定積分應用中“以舊換新”的教學方法

【摘要】定積分在平面圖形面積求解問題中有強大的優勢，但如何在教學中能將它的普適性更好地讓學生理解和接受，巧妙地運用學生熟悉的舊問題舊方法與新方法同步類比，學生自然而然便可從中感受定積分的強大功能，并幫助其進行具體應用.

【關鍵詞】定積分；應用；舊問題；新方法

定積分求解平面圖形面積時，運用舊問題，采用新方法，不僅可以幫助學生理解方法的運用過程，同時更能讓同學們體驗到積分法求平面圖形的“普適性”，能提升學生學習新知識的興趣，找到知識學習的動力點.

定積分是一個過程性的概念，對給定閉區間上連續函數進行分割、求和與取極限三個步驟，得到相應的常量即為該函數在此區間上的定積分.在講解定積分的概念時，往往都會以曲邊梯形面積的求解為引例，也會據此來表述定積分的幾何意義，它的幾何意義正是運用定積分解決平面圖形求解的依據.在以往的教學中，往往在運用這一方法求解時，只對應了一般平面圖形的面積求解的問題，可以直接利用幾何意義，針對不同函數曲線所圍成的圖形面積進行求解.在對這一內容進行講解時，有不少同學對內容的接受是十分被動的，不能真正體會到定積分在解決平面圖形面積求解問題時真正的優勢所在.我們知道，新知識的學習和接受的多少、好壞，在很大程度上取決于之前知識的鋪墊，鋪墊過渡越自然，學生學起來也會越輕松易受，反之則會困難和被動.為此，合理利用好之前所學內容，將舊問題用新方法解決，請同學們自己比較新舊兩種方法，便會在比較中獲知新知識學習的必要性和實用性.因此，在本部分內容的講解中，我們將舊問題提出，用舊新兩種方法來解決并加以比較，實現知識的“以舊換新”，在教學中取得了較好的效果.

一、提出舊問題，回顧舊方法

對于圖形面積的求解，同學們已不陌生，他們已經非常熟悉一些具有一定規則形狀圖形的面積求解，如長方形、三角形、梯形和圓形等，運用的方法均為公式法.

長方形面積=長×寬；

三角形面積=12（底邊×高）；

梯形面積=12（上底+下底）×高；

圓形面積=πr2（r為圓的半徑）.

公式法的特點即是一一對應，即一個圖形，一個公式.由于多數同學在學習時，均不習慣于或不善于對所學知識進行整合，對同一問題進行歸類分析，同樣對這種公式法求解特殊圖形面積，也僅僅停留在一對一的應用上.作為教師，應在此幫助學生從整體上看待問題，把以上的方法看成一種公式方法的運用，提出這種方法的弊端在于針對性過強，而使一個公式的使用范圍受到局限，同一個問題，即均為平面圖形面積求解，卻要采用各自不同的公式進行解決.那么，有沒有一種更具備普適性的方法來一次性解決以上平面圖形面積的求解問題呢？回答是肯定的，那就是定積分.但是如何讓以上不同的圖形同時歸于一種方法？其中的重要載體或者說使用前提是什么？

二、舊問題如何引入新方法

定積分在求解平面圖形面積時，功能非常強大，但強大不是嘴上說說就行的，要用實例說明和證明，讓學生心服口服.方法的應用和問題的解決往往需要一些先行條件，即如何將以上問題與定積分扯上關系.讓同學們仔細回顧定積分的概念，要使他們認識到定積分是用來研究函數的數學工具，它的具體應用當然離不開函數這個載體，也就是說，以上特殊圖形面積的求解也必須以函數為對象.那么圖形如何與函數一一對應，這里可以引導同學們借助于解析幾何所學知識來完成這種轉換.這幾種數學課程的相互鏈接，也會幫助學生體驗到知識間的內在聯系與相互依存，而不是把它們獨立分割.比如矩形在直角坐標系中可以轉化為一條平行于x軸的直線與兩條與x軸垂直的直線所圍成的平面圖形；圓形可以看作由圓這個二次曲線所圍成的封閉圖形.在解析幾何中，這些特殊圖形均能有函數的形式與之對應，從而很好地完成了圖形函數化的過程，而這個過程中完全運用學生以往所學知識，不存在太大的學習困擾因素.

三、舊問題，新舊兩種方法同時出擊，比不同

完成了特殊圖形函數化的過程，那么接下來就要發揮定積分的作用了.在讓學生理解定積分幾何意義的基礎上，將以上圖形面積用新舊兩種方法求解，一來比較，二來驗證.具體比較內容見下表.

從這個圖表中，學生便很快地也很清楚地看到了定積分這種方法的優勢，大有“放之四海而皆準”的效果.通過比較，可以將所學知識很好地串連在一起，比較的方法對于知識點的把握和理解通常是非常有效果的.我想這里所作的比較雖是一些非常簡單的知識的聯合組成的一個比較構架，但將簡單的問題進行歸納、分析會得到良好的比較效應，也能給學生帶來一種豁然開朗的感覺.

當然在教學中還應將定積分的這類應用放置在更一般的平面圖形中進行練習，才能使同學們逐步地掌握好和應用好.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文