方法尋找

含參數(shù)的問題是高中數(shù)學(xué)中屢見不鮮的問題，高中數(shù)學(xué)中與參數(shù)有關(guān)的問題在教材中沒有給出綜合性的總結(jié)，由于參數(shù)的不確定性，使得問題的綜合性增強(qiáng)，并且其解法多樣，無章可循，實(shí)際解決參數(shù)問題所利用的思想和方法卻經(jīng)常使用。下面介紹從函數(shù)的值域的角度來解決幾類常見的含參數(shù)的范圍的確定問題。

一、函數(shù)值屬于問題型

結(jié)論1：若函數(shù)y=f（x），x∈D，都有y∈M，則函數(shù)y=f(x)的值域NM。

例1 （2008天津高考，第16題）設(shè)a＞1，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對(duì)于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，a2］滿足方程logax+logay=c，求a的取值。

解析 由logax+logay=c變形為loga（xy）=c，得xy=ac即y=∵a＞1，ac＞0∴y=在x∈［a，2a］上遞減，可得：≤y≤，即值域M為［ac-1，ac-1］，由題意得：ac-1≤a2且ac-1≥a，解得loga2+2≤c≤3.

因?yàn)閏值只有一個(gè)，所以c=3，即loga2=1，故a=2。

二、函數(shù)的存在問題型

結(jié)論2 設(shè)y=f（x）的值域?yàn)镸，y=g（x）的值域?yàn)镹，若對(duì)于任意x1∈D1，總存在x0∈D0，使得g（x0）=f（x1）成立，則MN。

例2 （2010江蘇蘇州模擬）設(shè)f（x）=，g（x）=ax+5-2a(a＞0)。若對(duì)于任意x1∈［0，1］，總存在x0∈［0，1］，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍。

解析 ∵f ′（x）==≥0在x∈［0，1］上恒成立，∵f （x）在［0，1］上單調(diào)遞增，f(0)=0， f(1)=1，∴ f （x）在x∈［0，1］上的值域?yàn)椋?，1］，g（x）=ax+5-2a（a＞0）在x∈［0，1］上的值域?yàn)椋?-2a，5-a］

由題意知：［0，1］［5-2a，5-a］，∴5-2a≤05-a≥1

即≤a≤4

三、等式或不等式的有解（無解）、恒成立

若注意到在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域（無最值）問題求解。

1、方程有解（無解）問題型

結(jié)論3 已知方程g（a）=f（x），a∈I，x∈D函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域?yàn)镃，若方程g（a）=f（x）有解(無解)，則g（a）∈C（g（a）C）。

（1）方程可化為g（a）=f（x）型

例3 如果方程cos2x-sinx+a=0在(0，)上有解，求a的取值范圍。

解析： 原方程可化為a=sin2x+sinx-1，方程有解

故a屬于函數(shù)y=sin2x+sinx-1的值域，y=sin2x+sinx-1=（sinx+）2-∵x∈(0，］，∴sinx∈(0，1］

所以＜（sinx+）2≤

可求得函數(shù)y=sin2x+sinx-1值域?yàn)?-1，1］，故a的取值范圍是(-1，1］。

（2）曲線交點(diǎn)轉(zhuǎn)化方程g（x）=f（x）型

例4 函數(shù)y=2-1x-1|-m的圖像與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍。

解析 有已知條件轉(zhuǎn)化為方程組y=2-1x-1|-my=0有解，即2-1x-1|=m有解。

∵-|x-1|≤0，∴0＜2-1x-1|≤20=1，即2-1x-1|值域?yàn)?0，1］，故0＜m≤1。

2、不等式有解（無解）問題

（1）函數(shù)無最大值型或無最小值型

結(jié)論4 若x∈D1函數(shù)f（x）值域?yàn)椋╝，b）或［a，b）或（-∞，b），則

則（1）M＜f（x）在D1上有解M＜b；(2)在M≤f（x）在D1上有解M＜b。

結(jié)論5 若x∈D1，函數(shù)f（x）值域?yàn)椋╝，b）或（a，b］或（a，+∞）

則（1）M＞f（x）在D2上有解M＞a；(2)在M≥f（x）在D2上有解M＞a。

例5 已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx，a∈R，g（x）=(a＞0)，若在［1，e）上至少存在一個(gè)x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解析 （用結(jié)論4）本命題等價(jià)于f（x）-g（x）＞0在［1，e］上有解，

設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-，

F ′（x）=a-+==＞0，

所以F（x）為增函數(shù)，F(xiàn)（x）∈［F（1），F(xiàn)（e）］． 依題意需F（e）＞0，解得a＞．

（2）函數(shù)有最小值或最大值型

結(jié)論6 若x∈D1函數(shù)f（x）值域（a，b］或［a，b］或（-∞，b］，

則(1)M＜f（x）在D1上有解M＜b；（2）M≤f（x）在D1上有解M≤b。

結(jié)論7 若x∈D2函數(shù)f（x）值域?yàn)椋踑，b）或［a，b］或［a，+∞)

則(1)M＞f（x）在D2上有解M＞a；（2）M≥f（x）在D2上有解M≥a

例6 已知函數(shù)f （x）=，若存在實(shí)數(shù)a，b，c，使f （a）+f （b）＜f （c），求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析：由f （x）=得（x2+x+1）y=x2+kx+1，即（y-1)x2+（y-k）x+（y-1)=0

當(dāng)k=1時(shí)，y=1，此時(shí)顯然不存在實(shí)數(shù)a，b，c，使f （a）+f （b）＜f （c）

當(dāng)k≠1時(shí)，若y=1，則x=0;若y≠1，則由Δ=（y-k）2-4（y-1)2≥0解得≤y＜1或1＜y≤

綜上知：f （x）的值域?yàn)椋郏荩僭O(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，f （a）+f （b）≥f （c），

則≤f（a）≤，

≤f（b）≤

≤f（c）≤，

得≤f（a）+f（b）≤

則≥，解得k∈［，］，所以若存在實(shí)數(shù)a，b，c，使f （a）+f （b）＜f （c），則有

k∈(-∞，)∪(，∞).

3、不等式恒成立型

（1）無最大值或無最小值型

結(jié)論8 若函數(shù)f（x）值域?yàn)椋╝，b）或［a，b）或（-∞，b），則

（1）M＞f（x）恒成立M≥b； (2)M≥f（x）恒成立M≥b；

結(jié)論9 若函數(shù)f（x）值域?yàn)椋╝，b）或（a，b］或（a，+∞）。

（1）M＜f（x）恒成立M≤a； (2)M≤f（x）恒成立M≤a。

例7 已知函數(shù)f（x）=x3-x2+cx+d．若f（x）在x=2處取得極值，且當(dāng)-＜x＜0時(shí)，f（x）＞d2+2d恒成立，求d的取值范圍．

解析：∵f（x）=x3-x2+cx+d，∴f ′（x）=x2-x+c，

∵f（x）在x=2處取得極值 ∴f ′（2）=4-2+c=0，

∴c=-2． ∴f（x）=x3-x2-2x+d，

∵f ′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），

∴當(dāng)x∈（-∞，-1］時(shí)，f ′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（-1，2］時(shí)，f ′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．

∵f（0）=d，f（-）=+d，即f（-）＞f（0）

又∵f（x）在x=-1處取得最大值+d，

∴f（x）值域?yàn)椋╠，+d］∵當(dāng)-＜x＜0時(shí)，

f（x）＞d2+2d恒成立，

∴d≥d2+2d，得-6≤d≤0即d的取值范圍是［-6，0］ ．

（2）函數(shù)有最小值或最大值型

結(jié)論10 若x∈D2，函數(shù)f（x）值域?yàn)椋踑，b）或［a，b］或［a，+∞），則

（1）M＜f（x）在D1上恒成立M＜a； (2)M≤f（x）在D1上恒成立M≤a。

結(jié)論11 若x∈D1，函數(shù)f（x）值域?yàn)椋╝，b］或［a，b］或（-∞，b］，則

（1）M＞f（x）在D2上恒成立M＞b； (2)M≥f（x）在D2上恒成立M≥b。

結(jié)論12 已知兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），對(duì)于任意x1∈D1，x2∈D2，都有f（x1）≤g（x2）成立，

函數(shù)f（x）值域?yàn)椋╝，b］或［a，b］或（-∞，b］，函數(shù)g（x）值域?yàn)椋踓，d）或［c，d］或［c，+∞），則b≤c

例8 已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=8x2+16x-k+2007，g（x）=2x3+5x2+4x，其中k為常數(shù)。對(duì)于任意x1∈［-3，3］都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍。

解析：對(duì)于任意x1∈［-3，3］，x2∈［-3，3］都有f（x1）≤g（x2）成立f（x）在區(qū)間［-3，3］上的最大值小于或等于g（x）在區(qū)間［-3，3］上的最小值。

下面求g（x）在區(qū)間［-3，3］上的最小值。

因?yàn)間′（x）=6x2+10x+4=2(3x+2)(x+1)

由g′（x）=0可得x=-1或x=-。如表1：

表1

所以g（x）在區(qū)間［-3，3］上的最小值為-21。

因?yàn)閒（x）=8x2+16x-k+2007=8(x+1)2+1999-k在區(qū)間［-3，3］上的最大值為f(3)=2127-k。所以2127-k≤-21，即k≥2148.

總之，對(duì)函數(shù)值屬于問題型，函數(shù)的存在問題型，等式或不等式的有解（無解）、恒成立等問題，一般都可以利用函數(shù)值域法解決參數(shù)的取值范圍。由于篇幅有限，這里就不一一列舉。

參考文獻(xiàn)：

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