例說向量數量積的應用

向量數量積在高中數學學習階段非常重要，它是溝通代數和幾何的有力工具之一，普通高等學校招生全國統一考試江蘇卷考試說明中一直是C級要求.筆者在平時的教學中總結了以下一些典型例題，供大家參考.

一、構造數量積解決代數、幾何問題

1.解決代數問題

例1 已知a，b，c，x，y，z∈R，a2+b2+c2=25，x2+y2+z2=36，ax+by+cz=0，則a+b+cx+y+z的值為.

分析 構造向量p=(a，b，c)，q=(x，y，z)，

p=5，q=6，且p#8226;q=30=|p|#8226;|q|，

∴設p=λq，則λ=|p||q|=56，

∴a=56x，b=56y，c=56z，∴a+b+cx+y+z=56.

2.解決三角形的綜合問題

例2 設三角形三邊長為a，b，c且a+b+c=2p.

求證：p-a+p-b+p-c≤3p.

分析 利用m#8226;n=|m|#8226;|n|cosα≤|m|#8226;|n|，

設m=(p-a，p-b，p-c)，n=(1，1，1)，則

p-a+p-b+p-c

=m#8226;n≤|m|#8226;|n|

=(p-a)+(p-b)+(p-c)#8226;12+12+12

=3p.

例3 如圖，ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，cos∠DAC=35，AB#8226;AC=120.

（1）求cos∠BAD.

（2）設AC=xAB+yAD，求x，y的值.

分析 （1）cos∠BAD=1665.（求解略）

（2）∵AC=xAB+yAD，

∴AC#8226;AB=xAB2+yAD#8226;AB，

AC#8226;AD=xAB#8226;AD+yAD2.

可構造關于x，y的二元一次方程組，

從而解得x=4063，y=5063.

另附兩種解法：坐標法和利用向量的線性運算解決.

建立如圖所示的坐標系，A(0，0)，B(13，0)，C12013，5013，利用向量的坐標運算構造x，y的方程組，解得x=4063，y=5063.

過C點作CD∥AB，CF∥AD，由向量加法的平行四邊形法則，得AC=AE+AF.通過解△CEA，求得AE=25063.同理AF=52063，則

x=AFAB=4063，y=AEAD=5063.

3.解決解析幾何問題

例4 已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=4，直線l1過定點A(1，0)，若l1與圓C相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M.又l1與l2：x+2y+2=0的交點為N，判斷AM#8226;AN是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

分析 此題若分別計算出M，N兩點的坐標，利用兩點間距離公式求化簡求值，計算量很大，若借助于向量的數量積和圓的幾何性質就簡單很多了.

∵AM#8226;AN=-AM#8226;AN=-(AC+CM)#8226;AN

=-AC#8226;AN-CM#8226;AN=-AC#8226;AN，

由題可知l1的斜率k存在，設直線方程為y=k(x-1).

由y=k(x-1)，x+2y+2=0，解得N2k-22k+1，-3k2k+1.

∵A(1，0)，C(3，4)，

∴AC=(2，4)，AN=-32k+1，-3k2k+1.

∴AC#8226;AN=-6-12k2k+1=-6，∴AM#8226;AN=6.

4.解決與角有關的問題

例5 橢圓x29+y24=1的焦點為F1，F2，點P為其上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是.

分析 設點P坐標為（xp，yp），則y2p=4-49x2p，

焦點F1，F2的坐標為F1（-5，0），F2（5，0），

于是PF1=(-5-xp，-yp)，PF2=(5-xp，-yp).

∵∠F1PF2為鈍角，∴PF1#8226;PF2<0，

即(-5-xp)(5-xp)+(-yp)(-yp)<0.

∴x2p+y2p-5<0，從而x2p+4-49x2p-5<0.

∴-35

因此，點P的橫坐標的取值范圍是-35，35.

例6 已知點A（1，2），過點D（5，-2）的直線與拋物線y2=4x交于另外兩點B，C，試判斷△ABC的形狀.

分析 設B，C的坐標分別為(t2，2t)，(s2，2s)，s≠t，s≠1，t≠1.

由B，C，D共線，得DB∥DC.

∴(t2-5)(2s+2)-(s2-5)(2t+2)=0，

化簡，得ts+t+s+5=0，即(s+1)(t+1)=-4.

又 AB#8226;AC

=(t2-1，2t-2)#8226;(s2-1，2s-2)

=(t2-1)(s2-1)+(2t-2)(2s-2)

=(t-1)(s-1)［(s+1)(t+1)+4］=0，

∴AB⊥AC，從而△ABC是直角三角形.

例7 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F2，M，N為橢圓右準線上的兩個動點，且F1M#8226;F2N=0，設C是以MN為直徑的圓，試判斷原點O與圓C的位置關系？

分析 若求出圓C的方程，然后再判斷原點O與圓C的關系計算量較大，若借助于數量積，會減少計算量.若原點O在以MN為直徑的圓上，則OM#8226;ON=0；若原點O在以MN為直徑的圓外，則OM#8226;ON>0；若原點O在以MN為直徑的圓內，則OM#8226;ON<0.

由題可知：F1(-c，0)，F2(c，0)，準線方程為x=a2c.

設Ma2c，y1，Na2c，y2，

F1M=a2c+c，y1，F2M=a2c-c，y2，

∴a4c2-c2+y1#8226;y2=0.

∵OM#8226;ON=a4c2+y1y2=c2>0，

∴原點O在以MN為直徑的圓外.

二、研究數量積的最值的方法

最值的求解與變量的合理選擇分不開，數量積的展開方式有以下三種常用方式，巧妙地選擇展開方式對變量的選擇非常有利.

1.利用a#8226;b=|a||b|cosθ展開后再決定變量

例8 （2010年全國卷1文數）已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點，那么PA#8226;PB的最小值為.

分析 設∠APO=α，則

∠APB=2α，PA#8226;PB=|PA|#8226;|PB|cos2α.

方法一 以邊PA為自變量，設PA=PB=x(x>0)，∠APO=α，則∠APB=2α，PO=1+x2，sinα=11+x2，

PA#8226;PB=|PA|#8226;|PB|cos2α=x2(1-2sin2α)

=x2(x2-1)x2+1=x4-x2x2+1，

令PA#8226;PB=y，則y=x4-x2x2+1，

即x4-(1+y)x2-y=0.

由x2是實數，

∴Δ=［-(1+y)］2-4×1×(-y)≥0，y2+6y+1≥0，

解得y≤-3-22或y≥-3+22.

故(PA#8226;PB）min=-3+22.此時x=2-1.

方法二 以∠APO=α為自變量，則AP=1tanα，

∴PA#8226;PB=1tan2αcos2α=cos2αsin2α(1-2sin2α).

設sin2α=x，則

PA#8226;PB=(1-x)(1-2x)x=2x+1x-3≥22-3.

2.利用向量數量積的坐標表示而后再決定變量

例9 方法三，建系：圓的方程為x2+y2=1，

設A(x1，y1)，B(x1，-y1)，P(x0，0)，

PA#8226;PB=(x1-x0，y1)#8226;(x1-x0，-y1)=x21-2x1x0+x20-y21，

AO⊥PA(x1，y1)#8226;(x1-x0，y1)=0x21-x1x0+y21=0x1x0=1，

PA#8226;PB=x21-2x1x0+x20-y21=x21-2+x20-(1-x21)=2x21+x20-3≥22-3.

3.利用向量的線性運算向其他向量轉移而后再決定變量

例10 已知橢圓C1：x225+y216=1，圓C2：x2+(y-2)2=1，P為橢圓上的任意一點，MN為圓C2的一條直徑，求PM#8226;PN的取值范圍？

分析 若此題一上來就選擇a#8226;b=|a||b|cosθ展開，或設坐標，計算量較大或關系更復雜，如果能結合向量的線性運算來一個轉化，變量會很清晰.

∵PM=PC2+C2M，PN=PC2+C2N，C2M=-C2N，且|C2M|=1，

∴PM#8226;PN

=(PC2+C2M)#8226;(PC2+C2N)

=PC22+PC2#8226;C2N+PC2#8226;C2M+C2M#8226;C2N

=PC22+C2M#8226;C2N=PC2-1.

此題的變量也就是PC2.

設P(x，y)，且x225+y216=1，C2(0，2)，

則PC22-1

=x2+(y-2)2-1=-916y+3292+3169(-4≤y≤4)，

∴3≤PC22-1≤3169.

總之，我們要善于將知識點作橫向和縱向的對比和挖掘，如向量的數量積有模、角的表達形式，有坐標表達，在不同的情境下選擇合適表達會給解題帶來幫助.還要善于對公式的特點進行研究，有時看似無關的問題，借助于向量數量積這個有力的工具問題就會變得簡單.

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