“因數與倍數”的結構教學研究

自然數因數與倍數規律探索的教學是數的規律探索的重要組成部分，學生對于這個單元知識的研究和學習，不僅可以提高他們對自然數性質和特征的認識和理解，而且還可以為學習分數中的約分、通分和四則運算打下基礎，甚至還可以為中學學習代數知識做一定的準備。

在以往的教學中，教師一般從“整除”的概念出發，先引出因數和倍數這兩個最基本的概念，然后再進一步衍生出各個下位概念。

沿著這樣的思路，教師在教學中往往表現出以下方面的問題。

第一，情境引入問題。由于這個單元知識是對自然數內部規律的探索，它與現實生活中的情境往往并不能建立直接的聯系。如果一味地從一個個現實生活情境引入，那么就很容易造成探索研究的思路斷裂。有的教師并沒有認識到這樣的問題存在，往往冥思若想、精心構思如何為學生的規律發現進行鋪墊性的設計，期望學生通過這些鋪墊就能水到渠成地發現規律。

如“能被3整除的數的特征”的教學引入，教師設計了一個抽骰子組數的游戲：投3次骰子，隨機得到三個數字，用這三個數字組成一個三位數，將之記錄在下表中，然后觀察那些能被3整除的數的特征，你發現什么？

由于三個數字可能組成六個不同排列的三位數，如1、2、3三個數字可以組成的三位數有123、132、213、231、312、321，這些數能被3整除；又如1、2、4三個數字組成的三位數有124、142、214、241、412、421，這些數不能被3整除。在這里，六個不同排列的三位數就成為了學生發現能被3整除的數的特征的一個鋪墊。有了這個鋪墊，學生就能很容易地發現能被3整除的數的特征：與數字的排列位置沒有關系，而是與數位上數的和有關。

然而，在具體的教學實踐中，大部分學生不知道其中的奧妙所在，出現很多問題：有的學生通過投骰子雖然得到了三個數字，但不知道怎么填寫這張表，就在一個空格內填寫一個數字；有的學生雖然知道三個數字可以組成六個三位數，但由于通過投骰子確定的三個數字具有隨機性，到活動停止時還得不到能被3整除的數；有的學生雖然比較順利地完成了表格的填寫任務，但表格中能被3整除的數只有6個，很難一下就尋找出其中的規律所在……凡此種種表現，反映了大部分學生顯然不領老師的情，他們不太情愿進入老師設計的“圈套”。當然，總是有個別的學生會很配合老師，他們既完成了表格的填寫，又“發現”了能被3整除的數的特征。

第二，演繹概念的問題。在這個單元知識的學習中，由于概念比較多且比較集中，大大小小的概念20個左右，要讓學生記住這些名詞術語且不發生混淆還真是一個不容易的事情。再者，這些概念的抽象程度又比較高，給學生的學習也帶來了一定的難度。如質因數的概念，它是質數、因數、合數等概念的綜合。不僅如此，教師往往在教學中不注意引導學生經歷概念的形成過程，而是用演繹概念的方式直接呈現概念，并要求學生對這些抽象的概念進行記憶、辨析強化和鞏固運用。以“公倍數”的教學為例，一般的教學過程是：先創設一個具體情境，讓學生通過動手操作、觀察交流，在活動的基礎上得出結論——呈現“公倍數”的概念，然后通過進一步觀察得到“最小公倍數”的概念，最后讓學生在記憶概念的基礎上，通過一一列舉的方法尋找兩個數的最小公倍數。從整個教學過程來看，盡管有學生的動手操作、對比觀察等環節，又溝通了新舊知識的聯系，也揭示了新的概念，還有新概念的鞏固與運用。但是，學生其實并未經歷在大量事實材料基礎上的觀察比較、歸納概括和提煉抽象的概念形成過程。因此，用這樣演繹方式獲得的概念，對于學生來說不僅是外在的，而且還是抽象和不容易理解的。于是，學生對于這些概念的學習就好比是雪上加霜一般。在這種多重困難的層層重壓下，學生對于“因數與倍數”知識的學習往往覺得不堪重負。

上述問題的出現其實并非偶然，原因在于這個單元的知識點比較多，主要有以下幾個知識點：因數與倍數，求一個數的因數或倍數的方法；2、5、3的倍數的特點；偶數、奇數的認識；質數、合數的認識；公因數與最大公因數的認識；公倍數與最小公倍數的認識；求最大公因數與最小公倍數。當教師的視野被局限在這些知識點內，知識之間內在的結構關系，以及知識中內含豐富的育人資源往往就會被遮蔽。當我們的視角從一個個的知識點中跳出來，整體地分析和研究整個單元知識的結構和聯系，我們就會發現，這一單元所有的知識點實際上都是對自然數范圍內的非零自然數的特征和關系而展開的研究，它們具有如下的結構關系：就知識之間的框架結構關系而言，是從本單元最上位的兩個概念“因數”和“倍數”出發分別開展各自內部的特征研究和關系研究。從自然數的“倍數”出發，研究衍生出兩個分支：一個分支是對一個自然數（如2、5和3）的倍數進行特征研究，在研究2的倍數特征的基礎上又得到奇數和偶數的特征；另一個分支是對兩個甚至兩個以上自然數的倍數進行關系研究，形成公倍數和最小公倍數的概念。從自然數的“因數”出發，同樣也可以研究衍生出兩個分支：一個分支是對一個自然數的因數進行特征研究，形成質數和合數的概念；另一個分支是對兩個甚至兩個以上自然數的因數進行關系研究，形成公因數、最大公因數和互質數的概念。這也正是這個單元知識用“因數和倍數”進行命名比較合理的原因之所在。通過分析可以發現，倍數知識與因數知識之間具有類同的結構關系。

就研究方法結構而言，基本上可以從研究目的、研究路徑上進行提煉。一個數的倍數的特征如2、5和3的倍數特征，以及一個數的因數的特征如質數和合數的學習方法是：為了發現數的倍數和因數特征，要先確定研究的小范圍和羅列研究材料，從特殊情況進行偶然發現，用列舉法開展研究，然后擴大范圍進行一般的驗證，最后獲得結論。公因數教學和公倍數教學的學習方法是：為了發現數之間的關系，先從兩個數的一般情況出發研究，用列舉法作為工具，然后研究兩個數的特殊情況，最后再把兩個數的關系研究拓展到三個數的關系研究。因此，這樣的學習方法結構可以概括提煉為：研究目的、研究路徑（研究過程是一般到特殊或特殊到一般）、研究材料、研究工具。

以3的倍數的特征認識的教學為例，為了研究3的倍數特征，研究的路徑可以從特殊情況研究拓展到一般情況來展開研究，既確定一個相對較小的范圍進行規律發現，然后再研究這個結論在擴大的范圍內是否都能成立。如可以利用小組4人合作開展研究的有利條件，每個人研究一個范圍，4個人連續的小范圍就構成一個相對較大的研究范圍。如第一人從50～100，第二人從100～150，第三人從150～200，第四人從200～250，4個人合起來的研究范圍就是50～250之間。確定了研究范圍之后，就可以有序地羅列這個范圍的3的倍數。之所以要有順序地排列，是因為排列有規律有利于觀察和發現。如果排列雜亂無章，即使有發現也可能是出于偶然。

“因數和倍數”單元不僅具有類同的知識結構關系和學習方法結構，還具有基本相同的體現綜合性和靈活性教學過程結構。就2、5和3的倍數特征的教學而言，研究獲得的是一般的結論，所以教學過程還要注意引導學生經歷從偶然現象或特殊問題出發進行發現，然后作出是否普遍存在的猜想，最后在舉例驗證的基礎上獲得一般結論的過程。因此，2、5和3的倍數特征的教學展開邏輯可以提煉為“發現和猜想——舉例驗證——歸納概括結論”的過程結構。就質數與合數的教學而言，是在對一個因數進行特征研究的基礎上獲得一般結論，所以其教學展開邏輯也需要經歷同樣過程。不僅如此，還要在教學中幫助學生建立質數與合數的概念。由于這些概念是前人經歷觀察比較、歸納概括和提煉抽象的過程而給出的概念定義，它是高度概括和抽象的結果，所以教學過程要引導學生像前人那樣經歷觀察比較、歸納概括和提煉抽象概念的形成過程。因此，質數與合數的教學展開邏輯是在“發現和猜想——舉例驗證——歸納概括結論”的基礎上，還要經歷“材料感知——比較分析——歸納概括和提煉抽象”的概念形成過程，這是一個規律發現的過程與概念形成的過程之間交織與復合的推進過程。就“公因數”和“公倍數”的教學而言，研究的思路是先研究兩個數之間的關系，然后再拓展研究三個數之間的關系。因此，基本的教學展開邏輯可以提煉概括為“關系研究（研究2個數的關系，分一般情況和特殊情況進行研究）——概念形成——拓展延伸（3個數）”的過程結構。不僅如此，“公因數”與“公倍數”的教學過程不僅內含了“發現和猜想——舉例驗證——概括結論”的研究過程，而且還內含了“材料感知——比較分析——歸納概括和提煉抽象”的概念形成過程。從這個意義上可以說，“公因數”與“公倍數”的教學過程更體現了綜合性與靈活性的結構特征。

從上述的框架結構、學習方法結構和教學過程結構的分析中可以看出，這些知識之間是環環相扣的，每一個知識點的學習都必須建立在學生已有知識的的基礎上，以這種結構狀的方式呈現規律探索研究的不斷推進過程。較之割裂的“點狀”知識的學習，具有更強的組織和遷移能力，唯有通過結構的教學，才有可能使學生頭腦中形成諸多有差異又能相通的結構群和結構思維方法，才有可能使學生在身處陌生和復雜的新環境中能用綜合的眼光去發現和解決問題。因此，我們可以采用長程兩段教學策略來整體規劃整個單元的教學行為。

首先，引導學生研究一個自然數的倍數特征和因數特征。即以一個自然數的倍數特征的教學為教學結構階段，教學生掌握一個自然數倍數特征研究的學習方法結構，即按照確定研究目的、研究路徑選擇、研究材料羅列、研究工具運用的方法步驟來進行特征研究；以一個自然數的因數特征為運用結構階段，引導學生運用學習方法結構主動遷移到一個自然數的因數特征的學習之中。

其次，引導學生研究兩個甚至兩個以上自然數的因數關系和倍數關系。即以兩個自然數的因數關系研究的學習為教學結構階段，教學生掌握兩個自然數的因數關系研究的學習方法結構和教學過程結構；以兩個自然數的倍數關系研究的學習為運用結構階段，引導學生運用學習方法結構和教學過程結構主動遷移到倍數關系研究的學習之中。

責任編輯 羅 峰