優化解題方法,避免分類討論

分類討論是一種重要的數學思想方法和解題策略.由于分類討論對知識準確性把握，以及思維嚴謹性要求較高，時常成為同學們解決問題的“攔路虎”.因此在平常學習時，同學們比較注重如何進行分類討論，而怎樣優化解題方法、避免分類討論的思想方法卻重視不夠. 現采擷幾例，介紹避免分類討論的九種策略，供同學們參考.

策略一：巧用公式

【例1】設等比數列an的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為 .

【分析】如果利用等比數列前n項和公式求解，則需要對公比q=1和q≠1兩種情況進行討論.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+(1+q)an+1，代入已知條件，即可避免分類討論，使問題容易得到解決.

【解析】因為Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+(1+q)an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+(1+q)an+1，可得(2+q)an+1=0，又an+1≠0，則q=-2.

【評析】對于涉及等比數列前n項和的問題，若能直接運用已知條件中各個量的關系求解，既可避免討論又可使問題得到靈活解決.

策略二：數形結合

【例2】若方程cos2x+sinx=a有解，求實數a的取值范圍.

【分析】若原方程化為2sin2x-sinx+a-1=0，令sinx=t(-1≤t≤1)，得2t2-t+a-1=0為t的一元二次方程，若對此方程恰有一根或恰有兩根在區間[-1，1]上進行討論，則過程較繁.注意到a=-2t2+t+1，只要y=a與y=-2t2+t+1(-1≤t≤1)有交點，可避免討論.

【解析】由cos2x+sinx=a，得2sin2x-sinx+a-1=0，令sinx=t(-1≤t≤1)，得2t2-t+a-1=0，即a=-2t2+t+1，由題意知，只要y=a與y=-2t2+t+1(-1≤t≤1)有交點，故實數a的取值范圍是[-2，].

【評析】對于已知方程或不等式有解，求參數取值范圍的問題，若能轉化為函數的值域或圖像的交點個數問題，既可避免討論又可使問題變得簡單易解.

策略三：分離參數

【例3】奇函數f(x)是R上的減函數，若對任意的x∈(0，1]，不等式f(kx)+f(-x2+x-2)>0恒成立，求實數k的取值范圍.

【分析】根據f(x)是R上的奇函數，將f(kx)+f(-x2+x-2)>0化為f(kx)>f(x2-x+2)，再根據f(x)是R上的減函數，得到x2-(1+k)x+2>0.若記?漬(x)=x2-(1+k)x+2，則需要?漬(x)=x2-(1+k)x+2的最小值大于0，因此在求函數的最小值時需要分類討論，如果我們將x2-(1+k)x+2>0進行分離參數，即k

【解析】∵f(kx)+f(-x2+x-2)>0，且f(x)是R上的奇函數，減函數，∴f(kx)>f(x2-x+2)，得到kx

∵x∈(0，1]，可得k

令h(x)=x+，因為h(x)在（0，）上是減函數，故當x∈(0，1]時，顯然有h(x)min=h(1)=3，∴k<3-1，即k<2，∴k的取值范圍為（-∞，2）.

【評析】按照常規思路，由（1）式轉化為x2-(k+1)x+2>0在x∈(0，1]上恒成立問題，可令g(x)=x2-(k+1)x+ 2，然后根據二次函數性質及對稱軸位置的變化，進行分類討論，得到：<0，g(0)>0或0≤<1，g()>0或≥1，g(1)>0，解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，從而求得k的取值范圍為（-∞，2）.這樣解就顯得比較繁瑣，因為有些不等式在區間上的“恒成立”問題，一般通過分離變量，轉化為函數的最值問題求解.就可以避免分類討論，使得解題過程簡明快捷，少走彎路.

策略四：整體分析

【例4】已知函數f(x)=x2+2ax+a+1，g(x)=x-1nx，若對任意的x1，x2∈[1，2]，都有f(x1)≤g(x2)成立，則實數a的取值范圍為 .

【分析】由對任意的x1，x2∈[1，2]，都有f(x1)≤g(x2)成立，即fmax(x)≤gmin(x).因此再求函數f(x)的最大值時常規思路是對于二次函數的對稱軸與區間的位置進行分類討論.倘若同學們從整體思維出發，由二次函數的圖像可知，函數f(x)的最大值是f(1)或f(2)，所以只要f(1)≤gmin(x)，f(2)≤gmin(x).

【解析】由題意可知：∵ x∈[1，2]，∴g'(x)=1-≥0，

∴ gmin(x)=g(1)=1，∴f(1)≤1，f(2)≤1，即1+2a+a+1≤1，4+4a+a+1≤1，解得a≤

-，所以實數a的取值范圍為（-∞，-].

【評析】整體分析是一種重要的數學思想，它是從全局的視角上去通觀問題，放棄細節，把握解題方向. 受定勢習慣思維的影響，在解含參問題時，一些同學先想到的是如何分類討論，而忽視了從整體把握問題，突破常規思路，切中解題要點避免分類討論.

策略五：正難則反

【例5】已知函數f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若在區間［－1，1］內至少存在一個實數c，使f(c)>0，求實數p的取值范圍.

【分析】若從正面考慮，則要討論函數f(x)在區間［－1，1］內存在一個實數或兩個實數，使得f(c)>0.若從反面考慮，則可避免討論.

【解析】若在區間［－1，1］內不存在實數c，使f(c)>0，則只需f(1)≤0，f(-1)≤0，即-2p2-3p+9≤0，-2p2+p+1≤0，解得p≤-3或p≥，故符合題意的p的取值范圍是(-3，).

【評析】有的問題直接入手涉及多個方面，討論繁瑣.若利用原命題與非命題或事件與對立事件間的關系，從結論反面著手去思考解決，可以開拓新的解題思路，從而避開分類討論.

策略六：變更主元

【例6】設不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足m≤2的一切m的值都成立，求m的取值范圍.

【分析】本例為含參數的不等式，關鍵是對參數的處理，從表面上看，是一個關于x的一元二次不等式，實質上是一個關于m的一元一次不等式，并且已知它的解集為［-2，2］，求參數的范圍.因此通過參數m與未知數x的地位的變化，借助于一次函數圖像，避免了對參數的討論.

【解析】設f(m)=(x2-1)m+(1-2x)，它是以m為自變

量的一次函數，其圖像為直線，由題意知，這條直線當x∈[-2，2]時，線段在y軸的下方，滿足它的為f(-2)<0，f(2)<0，即-2x2-2x+3<0，2x2-2x-1<0，∴x<或x>，

【評析】在含有參量的方程、不等式問題中，若已知參量的取值范圍，需確定主變量的取值范圍，常常可以變換主元，構造以參量為自變量的函數(變換主元)，實現反客為主，避開分類討論.

策略七：巧妙換元

【例7】當0

【分析】由題意原不等式可化為>x-2，按照常規的解題方法，需要對x-2≥0和x-2<0兩種情形分類討論.倘若我們通過換元即t=(t≥0)，便可避免分類討論.

【解析】由0x-2，令t=(t≥0)，則原不等式可化為t2-2t-3<0，解得-1

【評析】引參換元是一種重要的數學方法， 當數學的形式結構較復雜時，可考慮換元轉化，通過改變數學問題的形式化特征，實現問題簡化.

策略八：消去參數

【例8】設00且a≠1，比較loga(1-x)與loga(1+x)的大小.

【分析】本例通常應分a>1與0

【解析】運用作商比較法，∵01-x，>1+x>1，∴=log1+x(1-x)=-log1+x(1-x)=log1+x>1，∴loga(1-x)>loga(1+x).

【評析】數學定義以及基本原理是數學知識再生之源，蘊涵特定的數學思想方法.對于一些數學問題，若從最基本的知識點入手，回歸定義，聯想性質，可以優化解題過程.

策略九：運用特值

【例9】函數f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1，1]總有f(x)≥0 成立，則a= ．

【分析】本題無論是求函數f(x)的最小值還是利用參數分離都不可避免地要進行分類討論，倘若利用特值法，可以迅速地“秒殺”本題.

【解析】f(-1)≥0，f(1)≥0，f(0)≥0， ∴2≤a≤4.又∵f()≥0，∴a≥4，則a=4．

【評析】本題巧妙地應用特值法，從而避免了一場“大規模”的討論，將“曲徑”變“通途”，值得深思.

分類討論是一種重要的數學思想方法和解題策略，但它并非都是解決問題的上策或良策.因此，同學們要注意克服動輒加以討論的思維定勢，充分挖掘數學問題中潛在的特殊性和簡單性，盡力打破常規，避免不必要的分類討論.

（作者單位：江蘇省通州高級中學)

責任編校 徐國堅