與正整數有關命題的非數學歸納法證明

【摘要】高中階段，對于與正整數有關的命題，由于題目要求用數學歸納法證明，因此很少有學生會用其他方法來證明.當然比較容易就能看出怎么用非數學歸納法來解的題目這里就不考慮了，本文主要選取一些不容易看出如何用非數學歸納法來解的與自然數有關的命題.這種做法，可以有效地訓練學生的數學思維，訓練學生的觀察力、邏輯推理和靈活應用知識的能力.

【關鍵詞】數學歸納法；命題；數學思維

一、添湊法

對于恒等式問題，兩邊形式不一樣，結果相等.數學里常采用的就是添湊，然后再經過恒等變形，就可以將問題解決.

例1 （上海教育出版社高一上學期教材第157頁）證明：(n+1)(n+2)#8226;…#8226;(n+n)=2n#8226;1#8226;3#8226;…#8226;(2n-1)(n∈N*).

證明 左邊=1#8226;2#8226;…#8226;n#8226;(n+1)(n+2)#8226;…#8226;(n+n)1#8226;2#8226;…#8226;n

=(2n)!n!

=2#8226;4#8226;…#8226;(2n)#8226;1#8226;3#8226;…#8226;(2n-1)n！

=2n#8226;1#8226;2#8226;…#8226;n#8226;1#8226;3#8226;…#8226;(2n-1)n!

=2n#8226;1#8226;3#8226;…#8226;(2n-1)=右邊.

因此，原等式對n∈N*成立.

例2 證明：1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*).

證明 左邊=1+13+…+12n-1-12+14+…+12n

=1+13+…+12n-1+12+14+…+12n- 212+14+…+12n

=1+12+…+12n-1+12+…+1n

=1n+1+1n+2+…+12n=右邊.

因此，原等式對n∈N*成立.

二、放縮法

對于不等式問題，經常會使用放縮法.放縮法，簡單地說，就是把式子放大或縮小，但具體怎么放就需要一定的觀察力和邏輯推理能力.

例3 （1992年“三南”高考題）證明：不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈N*).

證明 由1k=22k<2k+k-1=2(k-k-1)(k∈N*)，得

1+12+13+…+1n

<2(1-0)+2(2-1)+…+2(n-n-1)

=2(1-0+2-1+…+n-n-1)

=2n.

即1+12+13+…+1n<2n.因此，原不等式對n∈N*成立.

三、相消法

相消法，就是對代數式作變形，通常是裂項，當變形后有很多式子可以互相抵消，達到化簡證明的目的.

例4 （上海教育出版社高一上學期教材第157頁）已知數列{an}的通項公式為an=1(n+1)2(n∈N*)，記f(n)=(1-a1)(1-a2)#8226;…#8226;(1-an)，求f(n)的表達式.

解 f(n)=1-1221-132#8226;…#8226;1-1(n+1)2

=22-122#8226;32-132#8226;…#8226;(n+1)2-1(n+1)2

=1×322×2×432×…×n(n+2)(n+1)2

=12×32×23×43×…×nn+1×n+2n+1

=n+22(n+1).

四、利用an與Sn的關系

在解決數列問題時，經常利用到an與Sn的關系，但學生比較喜歡的是把Sn轉化為an，得到關于an的遞推關系.事實上，有時得不到關于an好的遞推關系時，就可以考慮把an轉化為Sn.

例5 正數數列{an}中，Sn=12an+1an.求an的表達式.

解 當n≥2時，有Sn=12Sn-Sn-1+1Sn-Sn-1，

化簡，得S2n-S2n-1=1.

因此，數列{S2n}是公差為1的等差數列.

把n=1代入題中的等式，利用a1=S1，

得S1=12S1+1S1，解得S1=±1.

因為an>0(n∈N*)，所以Sn>0，因此S1=1.

因此，數列{S2n}是首項為S21=1，公差為1的等差數列.

因此，S2n=1+(n-1)=n.

因為Sn>0，所以Sn=n.

下面再利用an與Sn的關系，不難求出an的表達式為an=n-n-1.

五、利用二項式定理

在考慮有些與整除有關的數學歸納法題目時，可以考慮用二項式定理.

例6 （上海教育出版社高一上學期教材第159頁）證明：33n+1+93n+1+1(n∈N*)能被13整除.

證明 33n+1+93n+1+1

=27n#8226;3+729n#8226;9+1

=(2×13+1)n#8226;3+(56×13+1)n#8226;9+1

=［(2×13)n+C1n(2×13)n-1+…+Cn-1n(2×13)+1］#8226;3+［(56×13)n+C1n(56×13)n-1+…+Cn-1n(56×13)+1］#8226;9+1

=2n#8226;13n#8226;3+C1n#8226;2n-1#8226;13n-1#8226;3+…+Cn-1n#8226;2#8226;13#8226;3+56n#8226;13n#8226;9+C1n#8226;56n-1#8226;13n-1#8226;9+…+Cn-1n#8226;56#8226;13#8226;9+13.

因為上式中每一項都能被13整除，所以33n+1+93n+1+1(n∈N*)能被13整除.

六、利用數列的單調性

對于有關不等式的證明，有時可以考慮用數列的單調性來證明.

例7 （1998年全國高考文科卷）用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數n，

證明：1+131+15#8226;…#8226;1+12n-1>2n+12.

證明 記f(n)=1+131+15#8226;…#8226;1+12n-1#8226;22n+1(n>1且n∈N*)，

由f(n+1)f(n)=1+12n+12n+12n+3=2n+2(2n+1)(2n+3)=4n2+8n+44n2+8n+3>1，

得f(n)是n>1且n∈N*上的單調遞增函數.

因此，f(n)≥f(2)=1+13×52=253>1.

即原不等式對n>1且n∈N*成立.

【參考文獻】

［1］楊雪男.一個數學歸納法例題教學的一點體會［J］.數學通訊，2007(19).

［2］聶文喜.用數學歸納法證明遞推不等式的幾點技巧［J］.數學教學研究，2007(2).

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