基于動態規劃的投資組合優化研究

【摘要】馬克維茨的均值—方差（M-V）理論是現代投資組合理論的主要基礎。本文主要針對考慮靜態單一投資期的缺陷，引入動態規劃的最優解的方法來對靜態單一投資期的馬克維茨投資組合模型進行完善，并給出基于所建模型的實例分析。

【關鍵詞】風險 收益 投資組合 動態規劃

一、證券投資組合理論的發展

馬克維茨（H.Markowitz）于20世紀50年代提出了均值—方差（M-V）單階段投資組合理論，奠定了現代金融學的基礎。在此之后，夏普（Sharpe）對證券投資進行了研究，將投資風險分為系統風險（不能通過投資的分散化加以消除的風險）和非系統風險（可以通過投資的分散化加以削弱，甚至消除的風險）。Sharpe和Lintner為代表的學者創立了資本資產定價模型（CAPM）。然而，羅爾（R.Roll）卻在1977年對CAPM模型產生了重大質疑，與此同時，羅斯（S.Ross，1976）則提出了套利定價理論（APT），認為沒有任何投資者可以通過套利創造財富。該模型是建立在比資本資產定價模型更少且更合理的假設之上，該理論以回報率形成的多指數模型為基礎，認為具有相同因素敏感性的證券或投資組合必然要求相同的預期回報率，否則就會出現套利機會。

我國對于投資組合理論的研究主要是從1990年馬克維茨（H.Markowitz）和夏普（Sharpe）等人獲得諾貝爾經濟學獎開始的。主要研究以下問題：證券組合投資有效邊界的確定問題；組合投資最優化模型的建立；在傳統的理論基礎上，根據實際情況提出新的目標函數，或者引入新的約束條件。

我國的證券市場是一個發展中的市場，還不是完善的市場，投資者也不夠成熟。雖然大多數投資者失敗是因為市場體制不完善，市場規模較小等系統風險造成的，但是缺乏科學的投資策略和淡薄的風險意識是一個十分重要的原因。

二、馬克維茨的證券投資組合模型的局限性及本文研究內容

馬克維茨模型的核心是均值—方差理論，即以M-V準則為最優組合的標準。這一模型系統地構造了一套組合選擇的方法，深刻地揭示了組合選擇及資本市場定價的內在機理，成為現代投資組合理論的主要基礎，它是通過數學規劃的原則，偏重規范性分析而缺乏實證性分析。投資者無法知道證券分散到何種程度才能達到高收益，低風險。因此，夏普（Sharpe），林特納（Linter）莫森（Mossin）分別在馬克維茨投資組合理論的基礎上提出了資本資產定價模型（CAPM）。該模型的缺陷還表現在：

該模型的計算量較大；其次，該模型依賴于較多不實際的假設，諸如交易費用和最小交易單位；再次，馬克維茨模型考慮的僅僅是靜態單一投資期問題，而實際證券市場上由于信息不對稱和各種突發事件等因素，投資者為規避風險而隨時買進賣出。

所有上述缺陷都使得該投資理論在實際投資活動中的有效性受到限制，本文正是對上述的第三個缺陷進行完善，考慮了運籌學中的動態規劃模型，引入動態規劃的最優解的方法來對靜態單一投資期的馬克維茨投資組合模型進行完善，并給出基于所建模型的實例分析，是對經典的資產組合理論的繼承和發展。

三、動態規劃在資產投資組合中的應用

1.動態規劃應用于資產組合研究的可行性

動態規劃把一個復雜的問題劃分成多個子問題，通過歸納與遞歸找到答案。它沒有標準的數學表達式和規則，而是需要具體問題具體分析，因而決定了其應用的廣泛性。不管是單個決策階段的投資組合研究還是多個決策階段的投資組合，都可以使用動態規劃方法來求解出最優投資組合。

一般金融資產具有如下特點：流動性；風險性；收益性；無限可分性；而上述特征決定了資產組合收益的特殊性，即在一個有效的市場中，某證券下一期的預期價格等于當期價格加上下一期預期報酬，即：。說明投資組合的各階段的狀態滿足無后效性。即投資過程的過去歷史只能通過當前的狀態影響它的未來，因而滿足構造動態規劃模型的條件。

2.理論模型

假設有b個單位資源需要分配到n個投資項目中，當第k個投資項目取得單位投資時，其收益為，則該投資項目可以建模如下：

尋求一種投資方案，使得該投資者總收益最大。

根據題目要求，建立一個三級動態規劃模型，列出三級規劃的網格圖如下：

由逆序求解法看上述網格圖，最后一列表示分別不同投資額投資于項目三所獲得的收益；第二列按照原則，求得投資于資產2的最優金額；同理逆推可得投資于項目1的最優金額。

最終的結果為投資于資產1，2，3的金額分別為4萬，4萬，0萬。

4.對于標準單周期一般資產組合模型進行投資的評價

標準單周期一般投資組合模型雖然對靜態的不同投資資產進行了動態化處理，但是其仍然存在如下一些缺陷：

（1）凈收益矩陣有待完善：收益矩陣是根據歷史經驗所得，因此要求市場有很強的有效性，但是我國資本市場發展仍然不是很完善，市場有效性并不高；其次，該收益矩陣的投資金額為固定的等差數列，與實際投資情況不很符合，因此該方法缺乏一定的實用性；

（2）沒有考慮投資風險：風險與收益在很大程度上是正方向變化的，正所謂高風險高收益。但是該方法中并沒有考慮市場的投資風險，因而缺乏一定的投資可信性。市場上的資產符合高風險高收益，該方法可能使得投資者為追求高收益而承擔過高的風險。

四、本文的不足之處

本文的不足之處在于：首先，和傳統的資產組合理論一樣，該模型依靠市場有效率的前提，對我國目前還不盡完善的金融市場現狀，解釋起來有點乏力；其次，該文主要是從數學推導，以及對各種經濟現象的分析得出結論，沒有考慮實際投資中各種其他因素的影響，會使得該模型在實際應用中的效果打折扣；再次，實際操作中，為了規避風險，投資者會進行多期連續且有關聯的投資，因此該模型仍然有待于進一步發展。

參考文獻

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作者簡介：張夢喬（1989-），女，陜西咸陽人，西南財經大學中國金融研究中心，研究方向：貨幣政策、資本市場。