例談一題多解

【摘要】文章通過一道三角求值問題求解過程的評注，展示了如何以數學美感、思想方法為指南，以解題過程反思為途徑進行解題思路的探索、發現和改進.這樣的一題多解有利于深化數學思想方法的領悟、揭示數學知識有機的相互聯系，從而完善數學認知結構、培養數學能力.

【關鍵詞】數學美；數學思想方法；解題過程；反思；探索；發現；改進

一個數學問題，如果我們只有一個解法，不管是自己想出來的還是翻答案看到的，都肯定會存在認識上的局限性.只有在得出更多解法之后，才會對問題的實質有真正的了解，其中不同的解法源于對問題的不同理解和艱難的探索，背后既有數學美感的體驗也包含數學思想方法的引領.在解題中通過各種不同方法的求解可以溝通數學知識的有機聯系，完善認知結構，從而培養數學能力.但是，怎樣才能想出不同的解題思路呢？又怎樣才能改進我們的解法呢?

筆者認為追求數學美感、聯想數學思想方法是探索解題思路的指南，反思解題過程是發現和改進解題方法的有效途徑!

下面，我們將通過一道例題求解過程的評注，感知數學解題思路的探索、發現和改進.

例 求cosπ7-cos2π7+cos3π7的值.

解法1 注意到各式的數字特征，將第一項和第三項直接和差化積，得cosπ7-cos2π7+cos3π7=2cos2π7cosπ7-cos2π7=cos2π72cosπ7-1.

怎樣進一步變形呢？聯想到余弦的二倍角公式cos2α=2cos2α-1和三倍角公式cos3α=4cos3α-3cosα，將上式變形為cos2π74cos2π14-3，再乘上cosπ14cosπ14，我們有：

上式=cos2π74cos3π14-3cosπ14cosπ14

=cos2π7cos3π14cosπ14

=12cos7π14+cosπ14cosπ14=12.

反思 從以上解題過程可以看出，求解的關鍵是運用聯系與轉化的方法以及以退為進的思想，其中關鍵步驟是乘以cosπ14cosπ14，原式如果直接乘上cosπ14cosπ14，可改進解法.

解法2 cosπ7-cos2π7+cos3π7

=cosπ14cosπ14cosπ7-cos2π7+cos3π7

=1cosπ14cosπ14cosπ7-cosπ14cos2π7+cosπ14cos3π7

=121cosπ14cos3π14+cosπ14-cos5π14-cos3π14+cos7π14+cos5π14=12.

反思 如果我們從運算符號的統一與和諧美出發，將“-”全部化為“+”，或者將“+”全部化為“-”，則可以得出類似的多種解法.

解法3 我們知道正弦與余弦函數是一對對偶函數，它們總是有千絲萬縷的聯系.利用數學的對稱美，我們有如下的構造對偶方法.

令A=cosπ7-cos2π7+cos3π7，

B=sinπ7-sin2π7+sin3π7，

則A#8226;B=sinπ7cosπ7-sinπ7cos2π7+sinπ7cos3π7- sin2π7cosπ7+sino2π7cos2π7-sin2π7cos3π7+ sin3π7cosπ7-sin3π7cos2π7+sin3π7cos3π7

=12sin2π7-sin3π7+sinπ7+sin4π7-sin2π7- sin3π7-sinπ7+sin4π7-sin5π7+sinπ7+ sin4π7+sin2π7-sin5π7-sinπ7+sin6π7

=12sin2π7-2sin3π7+3sin4π7-2sin5π7+sin6π7

=12sinπ7-sin2π7+sin3π7

=12#8226;B，

所以cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

反思 這里我們利用了正弦函數與余弦函數的對偶性解決了問題.那么我們用A乘以其本身A，又會有什么呢？

解法4 先化簡cosπ7-cos2π7+cos3π72，我們發現：

cosπ7-cos2π7+cos3π72=32-52cosπ7-cos2π7+cos3π7，

由方程的思想，令x=cosπ7-cos2π7+cos3π7，有x2=32-52x，解得x1=12，x2=-3(舍去)，所以原式=12.

反思 這里用一元二次方程方法解決了三角求值問題，這得益于余弦的積化和差的公式cosαcosβ=12［cos(α+β)+cos(α-β)］的特點.這也使我們體會到了數學的奇異美!

解法5 因為原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7，如果設z=cosπ7+isinπ7，則z7=1的7個根為1，

cos2π7+isin2π7，cos4π7+isin4π7，cos6π7+isin6π7，

cos8π7+isin8π7，cos10π7+isin10π7，cos12π7+isin12π7，

由方程根與系數的關系有：

1+cos2π7+cos4π7+cos6π7+cos8π7+cos10π7+cos12π7=0，由此可得原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7=12.

從上面的方程解法可以看出，它是以方程思想為指南，將三角問題化為方程問題，這種思想在處理數學問題時有廣泛的應用.

其實三角函數與許多知識緊密相連，我們完全可以進一步拓寬我們的思路，挖掘其他解法.其中復數的三角形式就是聯系復數與正弦函數與余弦函數的一座橋梁.

解法6 因為原式=cosπ7+cos3π7+cos5π7，利用復數與三角之間的關系，將三角問題化歸為復數問題.

令A=cosπ7+cos3π7+cos5π7，

B=sinπ7+sin3π7+sin5π7，

z=cosπ7+isinπ7，

則A+Bi=z+z3+z5=z(1-z6)1-z2=11-z

=11-cosπ7-isinπ7

=12sin2π14-2isinπ14cosπ14

=12sinπ14sinπ14-icosπ14

=12+icotπ14，

∴A=12.

反思 求解形如sinα+sin2α+…+sinnα，cosα+cos2α+…+cosnα（其中n是自然數）的值，都可以利用構造思想，利用復數求解.如果聯系到荻美弗定理和共軛復數性質，利用數學的統一與和諧美，可改進解法6.

由上可見，數學美感、思想方法是指導我們探索解題思路的指南、它引導并貫穿于數學解題的全過程；而解題過程的反思，可以優化思維品質、溝通知識間的聯系并發現和改進解題方法.這樣，通過數學思想方法的引領和解題過程的反思將使我們有可能通過有限道題的學習培養起解無限道題的數學機智.

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