2011年高考理綜(福建卷)第22題鑒賞

摘 要：本文以2011年福建省高考理科綜合第22題為例，對帶電粒子在復合場中運動的解題方法進行探討，面對繁難陌生的物理問題，在建立物理模型時，可以先討論一些特殊的情形，從特殊情形的討論中得到啟示，從而決定解決問題的正確步驟，找到解題的突破口。

關鍵詞：特殊情形；等效法

2011年高考理科綜合能力測試(福建卷)第22題是一道電磁學綜合題，此道題設計巧妙，描述的物理情境較為復雜，考生感覺有些陌生，不能很快找到解題途徑.筆者在研究這道題時，認為除了高考提供的標準答案外，還可以用“等效法”解答此題，且容易理解題中為什么帶電粒子在豎直方向做簡諧運動，水平方向做勻速直線運動，現闡述如下：

2011年高考理綜(福建卷)第22題：

如圖1（甲），在x＜0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xoy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B。一電荷量為q(q＞0)的粒子從坐標原點O處，以初速度v0沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡見圖1（甲），不計粒子的質量。

（1） 求該粒子運動到y=h時的速度大小v;

（2） 現只改變入射粒子初速度的大小，發現初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡(y-x曲線)不同，但具有相同的空間周期性，如圖1（乙）所示；同時，這些粒子在y軸方向上的運動（y-t關系）是簡諧運動，且都有相同的周期T=。

Ⅰ.求粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離s；

Ⅱ.當入射粒子的初速度大小為v0時，其y-t圖像如圖1（丙）所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A，并寫出y-t的函數表達式。

〔分析與解〕(1)由于洛侖茲力不做功，只有電場力做功，由動能定理有

－qEh=mv2－mv02

解得 v=

(2) 粒子運動時受到電場力和洛侖茲力作用，電場力是恒力，而洛侖茲力則隨運動速度變化而變化，其運動軌跡較為復雜，為此，可以先考慮一種特殊情形：粒子初速度為v0=，在這種情況下，粒子受到的電場力F1=qE和洛侖茲力F2=qv0B相平衡，粒子將做勻速直線運動。上述特殊情形的結論進一步啟示我們，可以考慮建立一個坐標系o′x′y′，它相對于坐標系oxy以速度v1=沿x軸正方向做勻速直線運動，且在t=0時，與坐標系oxy重合.粒子的初速度v0可以看成是v1和v2兩個速度的合速度，其中v1=，方向沿x軸正方向，也就是坐標系o′x′y′相對于坐標系oxy的速度，v2是粒子相對坐標系o′x′y′的初速度，這樣，粒子在坐標系o′x′y′中受到的合外力F=qv2B，F恒與v2垂直，故是勻速圓周運動。可見，經過坐標系的變換，我們把粒子在電、磁復合場中的運動等效轉化為僅在磁場B中的運動。

在坐標系o′x′y′中，若v0＞v1=，則粒子初速度v2=v0－v1=v0－，方向沿x＇正方向，由向心力方程得：

qv2B=m

∴軌道半徑R==( v0－)

運動周期T==

角速度ω==

如圖2所示，t時刻粒子的位置為

x′=Rsinωt=( v0－)sint

y′=R－Rcosωt=( v0－)(1－cost)

還原到坐標系xoy中，t時刻粒子的位置為

x=v0t+x′=v0t+( v0－)sint

y=y′=R－Rcosωt=( v0－)(1－cost)

從這里可以看出，粒子在y方向的運動確實是簡諧運動，且運動周期為

T=，振幅A=( v0－)

粒子在一個周期T內，沿x方向前進的距離即為坐標系o′x′y′前進的距離，故有

s=v0T=

另外，對于v0＜v1=的情況，由上述討論可知，粒子的運動性質相同，只是在y軸下方沿y方向做簡諧運動，這里不再重復。

下面給出一道變式訓練題，請讀者自行解答:

如圖3所示，在空間中有相互正交的勻強電場和勻強磁場，電場強度大小為E，方向豎直向上，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向外，今有一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，自圖中坐標原點位置A開始在此空間中運動，試求此粒子在運動中任意時刻的位置坐標.不計粒子重力。

〔答案〕x=t-sint，y=（1-cost）