關于“第一類換元法求不定積分”的學習方法

【摘要】在微積分的學習中，用第一類換元積分法（又叫做湊微分法）求不定積分時，很多同學感覺無從下手，主要原因是不能正確選定中間變量.本文將會給出同學們很容易接受的方法.

【關鍵詞】第一類換元法；湊微分法

第一類換元法求不定積分具有如下特征：

∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)duu=φ(x).

例1 求不定積分∫2xcosx2dx.

分析 通過觀察，被積函數中出現了x2與2x，兩者之間恰好滿足(x2)′=2x，如果我們把x2看做一個φ(x)，那么cosx2就是一個關于φ(x)的函數f［φ(x)］，即滿足特征形式.如果我們采用換元法，令u=φ(x)，則恰好是第一類換元法（或湊微分法）的形式.

解 令u=x2，du=2xdx，則

原式=∫cosudu=sinu+C=sinx2+C.

如果體現“湊”的原理，即被積函數的一個部分能夠寫成某個整體的導數形式，即∫2xcosx2dx=∫cosx2d(x2)，從而由等式右端求出結果.

例2 求不定積分∫x33(x4-5)2dx.

分析 冪函數求導之后指數會降一次冪，x3肯定是由x4求導得來的.顯然分母中含有四次冪的多項式x4-5，那么它就是我們可以看做中間變量u的多項式.

解 令u=x4-5，則du=d(x4-5)=4x3dx，

∴原式=14∫13u2du=14∫u-23du

=14#8226;u-23+1-23+1+C=34u13+C.

如果直接體現“湊”的原理，即分子部分能夠寫成某個整體的微分形式，即∫x33(x4-5)2dx=14∫13(x4-5)2d(x4-5)，從而求出結果.

通過上面的兩個例子，我們總結如下：

如果所求不定積分形式為∫u(x)v(x)dx或∫u(x)v(x)dx，若v(x)中含有p(x)，且p′(x)=cv(x)（c為常數），則令p(x)為中間變量即可.這里要強調和解釋的是，如果不定積分的被積函數是相除關系時，中間變量一定出現在分母的位置.詳細地解釋一下，在這種形式下，簡單地尋找中間變量的方法就是：首先找出冪指數最低的多項式，然后看是否存在比這個指數大“1”次的多項式，如果存在，那么這個高一次的多項式就是我們要找的中間變量；如果被積函數是相除關系時，首先看分子的最低次冪是幾，如果分母中含有比分子高一次的多項式，那這就可以采用第一類換元法了，令分母中你找到的多項式為中間變量即可.

當然這種總結并不是萬能的，它只針對被積分函數中的兩個多項式是冪函數形式的，有些特別形式也容易把握，只要能熟練把握基本的求導公式即可.比如：

例3 求不定積分∫(lnx)2xdx.

對lnx和1x我們比較敏感，因為(lnx)=1x，即1xdx=d(lnx)，從而原式=∫(lnx)2d(lnx)=(lnx)33+C.

例4 求不定積分∫e1xx2dx.

我們熟悉的微分形式是1x2dx=-d1x，從而原式=-∫e1xd1x=-e1x+C.

我們這里不逐一舉例了，常見的湊微分形式如下：

1xdx=d(lnx)，1x2dx=-d1x，cosxdx=dsinx，

sinxdx=-dcosx，exdx=dex，1xdx=-2d(x)，

11-x2dx=d(arcsinx)，11+x2dx=d(arctanx)，

sec2xdx=dtanx，csc2xdx=-dcotx.

我們需要注意的問題：使用湊微分法求不定積分，有時還需要先用代數運算、三角變換對被積函數作適當變形才能積分.比如：

∫dx4+9x2

=∫dx41+94x2=14∫dx1+32x2

=14#8226;23∫d32x1+32x2

=16arctan32x+C.

∫dx4-9x2

=∫dx41-94x2=12∫dx1-32x2

=12#8226;23∫d32x1-32x2

=13arcsin32x+C.

這里我們還要分析一種如下形式的不定積分，首先要拆項：

例5 求不定積分∫dx4-9x2dx.

解 ∵14-9x2=1(2-3x)(2+3x)=1412-3x+12+3x，

∴∫14-9x2dx

=∫1(2-3x)(2+3x)dx

=14∫12-3xdx+14∫12+3xdx

=14#8226;-13∫12-3xd(2-3x)+ 14#8226;13∫12+3xd(2+3x)

=112ln2+3x2-3x+C.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文