“球面余弦定理的證明”教學設計

【摘要】對貴州省197名職前和在職教師作“球面上的幾何”掌握情況問卷調查，分析高師學生對選修專題“球面上的幾何”作教學設計的必要性，并對其中的“球面三角形余弦定理”做了教學設計.

【關鍵詞】球面幾何；球面三角形余弦定理；教學設計

國家教育部在2005年頒布了《普通高中數學課程標準（實驗）》，今年已經全國全面實施.該標準在必修的基礎上增加了選修課程，選修課程的設置是本次課程改革的亮點，數學選修部分有四個系列，其中“球面上的幾何”是作為高中數學新課程標準選修系列的一個內容，是繼立體幾何后的一次重大延伸.球面幾何是非歐幾何的一部分，所蘊涵的數學思想很豐富，且內容抽象難懂，是一門不論對教學理念的更新、教法的優化，還是對學生學法的探討、數學學習心理的研究等都具有極為深遠意義的課程.

1.教學設計背景

教學設計是運用系統方法分析教學問題和確定教學目標、建立解決教學問題的策略方案、試行解決方案、評價試行結果和對方案進行修改的過程.新課程是否能夠順利實施關鍵在于教師.為此，筆者對來自貴州省四十多個縣市70名高中數學教師、貴州兩所師范院校數學教育專業127名在校本科生共197人進行問卷調查，他們的平均教齡為0年到25年不等.通過對196份有效答卷進行分類整理、統計得到如下的調查結果.如下表：

注：A.沒有學習過，不了解；B.沒有學習過，只是從一些書籍和媒體中了解過一些；C.初步學習過，印象不深；D.學習過，基本掌握；E.學習過，掌握較好.

從表中可知，球面幾何的內容只有7.1%的老師學習過，基本掌握，3.1%的老師學習過，掌握較好，但高達73.7%的老師沒有學習過，而16.1%的老師雖學習過但印象不深.由此可見，如果廣大的數學教師沒有先“充電”，新課標的課程開設，必成空中樓閣.

高師學生是未來教師的生力軍，是參加課改的重要力量.高中課改對他們以后的教學提出了挑戰.要想當好先生，就得先當好學生.讓高師生在走出校門之前掌握好球面幾何的相關知識以便他們走出校門后能更好地適應新課改.所以對高師學生作“球面上的幾何”教學設計非常必要.

球面三角形余弦定理是球面幾何的一個重要定理，它在球面幾何中起到球面幾何代數化的作用.通過教學設計理論的指導，筆者根據學習者的學習需要，對球面余弦定理進行內容、教學目標分析，實驗、總結得出以下教學設計方案.

2.教學方案設計

教學目標：（1）能掌握向量法證明球面三角形余弦定理；（2）能理解為什么球面三角公式中邊用弧度制來表示；（3）能說明球面三角形余弦定理與平面三角形余弦定理的區別與聯系.

教學重點：（1）球面余弦定理的證明；（2）應用球面三角形余弦定理解球面三角形.

教學難點：（1）理解球面三角形的邊用弧度來表示；（2）用向量表示球面三角形的邊角.

教學媒體：幻燈片、黑板、粉筆、自編校本教材.

教學過程：

（1）導入新課

師：在平面三角形中，已知兩角邊及夾角或三邊可用余弦定理來求其他的邊與角.同學們來回憶一下平面三角形的余弦定理.

生：設△ABC的三條邊分別是a，b，c，它們的對角分別是∠A，∠B，∠C，則

c2=a2+b2-2abcosC，b2=c2+a2-2cacosB，

a2=b2+c2-2bccosA.

師：現在我們來看球面三角形，已知兩邊及夾角或三邊，怎樣來求其他的邊和角呢？實際上，球面三角形也有余弦定理.來看定理4.（展示幻燈片）

（2）探索新知

圖 1

從公式看，它們的關系和平面三角形余弦定理一致，只是形式不一樣而已.（公式中a，b，c是邊，但是用它所在大圓的角來表示.如圖1，a實際上是∠BOC，b表示∠AOC，這是因為同一球面上，半徑一樣長.所以可用圓心角表示弧長了）

這些公式的證明，我們只需證其一.另外兩個輪換即可.要證明書上這個恒等式，先看預備知識.（展示幻燈片）

師：在立體幾何的證明中，我們常用到向量法，向量法往往使證明變得更簡單，那么這個定理的證明能不能也用向量法來證明呢？

生：能.

師：如果能，那么我們首先得把公式中的邊和角轉換成向量對吧？a，b，c，A，B，C是球面三角形六個元素.這六個元素怎樣用三個元素OA，OB，OC來表示呢？

A，B，C是單位球面上的三點，OA，OB和OC是單位向量，則球面△ABC的三個角A，B，C的弧度數和三條邊a，b，c的邊長（也用弧度表示）分別可以用空間向量OA，OB，OC表示如下：

其中a就是OB，OC之間夾角的弧度，由向量數量積（內積）的幾何意義知：cosa=OB#8226;OC，同理有cosb=OA#8226;OC，cosc=OA#8226;OB.

師：三邊已經用OA，OB，OC表示了，現在再來思考以下三角怎樣用OA，OB，OC來表示？

生：翻開書，思考，但還是答不上來.

師：A=∠CAB就是“向量OA，OB所張的平面”和“向量OA，OC所張的平面”之間的夾角，所以角A也等于OA×OB和OA×OC之間的夾角，即

（OA×OB）#8226;（OA×OC）=|OA×OB||OA×OC|cosA=sincsinbcosA.

同理有（OB×OC）#8226;（OB×OA）=sinasinccosB，

（OC×OA）#8226;（OB×OC）=sinbsinacosC.

有了以上的預備知識，可以證明球面三角形余弦定理了.

生：我看出來了，公式右邊的sincsinbcosA和預備知識有聯系，所以證明可以從右邊入手.（跟著學生的思路證明，必要的時候作說明）

證明 sincsinbcosA

=（OA×OB）#8226;（OA×OC）

=［（OA×OB）×OA］#8226;OC

=［（OA#8226;OA）#8226;OB-（OB#8226;OA）#8226;OA］#8226;OC

=（OA#8226;OA）#8226;（OB#8226;OC）-（OB#8226;OA）#8226;（OA#8226;OC）.

亦即cosa=cosbcosc+sinbsincsinA.

同理可以證明其他恒等式.

生：這個定理的證明是在假設是單位球面的情況下證明的.當R≠1時，這個定理是否成立？

師：這名同學問得好，會提問題比解決問題更重要.若a表示弧長，公式中在R≠1時，應變為：

cosaR=cosbRcoscR+sinbRsincRcosA，

cosbR=coscRcosaR+sincRsinaRcosB，

coscR=cosaRcosbR+sinaRsinbRcosC.

（3）討論反思

生：定理證明用到空間解析幾何知識，高中生沒有學這方面知識，在高中教學應該怎樣處理呢？

師：高中確實是沒有學習空間解析幾何知識，若要用向量法講解，只能直接告訴學生某些結論.比如說，湘教版的處理就是直接告訴學生拉格朗日恒等式，兩平面夾角就是兩平面法向量的夾角.求法向量，又涉及法向量的計算，這些知識點只有程度好的學生才能接受.

生：哦，那能不能用綜合法證明？

師：可以，你們下去先試著用綜合法證明，下次課大家來討論.

師：當C=π2，△ABC稱為球面直角三角形，于是cosc=cosa#8226;cosb.這個公式稱為勾股定理，這與平面三角形勾股定理形式差別很大.實際上，當球面半徑很大，而三角形面積很小時，球面三角公式可用相應平面三角公式來代替.

應用例題：設球面△ABC的三邊分別為a=π2，b=π3，c=π4，求角A，B，C的大小.

解：利用球面三角形邊的余弦定理cosa=cosbcosc+sinbsinccosA，可以求得cos∠A=-33，求得A=125.3°.

生：同樣稱為余弦定理，球面三角形余弦定理和平面三角形余弦定理有什么聯系？

師：從外形看這兩個定理實在是找不到什么聯系，但仔細分析，它們是有聯系的.大家先找一下.

生1：這兩個定理都是為了解決三角形已知兩邊以及夾角，求其他三角形的邊和角問題.

生2：都可以解決已知三角形三邊求其他三角的問題.（沒人回答）

師：這兩個定理的內在本質是一致的.球面三角形當半徑無限大，而范圍很小時，球面三角形余弦定理可以近似地用平面三角形余弦定理代替.很多球面三角公式也有類似結論.

3.教學反思

本案例是關于球面三角形余弦定理的證明，由于證明涉及的知識點較多，學生接受起來感到困難，但因為采用逐步分化知識點的方法，符合學生心理的發展，學生容易接受.學生學習這塊內容是為了以后到高中教學，因而學習目的性強.課前鼓勵他們提問，所以學生根據自己的需要提出了一些很好的問題.比如，問：用向量法教給高中生他們能接受嗎？當R≠1時，余弦定理還成立嗎？等.現在高師課堂上都是滿堂灌，學生鮮有發言機會.而本案例教學中，學生積極參與進來，師生交往融洽.學生通過這個定理的學習，可以鞏固以前學過的知識，如空間解析幾何的相關知識等.學生提到用綜合法處理是否可行的問題，實際上可用綜合法，證明如下：

圖 2

證明 在單位球面上，設球心為O，連接OA，OB，OC，則過點A作弧AB的切線交直線OB于D，過點A作弧AC的切線交直線OC于E，連接DE（如圖2）.

顯然，AD⊥AO，AE⊥AO，在Rt△OAD中，

AD=tan∠AOD=tanc，

OD=1cos∠AOB=1cosc.

在Rt△OAE中，

AE=tan∠AOC=tanb，OE=1cos∠AOC=1cosb，

∠A=∠EAD.

在△ODE中，利用平面三角形的余弦定理

DE2=OD2+OE2-2OD#8226;OEcos∠BOC

=1cos2c+1cos2b-2cosc#8226;cosbcosa.(2)

在△ADE中，

DE2=AD2+AE2-2AD#8226;AEcosA

=tan2c+tan2b-2tanc#8226;tanbcosA.（1）

因為（1）式與（2）式左端相等，所以右端也相等，經化簡整理，即得cosa=cosbcosc+sinbsinccosA.類似地可以得到另外兩式.

【參考文獻】

［1］烏美娜.教學設計［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［2］項昭等.高中選修課專題研究［M］.貴陽：貴州人民出版社，2007.

［3］嚴士健，王尚志.數學選修3-3——球面上的幾何.北京：北京師范大學出版社，2006.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文