會想才能會做

前段時間有位同學問我這樣一個問題：“老師，我做題的時候經(jīng)常不知道怎么去想，您一講我就明白了，而且這些知識好像都不難！能不能告訴我，拿過來一道題該如何去想？哪里才是問題的突破口？”這個在相當多同學中存在的問題讓我沉思良久，感覺很難回答！是啊，如果能創(chuàng)造個模型，讓同學們遇到哪一類問題，就直接遵循這個模型，豈不省事（這也是很多同學的美好愿望）？不過我的回答恐怕要令大家失望了，由于我們遇到的試題條件是千變?nèi)f化的，不管三七二十一就“以不變應萬變”肯定不現(xiàn)實，那是不是說就毫無規(guī)律可言了呢？也不是，我把自己的做題經(jīng)驗結合具體例子總結如下，權作拋磚引玉吧！

一、適度聯(lián)想，天塹變通途

例1. 方程2x-=2的實數(shù)根的個數(shù)為 .

分析與解：直接解方程，顯然不明智，能否從函數(shù)圖像上找到突破口？方程2x-=2的實數(shù)根個數(shù)對應于函數(shù)f(x)=2x-2與g(x)=圖像交點的個數(shù)，兩者都是增函數(shù)（這就是選擇這兩個函數(shù)的原因），且交點橫坐標x0∈(1，2)，因此實數(shù)根的個數(shù)為1.

例2. 已知函數(shù)f(x)=2x-3，若0<2a

f(b+3)，則T=3a2+b的取值范圍是 .

分析與解：要求T=3a2+b的取值范圍，應將問題轉化為a（或b）的二次函數(shù)，入手點是判斷出a與b的等量關系.函數(shù)f(x)=2x-3的圖像關于直線x=對稱，若f(2a)=f(b+3)，則變量2a，b+3關于直線x=對稱，即2a+(b+3)=3，b=-2a（至此成功了一半）.又因為0<2a

例3. 若圓C：(x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則h的最小值為 .

分析與解：圓C：(x-h)2+(y-1)2=1在直線x+y+1=0的右上方區(qū)域內(nèi)（含邊界），則直線與圓相切或相離，圓心到直線的距離不小于半徑1，即≥1（不帶絕對值公式更簡單，原因何在？），解得h≥-2，即h的最小值為-2.

例4. 過直線l：y=2x上一點P作圓C：(x-8)2+(y-1)2=2的兩條切線l1，l2，若l1，l2關于直線l對稱，則點P到圓心C的距離為 .

分析與解：若l1，l2關于直線l對稱，則由對稱關系知l⊥PC（想出這一層，難點已經(jīng)被突破了），點P到圓心C的距離為圓心C到直線l的距離，即PC==3.

點評：平面幾何的知識在本題解答過程中，起到了舉足輕重的作用.

二、類比遷移，成破竹之勢

例5. 已知點P（a，b）關于直線l的對稱點為P′（b+1，a-1），則圓C：x2+y2-6x-2y=0關于直線l對稱的圓C′的方程為 .

分析與解：設圓C′上的任意一點為P（x，y），則點P（x，y）關于直線l的對稱點為P′（y+1，x-1）（題設已給出對稱軸，“同理”代換而已），P′（y+1，x-1）必在圓C：x2+y2-6x-2y=0上，所以(y+1)2+(x-1)2-6(y+1)-2(x-1)=0，整理可得(x-2)2+(y-2)2=10.

點評：類比遷移，避重就輕，解題已成一種樂趣.

例6. 若=(1，0，2)，=(2，2，0)，=(0，1，2)，點M在直線OC上運動，當#8226;取得最小值時點M的坐標是 ．

分析與解：點M在直線OC上運動，則=?姿＝(0，?姿，2?姿)，即M(0，?姿，2?姿)，＝(1，-?姿，2-2?姿)，=(2，2-?姿，-2?姿)，#8226;=5?姿2-6?姿+2=5（?姿-）2+（想不到吧，竟然是利用向量背景考查了二次函數(shù)的最值），則當且僅當?姿=時#8226;取得最小值，此時M(0，，) .

點評：將平面向量的有關性質(zhì)和定理類比推廣到空間向量，問題的求解自是水到渠成.

例7. 設=，=是夾角為60°的兩個單位向量，若=x+y（x，y?綴R），?葒PMN是以M為直角頂點的直角三角形，則x-y= .

分析與解：=x+y，=（x-1）+y，=-+，Rt?葒PMN滿足#8226;=0，即[(x-1)+y]#8226;(-+)=(1-x)+y+(x-1-y)#8226;，而 、是夾角為60°的兩個單位向量，則==1，#8226;=，也就是#8226;=1-x+y+（x-1-y）=（1-x+y）=0，所以x-y=1.

點評：對于平面向量的非正交基底問題，解題過程中“實數(shù)化”和整體意識相當重要.

三、分類討論，開啟智慧窗

例8. 已知函數(shù)f(x)=x2-2，若當0≤a≤b時f(a)≥f(b)，則滿足條件的點(a，b)所圍成的區(qū)域的面積為

.

分析與解：畫出函數(shù)f(x)=x2-2的圖像，觀察圖像可知，當0≤a≤b時f(a)≥f(b)對應的點有兩部分組成：0≤a≤，0≤b≤，a≤b和0≤a≤，≤b≤2，a2+b2≤4（原來背景居然是線性規(guī)劃啊）兩部分圍成的區(qū)域恰好是以原點為圓心、半徑為2的圓的（第一象限的平分線應該能引起你足夠的重視），所以對應區(qū)域的面積為×?仔×22=.

點評：話說“解題”天下大勢，分久必合合久必分.想要有所建樹，就要學會分而治之，各個擊破.

例9. 在區(qū)間[-5，5]內(nèi)隨機地取出一個數(shù)a，使得1?綴{x｜2x2+ax-a2>0}的概率為 .

分析與解：2x2+ax-a2=(2x-a)(x+a)>0，當a>0時，x>或x<-a；當a<0時，x<或x>-a；當a=0時，無解（分類討論就是這樣悄無聲息地“當春乃發(fā)生”）；若1?綴{x｜2x2+ax-a2>0}，則當a>0時<1，即0

點評：分類討論不是因為“為賦新詞強說愁”，更不是我們喜歡分類討論，但它卻是“該出手時就出手”.

例10. 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{a2n}的前n項和為Tn，滿足a1=1，Tn=-（p-Sn）2，其中p為常數(shù).

（1）求p的值及數(shù)列{an}的通項公式；

（2）①是否存在正整數(shù)n，m，k（n

②若對于任意的正整數(shù)n，都有an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，求出實數(shù)x，y的值.

分析與解：（1）當n=1時，T1=-（p-S1）2=-（p-a1）2=a12，將a1=1代入可得p=0或p=2.（接下來針對p的分類討論就是“不得已而為之”了）

當p=0時，Tn=-Sn2，當n=2時，1+a22=-（1+a2）2，解得a2=0或a2=-，均與an>0矛盾，所以p≠0，只能p=2.

當p=2時，Tn=-（2-Sn）2，當n=2時，1+a22=-（1-a2）2，解得a2=0（舍去）或a2=，a2=a1.

又Tn+1=-（2-Sn+1）2與Tn=-（2-Sn）2相減整理可得3an+1=4-Sn-Sn+1，進一步將3an+2=4-Sn+1-Sn+2與3an+1=4-Sn-Sn+1相減可得3an+2-3an+1=-an+1-an+2，仍有an+2=an+1成立.

由此可知，{an}是等比數(shù)列，且an=21-n.

（2）①假設存在正整數(shù)n，m，k（n

②若對于任意的正整數(shù)n，都有an，2xan+1，2yan+2成等差數(shù)列，則21-n+2y-n-1=2×2x-n，即1+2y-2=2x，所以當且僅當y-2=0，x=1同時成立，即實數(shù)x=1，y=2.

點評：分類討論、化歸轉化、類比歸納、反證法完美的融于一題之中，實乃罕見精品.

四、草船借箭，明主攻方向

例11. 在平面直角坐標系xOy中，點P為曲線y=-x3+1在第一象限內(nèi)的一個動點，曲線在點P處的切線與兩個坐標軸分別交于A，B兩點，則?葒AOB的面積的最小值為 .

分析與解：y′=-3x2，則點P(xp，1-x3P)處的切線方程為y-1+x3P=-3x2P（x-xP）（其中0

點評：至少我們要有整體意識和構造思想，方可乘著草船去，滿載箭羽歸.

例12. 對于任意實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，那么 [log3k]= [log31]+ [log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]= ．

分析與解：因為30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243（整體把握不可少），所以[log31]= [log32]=0（共31-30個），[log33]+[log34]=…=[log38]=1（共32-31個），[log39]=[log310]=…=[log326]=2（共33-32個），[log327]=[log328]=…=[log380]=3（共34-33個），[log381]=[log382]=…=[log3242]=4（共35-34個），[log3243]=5，則[log3k]=（31-30）×0+（32-31）×1+…+（35-34）×4+5（不過是數(shù)列求和問題罷了，“無他，唯手熟爾”），即[log3k]=2×0+6×1+18×2+54×3+162×4+1×5=857.

點評：縱然新定義題再新鮮，只要解開其神秘的面紗，無非是求和而已.

例13. 已知?琢-l-?茁是大小為45°的二面角，C為二面角內(nèi)一定點，且到平面?琢和?茁的距離分別為和6，A，B分別是半平面?琢，?茁內(nèi)的動點，則△ABC周長的最小值為 .

分析與解：點C關于平面?琢和?茁的對稱點分別為C1，C2，連結CC1，CC2，C1C2，C1C2與?琢，?茁的交點分別為A，B，則此時△ABC周長最小（“對稱是如此的美麗，讓你不忍停止前進的腳步”），∠C1CC2=135°，且CC1=2，CC2=12（至此，空間問題已經(jīng)平面化），由余弦定理可得C1C2==10，即△ABC周長的最小值為10.

點評：“化曲折為平直”“空間問題平面化”是大家熟悉的戰(zhàn)略戰(zhàn)法，關鍵是怎么用.

例14. 如上圖，ABCD是正方形空地，邊長為30m，電源在點P處，點P到邊AD，AB距離分別為9m，3m．某廣告公司計劃在此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，MN∶NE=16∶9．線段MN必須過點P，端點M，N分別在邊AD，AB上，設AN=xm，液晶廣告屏幕MNEF的面積為Sm2．

（1）求S關于x的函數(shù)關系式及該函數(shù)的定義域；

（2）當x取何值時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小？

分析與解：（1）易知AM=（10≤x≤30）（勿忘定義域），MN2=AN2+AM2=x2+（后面有妙用哦）．

∵MN∶NE=16∶9，∴NE=MN．

∴S=MN#8226;NE=MN2=[x2+]，定義域為[10，30]．

（2）S′=[2x+]=×，令S′=0，得x=0（舍去），x=9+3. 當10≤x<9+3時，S′<0，S關于x為減函數(shù)；當9+30，S關于x為增函數(shù)，∴當x=9+3時，S取得最小值．

答：當AN長為9+3m時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小（很多時候，“答”并非可有可無的）．

點評：題設條件已經(jīng)引導大家逐步“構造”函數(shù)，借助導數(shù)求解最值問題，化解了“如何想”的難度.

應當說，不同的思考角度，就會有不同的解題思路，也就導致不同的解題效果.要想解決怎么想的問題，僅憑單純的看是不能解決問題的，能力和技巧都需要大量艱苦的解題訓練和多動手的實踐，慢慢積累經(jīng)驗.全文中隨機附上了一些“怎么想”和“為什么”的提示，每道例題再加上一些感慨（點評）和同學們分享，希望這幾塊“磚”，能確確實實引出更多的“玉”.

責任編校 徐國堅