淺談數學思想方法的教與學

數學思想就是對數學理論和內容的本質認識，是對數學規律的理性認識；數學方法是數學思想的具體化形式。中學數學大綱已明確提出數學思想方法是數學基礎的重要組成部分。筆者結合自身的教學實踐，淺談對數學思想方法教學的幾點思考。

一、數學思想方法教學的原則

（一）在解題教學中，要自覺應用數學思想方法

每一道數學題都有一定的數學內容，它們都是一定的數學思想方法的具體形式，尋求已知與未知之間的聯系—解題，表面上是具體數學形式的連續轉化、邏輯溝通，但在過程探索、方法選擇和思路發現的背后，在進行每一步簡化、轉化、分解與化歸之前，都有數學思維方向的調控，實質上是對題目中所蘊涵的數學思想方法的不斷顯化與橫向溝通。由于同一數學形式可以用不同的數學思想方法來解釋，因而產生不同原理的“一題多解”；同樣，同一數學思想方法可以有不同的表現形式，因而產生不同題目的“一解多題”。又由于對數學思想方法有理解深淺上的差異和溝通寬窄上的不同，因而既產生解題上的清醒與盲目、簡捷與麻煩，又導致解題的會不會推廣與能不能引申，所謂“用數學思想方法指導解題”，就是要揭示題目內容與求解方法中所蘊涵的數學思想方法，自覺從數學思想方法的高度去理解題意、去尋找思路、去分析解題過程、去擴大解題成果，使得解題的過程既是運用數學思想方法的過程，又是領悟和提煉數學思想方法的過程。

（二）把知識的學習與思想方法的培養同時納入教學目的原則

適當章節的強化訓練與貫通復課全程的反復運用相結合的原則數學思想方法與數學知識的共存性、數學思想對數學活動的指導作用、被認知的思想方法只有在反復的運用中才能被真正掌握這一教學規律，都決定了成功的思想方法和教學只能是有意識的貫通復課全程的教學。特別是有廣泛應用性的數學思想的教學更是如此。如數形結合的思想，在數學的幾乎全部的知識中，處處以數學對象的直觀表象及深刻精確的數量表達這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。它的運用，往往展現出”柳暗花明又一村”般的數形和諧完美結合的境地。在某種思想方法應用頻繁的章節，應適當強化這種思想方法的訓練。如在數學歸納法一節，應精心設計循序漸進的組題，在問題解決中提煉并明確總結聯合運用不完全歸納法、數學歸納法解題這一思想方法，在學生能熟練運用的基礎上，通過反復運用，才能形成自覺運用的意識。

二、數學思想方法教學的途徑

（一）用數學思想指導基礎復習，在基礎復習中培養思想方法

基礎知識的復習中要充分展現知識形成發展過程，揭示其中蘊涵的豐富的數學思想方法。如幾何體體積公式的推導體系，集公理化思想、轉化思想、等積類比思想及割補轉換方法之大成，就是這些思想方法靈活運用的完美范例。只有通過展現體積問題解決的思路分析，并同時形成系統的條理的體積公式的推導線索，才能把這些思想方法明確地呈現在學生的眼前。學生才能從中領悟到當初數學家的創造思維進程，這對激發學生的創造思維，形成數學思想，掌握數學方法的作用是不可低估的。注重知識在教學整體結構中的內在聯系，揭示思想方法在知識互相聯系、互相溝通中的紐帶作用。如函數、方程、不等式的關系，當函數值等于、大于或小于一常數時，分別可得方程，不等式，聯想函數圖象可提供方程，不等式的解的幾何意義。運用轉化、數形結合的思想，這三塊知識可相互為用。注意總結建構知識體系中的教學思想方法，揭示思想方法對形成科學的系統的知識結構，把握知識的運用，深化對知識的理解等數學活動中指導作用。如函數圖象變換的復習中，我把散見于二次函數、反函數、正弦型函數等知識中的平移、伸縮、對稱變換，引導學生運用化曲線間的關系為對應動點之間的關系的轉化思想及求相關動點軌跡的方法統一處理，得出圖象變換的一般結論。深化學生圖象變換的認識，提高了學生解決問題的能力及觀點。

（二）學思想方法指導解題練習

在問題解決中運用思想方法，提高學生自覺運用數學思想方法的意識，注意分析探求解題思路時數學思想方法的運用。解題的過程就是在數學思想的指導下，合理聯想提取相關知識，調用一定數學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與題斷間的差異的過程。也可以說是運用化歸思想的過程，解題思想的尋求就自然是運用思想方法分析解決問題的過程。注意數學思想方法在解決典型問題中的運用。如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據已知條件，在二面角內尋找或作出過一個面內一點到另一個面上的垂線，過這點再作二面角的棱的垂線，然后連結二垂足。這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。這個通法就是在化立體問題為平面問題的轉化思想的指導下求得的。

其中三垂線定理在構圖中的運用，也是分析，聯想等數學思維方法運用之所得。調整思路，克服思維障礙時，注意數學思想方法的運用。通過認真觀察，以產生新的聯想；分類討論，使條件確切，結論易求；化一般為特殊，化抽象為具體，使問題簡化等都值得我們一試。分析、歸納、類比等數學思維方法，數形結合、分類討論、轉化等數學思想是走出思維困境的武器與指南。用數學思想指導知識、方法的靈活運用，進行一題多解的練習，培養思維的發散性，靈活性，敏捷性；對習題靈活變通，引伸推廣，培養思維的深刻性，抽象性；組織引導對解法的簡捷性的反思評估，不斷優化思維品質，培養思維的嚴謹性，批判性。對同一數學問題的多角度的審視引發的不同聯想，是一題多解的思維本源。數學方法、數學思想的自覺運用往往使我們運算簡捷、推理機敏，是提高數學能力的必由之路。“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終生。

因此，教師必須通過日常教學的滲透，知識的歸納概括，反復運用，及時總結形成系統，切實加強數學思想方法的教學。

（作者單位：江蘇靖江市靖城中學）