這樣不僅為學習能力較差的學生提供了一個學習的機會，也使這些學生的學習策略應用水平能得到其他同學的評價，通過這樣的交流、反饋及自省過程，不僅可以提高學生的元認知水平，也可以提高學習的積極性，從而提高學習效率。

2.充分暴露教學的思維過程

在教學過程中，老師采用出聲思維，用自己的行為為自我觀察、自我意識提供“模型”，讓學生注意到在學習新知識或解決數學問題時應該如何思考并注意什么。在新授課中，教師可用語言說出自己是如何理解、記憶新概念的，如何將新知識與舊知識聯系起來的。在習題課中用語言描述自己的思維過程，請同學思考教師是如何做出每一個決定的？在哪些地方停下來思考的？是如何做出選擇的？在平時的出聲思維教學中學生會模仿教師的思維方式，逐漸增強學習和解題的各種意識，并最終形成自我觀察、自我意識的能力。

在課堂上學生像老師一樣使用出聲思維，展現思維過程，暴露思維障礙，教師適時引導，使學生意識到自己的思維漏洞，并及時調整思考方向，優化解題思路。

筆者在教學實踐中，根據學生認知規律，遵循循序漸進、螺旋式提高的教學原則，采用化大為小、化難為易的教學策略，以突破教學難點。例如，在講解閉區間上求含參變量的有關二次函數的最值問題時，設計以下問題，降低總體難度。

例1 已知函數在[0，1]上的最小值為0，求參數a的值。

例2 已知函數在[0，1]上的最大值為1，求參數a的值。

例3 已知函數在[-3，2]上的最小值為1，求參數a的值。

例4 已知函數在[-1，2]上的最大值為2，求參數a的值。

教師使用出聲思維做總體分析：這類問題大家熟悉嗎？二次函數的最值問題怎么處理？例1由學生自己處理。二次函數圖形是拋物線，可采用數形結合的思想，解題的關鍵要抓住圖形的哪些方面？例2抓住對稱軸與區間的關系進行討論（左、中、右），邊板書邊講解。若二次項系數為a，應如何進行討論？

由學生分析例4，仿例2根據對稱軸與區間的關系進行討論（左、中、右）。肯定學生解法的同時，進行反思，能不能進一步優化解法。最大值肯定在端點處取得，直接比較兩端點的函數值。

在平時的出聲思維教學中學生會模仿教師的思維方式，逐漸增強學習和解題時的各種意識，并最終形成自我觀察、自我意識的能力。

二、數學基礎知識的復習與元認知訓練

1.利用知識網絡圖指導學生自主復習

在高三的復習中，第一輪基礎知識的復習很重要。在基礎知識的鞏固學習中，要充分展現知識形成發展的過程，揭示其中蘊涵的豐富的數學思維。復習的基本策略是：從小到大、先粗后細，把課本中的知識單點、知識片斷組合成知識網絡體系，形成知識鏈、方法鏈。

例如平面向量一章的復習整理出如下的知識網絡圖：

學生在進行自主學習時，進行自我提問：

①這一章包含哪些內容？我以前學得如何？

②對主要概念我是否清楚？哪些概念不清楚，需要閱讀一下相關課本？

③這一章的重點是什么？將要復習哪些內容？

④基本的題型有哪些？有哪些數學思想方法和解題方法？

讓學生從知識網絡上對將要復習的內容有一個整體的把握，在復習的時候做到心中有數，使原來迷惑的概念逐漸清晰化。

2.數學概念復習與元認知訓練

概念是數學知識中最普遍的形式，它是反映一類對象本質屬性的思維方式。概念的形成是在教學條件下，從大量具體例子出發，從學生的實際經驗中，以歸納的方法概括出一類事物的本質屬性。這個歸納概括的過程就需要有元認知監察、調控的參與。針對學生基礎知識薄弱的特點，教師應從最基本的概念講起，從不同的角度和側面幫助學生理解概念的內涵和外延。

筆者在指導學生進行概念復習時，融入了元認知訓練，設計了數學概念復習的自我提問單：

①我己確定將要復習XX概念了嗎?我計劃怎樣進行了嗎?我以前這一概念學習的怎么樣？

②我知道XX概念的準確定義嗎?我能用自己的話準確地說出對它的理解嗎？

③這一概念包含哪些知識點？知道它的內涵和外延嗎？

④我進入狀態了嗎？我按計劃進行了嗎？我的計劃需要修改嗎？

⑤我感到困難而產生放棄的念頭了嗎?我對自己說：“堅持下去，你不僅能掌握XX概念，還將提高自己的學習能力。”

⑥我一直是專心的嗎?我體會到了的愉悅了嗎？

⑦我知道怎樣運用XX概念處理實際問題嗎？主要有哪幾種類型？我在過去的運用中常犯的錯誤有哪些？是什么原因造成的？都已克服了嗎？

⑧在復習中用到了哪些數學思想方法和解題方法？

⑨我能從不同的角度描述XX概念嗎？涉及這一概念的題型有哪些？

⑩通過這種方式的復習，我有哪些收獲？上述做法對我而言，哪些是有效的?哪些還需改進？還應注意哪些問題?

三、數學專題知識的復習與元認知訓練

在第二輪的數學思想方法的專題復習中，方法專題是指對高中數學中涉及的重要思想方法，主要有函數與方程的思想方法、數形結合的思想方法、分類討論的思想方法、化歸與轉化的思想方法等研究。數學思想方法是數學的精髓，對此進行歸納、領會、應用，才能把數學知識與技能轉化為分析問題解決問題的能力，使學生的解題能力和數學素質得以提高。

以化歸與轉化的思想方法為例：解某些數學問題時，如果直接求解較為困難，可通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題（相對來說對自己較為熟悉的問題），通過新問題的求解，達到解決原問題的目的。這一思想方法稱之為“化歸與轉化的思想方法”。轉化是將數學命題由一種形式向另一種形式的轉化過程，化歸是把待解決的問題通過某種轉化過程歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題。解題常用的轉化策略有：正與反的轉化、數與形的轉化、相等與不等的轉化、整體與局部的轉化、空間與平面的轉化、復數與實數的轉化、常量與變量的轉化、不同數學語言的轉化等。

例 已知，是參數。

（1）當t=-1時，解不等式 ；

（2）如果x∈[0，1]時， 恒成立，求參數t的取值范圍。

元認知監控訓練：解對數型不等式，能聯想到什么？函數的單調性。轉化的時候有沒有注意到等價性？對數的真數有什么條件？熟悉的問題你有信心確保正確嗎？恒成立問題的基本解法有哪些？不等式組x+1>02x+t>0x+1≤(2x+t)能進一步優化嗎？對于x+1≤(2x+t)是選擇展開還是開方？不等式組x+1>0t>-2xt≥-2x+中的都可省略，問題轉化為x∈[0，1]時，t≥-2x+恒成立，再轉化為求函數y=-2x+（x∈[0，1]）的最大值。這是我們非常熟悉的問題。

四、結論

在復習階段引入元認知訓練，學生通過元認知的訓練方法找到自身的不足，重新定位，改變了學習態度，加強了成就動機。在訓練中學生的學習目標、學習方法逐漸被激活和改變，學習中的自我檢測和反思逐漸加強。當學生清晰地意識到自己“在做什么”、“怎么做”、“為什么這樣做”時，自然體現出更多的主體能動性，進入自主學習的狀態。當學業有所進步時，學生對學習的感受更會傾向于積極的一面，在面對學習與考試時，也會有更多自信、期待與自我調節，而后兩者又會反過來促進學業，幫助學生實現良性循環，學業成績逐漸有所提高。因此說元認知訓練能幫助學生找到適合于自己的學習方法，使學生學會學習，能促進學業成績的提高。

【參考文獻】

[1]汪玲等.元認知要素的研究[J].心理發展與教育.2002(1):44-49

[2]孔企平等.數學新課程與數學學習[M].北京:高等教育出版社.2003

[3]袁中學.楊之.元認知與數學教學[J].數學教育學報.2002.11(5):33-35

（作者單位：江蘇省蘇州黃埭中學）

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