追本溯源,水到渠成

分類討論是一種重要的數學思想方法，是高考考查的重點和熱點問題.對分類討論的考查常以導數f ′（x）為載體.由于導函數的解析式含有字母參數，于是問題就轉化為討論含有字母參數的方程（或不等式）.不少同學在解題時，往往“望字母（參數）生畏”.主要表現在：有的不知道分類，有的知道分類但找不到分界點，有的討論過程中有重復和遺漏，有的討論之后不會歸納總結.下面結合求解含參數的三次函數的單調區間，談談如何讓分類討論水到渠成.

一、追本溯源探本質

三次函數的一般形式為f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其導函數為f ′（x）=3ax3+2bx+c，判別式為△=4b2-12ac，則函數f（x）的圖像為如下幾種類型：

對參數進行的討論，是根據解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數加以分類、討論.求三次函數的單調區間，就是確定二次不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集，其解法就等同于含參數的一元二次不等式的解法了.

二、水到渠成究方法

由上表可以看出，三次函數單調區間由f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集來決定，因此可以從根的大小、判別式△和二次項系數等以下三個方面來入手討論.

1．“一比”——比較方程f ′（x）=0的根的大小.

當f ′（x）二次項系數不含參數且能進行因式分解時，若不等式對應的方程的根x1，x2含有參數，則對x1，x2的大小來分類，即分x1＜x2，x1=x2，x1>x2.

例1． 設函數f（x）=-x3+x2+（m2-1）x（x∈R），求函數f（x）的單調區間與極值.

分析：對函數f（x）求導，得f ′（x）=-x2+2x+m2-1=-[x-（1-m）][x-（1+m）]，方程f ′（x）=0的兩個根是x=1-m或x=1+m，這兩個根的大小關系不確定，因此分類的標準是1-m與1+m的大小關系.

解析：f ′（x）=-x2+2x+m2-1，令f ′（x）=0，得到x=1-m或x=1+m.

①當1+m＞1-m，即m＞0時，

當x變化時，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）是減函數，在（1-m，1+m）是增函數.

函數f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f（1+m）=m3+m2-.

函數f（x）在x=1-m在處取得極小值f（1-m），且f（1-m）=-m3+m2-.

②當1+m=1-m，即m=0時，此時，f ′（x）≤0恒成立，故f（x）函數的單調減區間為R，無極值.

③當1+m＜1-m，即m＜0時，

當x變化時，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）在（-∞，1+m）和（1-m，+∞）是減函數，在（1+m，1-m）是增函數.

函數f（x）在x=1-m處取得極大值f（1-m），且f（1-m）=-m3+m2-.

函數f（x）在x=1+m在處取得極小值f（1+m），且f（1+m）=m3+m2-.

評注：當二次項系數不含參數且能進行因式分解時，其解法較容易，只討論根的大小.本題中對m的討論時，0的選取依據是比較兩個根的大小.解題關鍵是熟練掌握三次函數的圖像特征，做到眼中有題，心中有圖.

類題演練1：已知函數f（x）=x3+ax2+bx，且f ′（-1）=0.

（I）試用含a的代數式表示b；（Ⅱ）求f（x）的單調區間.

答案：（I）b=2a-1.（Ⅱ）當a＞1時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區間為（1-2a，-1）；當a=1時，函數f（x）的單調增區間為R；當a＜1時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調減區間為（-1，1-2a）.

2．“二判”——討論判別式的符號.

對于f ′（x）二次項系數不含參數且不能因式分解，而只能利用求根公式的一元二次不等式時，若判別式△=b2-4ac中含有參數，則對判別式△的符號分類，即分△＞0，△=0，△＜0.

例2． 已知函數f（x）=x-+a（2-Inx），a＞0.討論f（x）的單調性.

分析：正確求導f ′（x）=，設g（x）=x2-ax+2，欲確定g（x）=0的根的情況，則討論△＞0，△≤0（此時f ′（x）≥0恒成立，因此可合為一種情況）兩種情況，由此來確定f ′（x）的圖像，進而在心中描繪出原函數圖像，并最終確定函數的單調區間.

解析：f（x）的定義域是（0+∞），f ′（x）=1+-=

.

設g（x）=x2-ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a2-8.

①當△=a2-8≤0，即0＜a≤2時，對一切x＞0都有f ′（x）≥0，此時f（x）在（0，+∞）上是增函數.

②當△=a2-8＞0，即a＞2時，

方程g（x）=0有兩個不同的實根x1=，x2=，且0＜x1＜x2 .

此時f（x）在（0，）和（，+∞）上單調遞增，在（，）上單調遞減.

綜上知：當0＜a≤2時，f（x）在(0，+∞)上為增函數；當a>2時，f（x）在（0，），（，+∞），上為增函數，在（，）上為減函數.

評注：含參數的一元二次不等式，可先分解因式，再討論求解，若不易分解，也可對△分類討論，或利用二次函數圖像解之.本題中對a的討論時，0和2的選取依據是題設條件和根存在的條件.本例求解時要特別注意函數的定義域！

類題演練2：已知函數f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.討論函數f（x）的單調區間.

答案：當-≤a≤時，f（x）在R上為增函數；當a>或a<-時，f（x）在(-∞，)，(，+∞)上為增函數，在(，)上為減函數.

3．“三系數”——討論二次項系數.

若二次項系數a含有參數，則對a的符號分類，即分a>0，a=0，a<0.

例3． 已知函數f（x）=(x∈R)，其中a∈R.求函數f（x）的單調區間與極值.

分析：函數f（x）的導數f'（x）==.f'（x）>0?圳-2(x-a)(ax+1)>0，該不等式的類型是不確定的.當a=0時，是一次不等式，當a≠0時，是二次不等式.所以需分a=0，a≠0進行討論.而二次不等式的二次項系數的正負影響二次不等式的解集，所以本題可以將字母參數a分為a=0，a＞0，a＜0三種情況.

解析：由f ′（x）=.

①當a＞0時，令f ′（x）=0，得到x=-或x=a.當x

變化時，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在（-∞，-）和（a，+∞）上為減函數，在（-，a）上為增函數.

函數f（x）在x=-處取得極小值f（-），且f（-）=-a2，

函數f（x）在x=a處取得極值f（a），且f（a）=1.

②當a=0時，f ′（x）=，易知f（x）在（-∞，0）上為增函數，在（0，+∞）上為減函數.在x=0處取得極大值f（0），且f（0）=1.

③當a＜0時，令f ′（x）=0，得到x=a或x=-，當x變化時，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在（-∞，a）和（-，+∞）上為增函數，在（a，-）上為減函數.

函數f（x）在x=a處取得極值f（a），且f（a）=1.

函數f（x）在x=-處取得極小值f（-），且f（-）=-a2，

評注：本例討論標準分兩類，第一類是依據二次項系數，第二類是依據二次方程兩根的大小.題中參數a與0的大小關系，不僅確定了不等式的類型，還確定了a與-的大小，從而降低了試題難度.若不然，問題會比較復雜，但只要抓住二次項系數、△、解的大小這三點，有次序地按大小討論，問題就不難解決.

類題演練3：已知函數f（x）=ax3-3x2+1-，討論函數f（x）的單調性.

答案：當a＞0時，f（x）在（-∞，0）和（，+∞）上是增函數，在（0，）上是減函數；當a＜0時，f（x）在（-∞，）和（0，+∞）上是減函數，在（，0）上是增函數.

從以上諸例不難看出，求含參三次函數的單調區間，其解法就等同于對含參數的一元二次不等式的討論，一般可分為以下三種情形：①當二次項系數為常數，且與之對應的一元二次方程有兩解，需要對解的大小進行比較；②當二次項系數為常數，但不知道與之對應的一元二次方程是否有解時，需要對判別式△進行討論；③當二次項系數含有參數時，首先要對二次項系數進行討論，其次，有時要對判別式進行討論，有時還要對方程的解的大小進行比較.在對含參數導數問題的討論時，只要把握以上三個基本討論點，那么，討論就有了方向和切入點，即使問題較為復雜，討論起來也會得心應手、層次分明，從而使問題迎刃而解.

（作者單位：珠海市斗門區第一中學)

責任編校 徐國堅