循序漸進(jìn) 啟迪思維 發(fā)揮學(xué)生的主體性

觀察、討論、實(shí)驗(yàn)、推理、辯論等形式引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)，啟迪思維，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，在新的教育模式下，是一個(gè)行之有效的好辦法.這不僅改變了以往數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滿(mǎn)堂灌的模式，從而使學(xué)生由客體轉(zhuǎn)變?yōu)橹黧w，更有利于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，給學(xué)生提供充分的探索空間，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，可以極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.在具體的教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要以全新的教學(xué)理念、知識(shí)體系和教學(xué)方式來(lái)實(shí)施數(shù)學(xué)的教育功能，設(shè)計(jì)并提供豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題.下面筆者就把一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的問(wèn)題設(shè)計(jì)及具體做法介紹給大家，共同分享.

下面這道題是2005年上海的一道高考題，雖然是2005年的，但是這道題很具有代表性，特別能夠啟發(fā)學(xué)生的觀察、討論、推理、發(fā)散思維能力.

如圖，點(diǎn)A，B分別是橢圓x236+y220=1的長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解法一 設(shè)P(x0，y0)，由題知A(-6，0)，F(xiàn)(4，0)，則

PA=(x0+6，y0)，PF=(x0-4，y0).

∵PA⊥PF，∴PA#8226;PF=0，

∴(x0+6)(x0-4)+y20=0.①

又 P在橢圓上，有x20a2+y20b2=1.②

由①②，得x0=32或x0=-6(舍).

又 P在x軸上方，∴y0=523，∴P32，523.

解法二 由kPA#8226;kPF=-1，得y0x0+6×y0x0-4=-1.（以下同法一）

解法三 由|PA|2+|PF|2=|AF|2，得x20+y20+2x0-24=0.（以下同法一）

解題完畢后，傳統(tǒng)的做法是，老師再給學(xué)生分析一下能者對(duì)錯(cuò)，一般情況不讓學(xué)生去探討，這也是傳統(tǒng)教學(xué)模式下的最大常見(jiàn)弊端，不能有效地提高全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.在教學(xué)中筆者是請(qǐng)同學(xué)們思考：是否對(duì)任意的橢圓都存在這樣的點(diǎn)P？同學(xué)們經(jīng)過(guò)討論后，得到確定的答案：不是.因?yàn)槭裁茨兀靠梢杂靡粋€(gè)具體的事例來(lái)說(shuō)明.例如，橢圓x225+y224=1就不存在這樣的點(diǎn)P.

思考一 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），點(diǎn)F，A分別是橢圓左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，當(dāng)離心率e為何值時(shí)，在橢圓上存在點(diǎn)P，使PF⊥PA？

解 A（a，0），F(xiàn)(-c，0)，設(shè)P(x0，y0)，由kPA#8226;kPF=-1，

得y0x0-a×y0x0+c=-1，x20a2+y20b2=1.

∴(b2-a2)x20+a2(a-c)x0+a2(ac-b2)=0，

∴x0=a（舍）或x0=a(b2-ac)a2-b2.

由x0

∴a2-2c2-ac<0，∴2e2+e-1>0.

∴12

故當(dāng)12

思考二 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），A是橢圓的右頂點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)離心率e為何值時(shí)，在橢圓上存在點(diǎn)P，使OP⊥PA.

解 設(shè)P(x0，y0)，A(a，0)，則

y0x0×y0x0-a=-1，x20a2+y20b2=1.

(a2-b2)x20-a3x0+a2b2=0，x0=a（舍）或x0=ab2a2-b2.

由x0

∵a>b>0，∴2b2

故當(dāng)22

筆者由一道高考題設(shè)置了多個(gè)問(wèn)題，通過(guò)一題多變、一題多解的形式，逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握一類(lèi)問(wèn)題的解法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，達(dá)到觸類(lèi)旁通.這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和多向思維，讓學(xué)生的思維呈現(xiàn)“發(fā)散——會(huì)聚——發(fā)散”的交替過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、推理、交流等理性思維過(guò)程，逐步引導(dǎo)學(xué)生在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過(guò)積極主動(dòng)地思維而將新知識(shí)內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)而達(dá)到“問(wèn)能解惑，問(wèn)能知新”，即學(xué)問(wèn)學(xué)問(wèn)，在學(xué)中問(wèn)，在問(wèn)中學(xué).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文