巧設(shè)直線方程,找準(zhǔn)函數(shù)關(guān)系式

直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)的模型（簡稱為相交弦模型）是解析幾何中一種常見的數(shù)學(xué)模型，特別在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題中，更為常見.而相交弦中涉及的最值問題，由于涉及的變量或參數(shù)過多，使得我們在面對含有多個(gè)參數(shù)的運(yùn)算式子中，不能找準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，以致失去解決問題的信心．下面以兩道例題為例，探討如何巧設(shè)直線方程，找準(zhǔn)函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而解決相關(guān)弦中的最值問題．

例1． 已知拋物線y2=2px（p>0）的一條長為l的弦AB，求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解析：如右圖所示，設(shè)M的坐標(biāo)為（x0，y0），則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d=x0．因此，求距離d的最小值，可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M橫坐標(biāo)x0的最小值．考慮到M是弦AB的中點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x0=．要表示式子的值，我們很自然會(huì)聯(lián)立直線AB與拋物線的方程，消y，得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理x1+x2=-．

問題一：如何準(zhǔn)確、有效表示直線AB的方程？

由于直線未過定點(diǎn)，可考慮斜截式y(tǒng)=kx+b，但斜率有可能不存在，所以應(yīng)對斜率存在與否進(jìn)行分類討論．為了避免以上討論，我們可以設(shè)直線AB的方程為x=ky+b，其中k，b∈R．

對于直線方程：x=ky+b，我們需要注意以下兩點(diǎn)：

（1）此方程不能表示平面直角坐標(biāo)系下的所有直線，因?yàn)槠湮窗本€與y軸垂直，即直線為y=m，m∈R的情況．顯然直線y=m不符合題意，否則與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；

（2）此時(shí)參數(shù)k不再表示直線的斜率．

由x=ky+b，y2=2px，消x得到關(guān)于y的一元二次方程：y2-2pky-2pb=0．

所以y1+y2=2pk，y1y2=-2pb，x1+x2=（ky1+b）+（ky2+b）=k（y1+y2）+2b=2pk2+2b.

所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離d=x0==pk2+b．

問題二：如何找準(zhǔn)距離d的函數(shù)關(guān)系式？

觀察關(guān)系式：d=pk2+b，其中p為常數(shù)，k和b為參數(shù)．要確定距離d的函數(shù)關(guān)系式，我們需要尋找參數(shù)k和b應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而用k表示b，或用b表示k，使得距離d僅由一個(gè)參數(shù)來表示．

注意到已知條件中弦AB的長度為l，且AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2．

由（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=4p2k2+8pb，（x1-x2）2=[（ky1+b）-（ky2+b）]2=k2（y1-y2）2.

所以l2=（1+k2）（y1-y2）2=（1+k2）（4p2k2+8pb）.

顯然，此時(shí)用k表示b的可操作性更加強(qiáng)．得到：b=-.

所以d=pk2+b=pk2+-=+=+-.

問題三：如何求距離d的最小值？

（1）當(dāng)l≥2p時(shí)，d=pk2+b=+-≥2-=-.

當(dāng)且僅當(dāng)=，即k=±時(shí)，dmin=，

此時(shí)y0==pk=±，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，±）．

（2）當(dāng)0

d（t）=-=>0，所以函數(shù)d（t）在[1，+∞）單調(diào)遞增，所以dmin（t）=d（1）=．

此時(shí)t=1+k2=1，即k=0，此時(shí)弦AB與x軸垂直，中點(diǎn)M落在x軸上，坐標(biāo)為（，0）．

綜上（1）（2）可得AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離d=，l≥2p，此時(shí)Ｍ（，±）.０

例2． 已知F1（-2，０），F(xiàn)2（2，０）是橢圓Ｃ的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為M，N，且MN的最小值為6，求橢圓C的方程．

解析： 依題意可設(shè)橢圓C的方程為+=1（a>b>0），且a2=b2+4，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

因?yàn)橹本€過點(diǎn)F1且與y軸垂直，及直線方程為y=0時(shí)，MN=2a，不可能為最小值，所以可設(shè)過點(diǎn)F1（-2，０）的直線方程為x=ky+b，其中k，b∈R．

由x=ky+b，+=1，消x得到關(guān)于y的一元二次方程：（b2k2+a2）y2-4kb2y-b2（4-a2）＝0．注意到b2=4-a2，所以方程化簡為：（b2k2+a2）y2-4kb2y-b4＝0，所以y1+y2=，y1y2=，（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=+＝.

注意到a2=4+b2，所以（y1-y2）2==，（x1-x2）2=[（ky1+b）-（ky2+b）]2=k2（y1-y2）2，MN==l2＝==.

注意到a2-b2=4，所以MN===≥.

注意到a2=b2+4，所以MN=≥==，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)1+k2=0，即k=0，弦MN取得最小值=6，此時(shí)弦MN與x軸垂直．

由=6且a2=b2+4，解得a2=16，b2=12，所以所求橢圓方程為+=1．

評注：通過以上兩個(gè)例題的分析與求解，我們可以體驗(yàn)到：

（1）用“x=ky+b”表示直線方程，既可以避免對直線斜率的存在與否進(jìn)行分類討論，又可以在式子的運(yùn)算和化簡中降低運(yùn)算量．當(dāng)然，我們亦要注意到直線與y軸垂直這一特殊情況；

（2）確定函數(shù)關(guān)系時(shí)，要充分利用已知條件所提供的等式．如例一借助等式“AB=l”，得到b=-，使得距離d用參數(shù)k來表示；例二在建立MN的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，已知等式“a2=b2+4”一共用了四次，進(jìn)而化簡得到MN=，最終確定用參數(shù)k表示MN；

（3）確定函數(shù)關(guān)系式之后，同學(xué)們應(yīng)能熟練借助基本不等式和導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)最值．

小結(jié)：解析幾何中相交弦的最值問題，同學(xué)們往往對含有多個(gè)參數(shù)的式子運(yùn)算和化簡，內(nèi)心充滿畏懼和自卑心理．如何調(diào)整和扭轉(zhuǎn)這種不良心態(tài)，一方面，同學(xué)們要對這類問題進(jìn)行定時(shí)、定量的訓(xùn)練，塑造自己運(yùn)算和化簡含參數(shù)式子的自信心；另一方面，同學(xué)們要通過閱讀和領(lǐng)悟，歸納出解決相交弦最值問題的常用方法和技巧，進(jìn)而降低運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度和解題準(zhǔn)確度．

（作者單位：江門市新會(huì)第一中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)