應(yīng)用定義法解一類高考信息題

摘 要：有一類信息題的考察在高考中頻頻出現(xiàn)，它可以是新的概念、新的定義、新的定理或新的規(guī)則等，試題創(chuàng)設(shè)了新的情景，目的是考查學生在新的情景中綜合運用數(shù)學的能力和學習潛能、綜合素質(zhì)。這類的試題，對于大部分同學來說，是一個比較難以攻克的堡壘，得分率都不高。 定義法對大部分同學來說，并不陌生，只是平時可能更注重知識的應(yīng)用，而忽略了定義的基礎(chǔ)性。所以，要重視定義，對一個新知識來說，它是最原始，也是最基本的東西，有關(guān)的性質(zhì)、圖像、應(yīng)用等都來源于這個相關(guān)知識點的定義（概念）。

關(guān)鍵詞：定義法；新的信息題；對于新信息定義的正確理解

在近幾年的高考試卷中，我們可以發(fā)現(xiàn)有一類高考的信息題的考察頻頻出現(xiàn)，它的特點是：在題目的題干中先給出了一個對學生來說是較為陌生或較少見過的一個概念，然后要求通過對這個新概念的理解，來解決一些與之相關(guān)的問題。在2010、2011年福建省的高考卷中，無論是理科還是文科卷，都命出了這樣的題型。如：

2010福建理科卷 10.對于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在函數(shù)h（x）=kx+b（k，b為常數(shù))，對任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的x0∈D，使得當x∈D且x＞x0時，總有0＜f（x）-h（x）＜m0＜h（x）-g（x）＜m，則稱直線l：y=kx+b為曲線y=f（x）和y=g（x）的“分漸近線”.給出定義域均為D=｛x|x＞1｝的四組函數(shù)如下：

①f（x）=x2，g（x）= ; ②f（x）=10-x+2，g（x）=;

③f（x）=，g（x）=; ④f（x）=，g（x）=2(x-1-e-x).

其中， 曲線y=f（x）和g（x）存在“分漸近線”的是( )

A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④

參考答案C

2011福建文科卷 12.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為［k］，即［k］={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4。給出如下四個結(jié)論：

①2011∈［1］； ②-3∈［3］；③Z=［0］∪［1］∪［2］∪［3］∪［4］；

④“整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈［0］”。

A.1 B.2 C.3 D.4

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

參考答案C

這類試題的特點是在試題中給出了中學教學內(nèi)容中沒有遇到過的新知識，它可以是新的概念、新的定義、新的定理或新的規(guī)則等，對于這類試題，首先要求學生讀懂題目并理解題意，然后根據(jù)這個新的知識作進一步演算或推理，其目的是考查學生獨立獲取新知識的能力。試題創(chuàng)設(shè)了新的情景，考查學生在新的情景中綜合運用數(shù)學的能力和學習潛能、綜合素質(zhì)。

在新課標的考試大綱中，對能力要求有新的提法，“對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活應(yīng)用所學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探究和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題”。人教大綱版高考數(shù)學考試大綱也對試題的命制明確指出：試題注意“立意鮮明、背景新穎，設(shè)問靈活，層次清晰，新題不難，難題不怪”，在試卷中創(chuàng)設(shè)比較新穎的問題和情境，注重問題的多樣化。

綜觀近幾年高考試題，在能力立意的基礎(chǔ)上大膽地進行了改革創(chuàng)新，出現(xiàn)了一些內(nèi)容立意新、情境設(shè)置新，設(shè)問方式新、題型結(jié)構(gòu)新和構(gòu)思精巧的創(chuàng)新題。這類題目突出考查學生的探究能力，創(chuàng)新意識，充分體現(xiàn)了高考支持課改并服務(wù)于課改的指導(dǎo)思想。

而在我們平時的教學實踐過程中，可以發(fā)現(xiàn)，這類的試題，對于大部分同學來說，是一個比較難以攻克的堡壘，得分率都不高。因為，即然是平時沒有遇到過的新信息，就有一種無從準備的感覺。而且，看完題目后，大都有一種陌生感，不知道要從哪個方向去入手。所以，要解決它，首先要清楚這一類在試題中給出新的信息的題型要考我們什么，其實最主要的一點就是想考查學生獲取信息、加工信息的能力。因此這里面，對于新信息定義的正確理解，就顯得至關(guān)重要。因為除了這個新的概念之外，我們沒有更進一步的比如性質(zhì)、圖像等大家熟悉的信息可用。而定義（概念），這是我們在學習任何一個新的數(shù)學知識時，首先要掌握的東西，我們在高中階段學習過如函數(shù)的定義、等差、等比數(shù)列的定義、三角函數(shù)的定義、橢圓、雙曲線、拋物線的定義等等。所以，定義法對大部分同學來說，并不陌生，只是平時可能更注重知識的應(yīng)用，而忽略了定義的基礎(chǔ)性。所以，要重視定義，對一個新知識來說，它是最原始，也是最基本的東西，其實，有關(guān)的性質(zhì)、圖像、應(yīng)用等都來源于這個相關(guān)知識點的定義（概念），都是從定義中一步步推導(dǎo)出來的。

下面，我們可以通過對幾道信息題的分析，來體會定義法在解這類題時的重要性。

例1 定義：若平面點集A中的任一點(x0，y0)，總存在正實數(shù)r，使得集合（x，y）｜＜r?哿A，則稱A是一個開集。給出下列集合：

①（x，y）｜x2+y2=1； ②（x，y）｜x+y+2＞0；

③（x，y）｜x+y|≤6； ④（x，y）｜0＜x2+（y-）2＜1

其中是開集的是 （請寫出所有符合條件的序號）

參考答案 ②④

分析 從定義提供的信息中，我們要理解到一個集合在其圖像的邊界上的點，無論你取多么小的正實數(shù)r，都不可能滿足開集的定義，就可以知道開集要求圖像的邊界不成立。

例2 如果一個點是一個指數(shù)函數(shù)和一個對數(shù)函數(shù)的圖像的交點，那么稱這個點為“好點”。

下列五個點P1(1，1)，P2(1，2)，P3(，)，P4(2，2)，P5(，2)中，“好點”是 （寫出所有的好點）。

參考答案 P3， P4，P5

分析 “好點”的定義要求是一個指數(shù)函數(shù)和一個對數(shù)函數(shù)的圖像的交點，但要注意的是定義中的“一個”和“一個”，這個信息說明指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間，并沒有要求底數(shù)一定要相等，同時，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也要注意滿足。

例3 記實數(shù)x1，x2，……xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，……xn}，最小數(shù)為min｛x1，x2，……xn｝。已知△ABC的三邊長為a，b，c（a≤b≤c），定義它的親傾斜度為l=max，，#8226;min，，則“l(fā)=1”是“△ABC為等邊三角形”的（ ）

A、必要而不充分的條件 B、充分而不必要的條件

C、充要條件 D、既不充分也不必要條件

參考答案 A

分析：親傾斜度的定義是，，的最大值與最小值之積，所以定義中△ABC的三邊長為a，b，c的關(guān)系a≤b≤c，在尋找，，的最大值與最小值的過程中非常關(guān)鍵。是最大，但是與的大小就要分析討論了。

例4 定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的a=（m，n），b=（p，q）。

令a⊙b=mq-np.下面說法錯誤的是（ ）

（A）若a與b共線，則a⊙b=0 （B）a⊙b=b⊙a

（C）對任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b）

（D）（a⊙b）2+（a#8226;b）2=|a|2|b|2

參考答案 B

分析 運算“⊙”的定義提供了它的運算法則，所以我們只要根據(jù)這個信息對選項進行運算判斷，直接從定義出發(fā)就行了。注意與數(shù)量積公式的區(qū)別。

例5 設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集．若對任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集。下列命題：

①集合S=|a+bi| （a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）為封閉集；

②若S為封閉集，則一定有0∈S；

③封閉集一定是無限集；

④若S為封閉集，則滿足S?哿T?哿C的任意集合T也是封閉集．

其中真命題是 （寫出所有真命題的序號）

參考答案 ①②

分析 封閉集的定義中強調(diào)對任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S所以在判斷時，這句話的滿足至關(guān)重要，每一個命題都要檢驗這句話的正確與否。

由于這一類創(chuàng)新信息題，在堅持能力立意的基礎(chǔ)上，能全面考查學生的數(shù)學知識、方法和數(shù)學思想，真實反映出學生的學習能力、應(yīng)用能力、探究能力、創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)，符合新課改的理念。因此，可以預(yù)見，高考這一類創(chuàng)新信息題的考察，會常考常新。

所以學生要以已有的知識為基礎(chǔ)，正確的認識新的定義內(nèi)容，踏踏實實地從新定義提供的信息出發(fā)，確實地理解定義，認識到定義的重要性，那么，這一類問題的解決就會順理成章，不成為難題了。