2012年高考三角與平面向量命題預測

縱觀2011年全國各地的高考數學試題，出現了一些富有時代氣息的三角函數與平面向量考題，它們形式獨特、背景鮮明、結構新穎，主要考查考生分析問題、解決問題的能力和處理交匯性問題的能力.過去的考題可以說是精彩紛呈，奇花斗艷.面對即將來臨的2012年高考，我們該如何從哪些方面入手呢？

一、抓客觀性試題，既抓“考點”又抓“創新”，以“以小促大”

三角函數與平面向量在每年的高考中都會命出一至兩道客觀性試題，對此我們既要注重可能命題的考點，又要注意出現的試題創新，在狠抓基礎、狠抓小題的基礎上來促進基礎知識的完善、基本技能的靈活，進一步提高對大題的求解能力.常規情況下，客觀性試題大致有以下兩類：

（1）以考查基礎知識與基本運算為主，難度較小，以“送分題”的形式與考生見面，對此我們一定要“笑納”，絕不拒絕.

例1. 已知向量、不共線，=k+（k∈R），=-，如果∥，那么（ ）

A． k=1且與同向 B． k=1且與反向

C． k=-1且與同向 D． k=-1且與反向

解析: 取=（1，0），=（0，1），若k=1，則=+=（1，1），=-=（1，-1），顯然，與不平行，排除A、B. 若k=-1，則=-+=（-1，1），=-+=-（-1，1），即∥且與反向，排除C，故選D.

點評: 本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法. 屬于對基礎知識、基本運算的考查.求解方法是特取法.取一個滿足條件的特殊值，進行驗即可產生結論.當然，不排除面對此題仍存在“束手無策”的考生，特別是那些想通過對一般性問題進行求解的考生，這樣真是“小題大做”了，就算做對了，也隱形失分了.

例2. 已知函數f（x）=sin?棕x+cos?棕x（?棕>0），y=f（x）的圖像與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于?仔，則f（x）的單調遞增區間是（ ）

A. k?仔-，k?仔+，k∈Z

B. k?仔+，k?仔+，k∈Z

C. k?仔-，k?仔+，k∈Z

D. k?仔+，k?仔+，k∈Z

解析：由f（x）=sin?棕x+cos?棕x?圯f（x）=2sin（?棕x+），由題設f（x）的周期為T=?仔，∴?棕=2，即f（x）=2sin（2x+）.

由2k?仔-≤2x+≤2kx+，得k?仔-≤x≤k?仔+，k∈Z ，故選C.

點評：本題考查函數的周期性、單調性、解析式的轉化等.難點在于從“圖像與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于?仔”想到函數的周期，抓住這一點后，分數也就“撿”到手了.

（2）以基本技能為出發點，考查考生分析問題與解決問題的能力.由于客觀性試題具有試題“實驗田”的特點，因此，小、巧、活形式的試題常在試卷中出現，而三角函數函數與平面向量又是頻率較高的內容.

例3. 設Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若＝?姿（?姿∈Ｒ），＝?滋（?滋∈Ｒ），且＋＝２，則稱Ａ３，Ａ４調和分割Ａ１，Ａ２，已知平面上的點Ｃ，Ｄ調和分割點Ａ，Ｂ，則下面說法正確的是（ ）

A. C可能是線段AB的中點

B. D可能是線段AB的中點

C. C，D可能同時在線段AB上

D. C，D不可能同時在線段AB的延長線上

解析：根據題意可知＋＝２，若C或D是線段AB的中點，則?姿＝或?滋＝，此時不可能有＋＝２；若C，D可能同時在線段AB上，則0２矛盾，若C，D同時在線段AB的延長線上，則?姿>1，?滋>1，0<＋<２，故C，D不可能同時在線段AB的延長線上，答案選D.

點評：本題是一道向量試題.可以看出，它并不那么“溫柔”，首先要弄清什么是“調和分割”；其次，要分析為什么其它說法不正確.顯然，此題雖是小題，但考查力度卻不小.

例4. 在△ABC中，已知2#8226;=#8226;=3，求角C的大小為（ ）

A． B．

C． 或 D． 或

解析：設ＢＣ＝a，AC=b，AB=c，由2#8226;=#8226;，得2bccosA=bc?圯cosA=，又A∈（0，?仔），因此A=，由#8226;=3得bc=a2，于是sinC#8226;sinB=sin2A=.

所以sinC#8226;sin（-C）=?圯sinC#8226;（cosC+sinC）=，因此2sinCcosC+2sin2C=?圯sin2C-cos2C=0?圯sin（2C-）=0，由A=知0

點評：本題是一道三角、向量與三角形結合的綜合題，向量只是載體而已，其實質是正、余弦定理與三角變換.從求解過程來看，本選擇題不亞于一道三角的解答題.如果考生對兩角和差的三角函數公式非常熟悉的話，還可以由cos（B-C）-cos（B+C）=2sinBsinC，將B+C=且sinBsinC=代入得cos（B-C）=0，而-

例5. 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如右圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動.若=x+y，其中x，y∈Ｒ，則x+y的最大值是 .

解析：設∠AOC=?琢，

由#8226;=x#8226;+y#8226;，#8226;=x#8226;+y#8226;?圯

cos?琢=x+y，cos（120°-?琢）=-x+y，∴x+y=2[cos?琢+cos（120°-?琢）]=

cos?琢+sin?琢=2sin（?琢+）≤2.

點評：本題是一道三角、向量、即興設計的圖形結合的小型綜合題，題目不大，但頗具新意.再也不向前面試題那樣，看一遍即有思路了，如果不能合理地利用條件的話，可能難以產生結論.

二、抓主觀性試題，既抓“題型”又抓“交匯”，以“以大包小”

2012年的《考試說明》以及近兩年的高考試題告訴我們一個事實：三角試題涉及知識點較多，難度較小，且以考查基本公式與基本運算為主.因此，對解答題的復習，我們要抓常規題型，抓基礎知識與基本公式的運用.抓知識交匯，以此提高對解答題的應變能力，同時也提高對客觀性試題的分析、求解能力.主觀性試題中，以下類型，我們必須抓好:

（1）考查三角函數定義.

例6. 如圖，O為坐標原點，點A，B，C均在⊙O上，點A（，），點B在第二象限，點C（1，0）.

（Ⅰ）設∠COA=，求sin2的值；

（Ⅱ）若△AOB為等邊三角形，求點B的坐標.

解析：（Ⅰ）由三角函數的定義，得cos=，sin=，那么sin2=2sincos=.

（Ⅱ）因為△AOB為等邊三角形，所以△AOC=60°，那么cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°-sin∠AOCsin60°=.

同理，sin∠BOC=，故點A的坐標為（，）.

點評：此題建立在三角函數定義的基礎上，考查兩角和的正、余弦公式、同角三角函數之間的基本關系式.設計獨特，符合廣東高考的命題思路.

（2）考查基本公式的應用.

例7. 已知函數f（x）=sin2x-2sinxcosx+3cos2x．

（Ⅰ）求函數f（x）的單調增區間；

（Ⅱ）已知f（?琢）=3，且α∈（0，?仔），求α的值．

解析：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2．

由2k?仔-≤2x+≤2k?仔+?圯k?仔-≤x≤k?仔+，∴函數f（x）的單調增區間為[k?仔-，k?仔+]（k∈Z）．

（Ⅱ）由f（?琢）=3，得2sin（2?琢+）+2=3?圯sin（2?琢+）=，∴2?琢+=+2k1?仔，或2?琢+=+2k2?仔（k1，k2∈Z），即?琢=k1?仔或?琢=+k2?仔（k1，k2∈Z）．

∵?琢∈（0，?仔），∴?琢=．

點評： 本題的求解關鍵在于利用基本公式sin2x=，cos2x=及二倍角公式、兩角和的正弦公式等，對所給出的三角式的化簡，若能將sin2x+cos2x轉化為2sin（2x+）就宣告求解成功.

（3）考查三角函數圖像及性質.

例8. 如圖是函數f（x）=

Asin（?棕x+?覬）（A>0，?棕>0，0

（1）寫出f（x）的解析式

（2）若g（x）的圖像與f（x）的圖像關于直線x=2對稱，寫出g（x）的解析式

解析：（1）由圖像可知A=2，T=7-（-1）=8，又由=8，得?棕=，得f（x）=2sin（+?覬）.結合f（-1）=0，即2sin（-+?覬）=0，得?覬=，那么f（x）=2sin（+） .

（2）注意對稱時最值不變、周期不變，于是g（x）=2sin（+?覬1）.

由于（-1，0）關于直線x=2的對稱點為（5，0），于是g（5）=0，即2sin（+?覬1）=0，得?覬1=-，故g（x）=2sin（-）.

點評：本題建立在圖像的基礎上，對三角函數的圖像性質，特殊角的三角函數值，對稱性，周期性等進行了考查.求解時，注意其基本步驟，先求A，再求?棕，然后再求?覬即可.

（4）考查平面向量與三角結合.

例9. 已知向量=（cosx，sinx），=（-cosx，cosx），=（-1，0）.

（1）若x=，求向量與的夾角；

（2）當x∈[，]時，求函數f（x）=2#8226;+1的最大值.

解析：（1）當x=，=（，）.

由cos<， >==

=-.

∵<，>∈[0，?仔]，∴<， >=，即向量與的夾角為.

（2） f（x）=2#8226;+1=2（-cos2x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos2x-1）=sin2x-cos2x=sin（2x-）.

由x∈[，]?圯2x-∈[，2?仔]?圯sin（2x-）∈[-1，]，∴當2x-=，即x=時，fmax（x）=1.

點評：本題的第一問是向量運算，第二問是三角函數的最值問題，兩問結合實現了向量與三角的完美“牽手”，試題難度不大，主要是向量與三角的基本運算，只需細心即可準確求解.

（5）考查三角變換與解三角形.

例10. 在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足tanC=，sin（B-A）=cosC.

（1）求A，B；

（2）若S△ABC=3+，求a，c.

解析：（1） 因為tanC=?圯=，

所以，sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，

即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，得sin（C-A）=sin（B-C），所以C-A=B-C或C-A=?仔-（B-C）

(不成立).

即2C=A+B， 得C=，所以B+A=.

又因為sin（B-A）=cosC=，則B-A=或B-A=（舍去） ，得A=，B=.

（2）S△ABC=acsinB=ac=3+，又=， 即= ，得a=2，c=2.

點評：三角形中三角變換，除了要掌握常規的變換之外，還要注意三角形中三角的特點，如：sinC=sinB cosA+cosB sinA.

（6）考查利用正余弦定理求解實際應用問題.

例11. 已知，甲船由A島出發向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15海里/小時，在甲船從A島出發的同時，乙船從A島正南40海里處的B島出發，朝北偏東（tan=）的方向作勻速直線航行，速度為m海里/小時．

（1）若兩船能相遇，求m．

（2）當m=10時，求兩船出發后多長時間距離最近，最近距離為多少海里？

解析：（1）設兩船在M處相遇，sin∠AMB=sin（45°-）=，由正弦定理得=，所以AM=40，同理得BM=40，∵t=，∴m==15.

（2）以A為原點，BA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，設在t時刻甲、乙兩船分別在P，Q處，則AP=15t，BQ=10t．由tan=，可得cos=，sin=．

根據任意角三角函數的定義，可得點P的坐標是x1=15tcos45°=15t，y1=15tsin45°=15t，即向量=（15t，15t）.

過點A作向量相等向量，同理可得的坐標為（10t，20t），即向量=（10t，20t），從而向量=+=（10t，20t-40）．

所以=-=（-5t，5t-40），所以===≥20.

當且僅當t=4時，取得最小值20，即兩船出發4小時時，距離最近，最近距離為20海里．

點評：本題考查正弦定理、平面向量等基礎知識，考查靈活運用知識分析問題解決問題的能力.第一問兩船能夠相遇即在某個時刻時，兩船的航行路線恰好相交，根據正弦定理即可確定兩船的航行距離和所用時間，進而求出乙船的速度；第二問在運動變化中求兩船之間距離的最小值，即求平面上兩個動點之間距離的最小值，以時間為變量建立兩點間距離的函數，通過函數的方法求解.

三角函數與平面向量在高考中的命題，無論是客觀題還是主觀題都不是難題.與其它知識比較，還屬于基礎題與中低檔題.因此，準確、快速的解好此類題對較好的完成全卷在心理上會起到重要作用，希望你能把握好這個機會，取得理想的高考分數.

（作者單位：中山市第一中學）

責任編校 徐國堅