壓電螺型位錯(cuò)與含界面效應(yīng)納米夾雜干涉研究

摘 要：研究在無窮遠(yuǎn)縱向剪切和平面內(nèi)電場作用下壓電智能材料中螺型位錯(cuò)與考慮界面應(yīng)力納米尺度夾雜（纖維）間的力電耦合交互作用.運(yùn)用復(fù)勢方法，求解了夾雜和基體中復(fù)勢函數(shù)的解析解以及應(yīng)力場和電位移場分量.利用廣義PeachKoehler公式，給出了作用在壓電螺型位錯(cuò)上位錯(cuò)像力的解析解答.研究結(jié)果表明：當(dāng)夾雜的半徑縮減到納米尺度時(shí)，界面效應(yīng)對夾雜（纖維）附近位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)和平衡位置的影響將變得非常顯著.正界面效應(yīng)將排斥基體中的位錯(cuò)；當(dāng)存在正的界面效應(yīng)時(shí)，軟夾雜能排斥界面附近的壓電螺型位錯(cuò).



關(guān)鍵詞：壓電材料；螺形位錯(cuò)；界面應(yīng)力；復(fù)勢函數(shù)方法；位錯(cuò)力

中圖分類號：O343.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Interaction between a Screw Dislocation and a Nanoscale Inhomogeneity with Interface Effects



FANG Qihong1，2， XU Wei1，2， FENG Hui1，2， LIU Youwen1，2

(1.State Key Laboratong of Adcomced Design and Manufocturing for Vehicle Body，Hunan Univ，Changsha，Hunan

410082，China; 2.College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082， China)

Abstract:The interaction of a piezoelectric screw dislocation in the matrix with interface effects under remote antiplane shear stresses and inplane electric loads in transversely isotropic piezoelectric solids was investigated. By using the complex variable method， the general solutions to the problem were given. With the aid of the PeachKoehler formula， the explicit expressions of the image force acting on the screw dislocations were given. The results have indicated that the influence of the interface stress on the motion and the equilibrium of the dislocation near the inhomogeneity become significant when the radius of the inhomogeneity is reduced to nanometer scale. If the dislocation is located in the matrix， the positive interface effects can repel it. The soft inhomogeneity can also repel the screw dislocation near the inhomogeneity when the positive interface effect is considered.



Key words:piezoelectric material; screw dislocation; interface stress; complex variable method；image force



壓電材料是一種能實(shí)現(xiàn)電能和機(jī)械能之間相互轉(zhuǎn)化的智能材料.由于壓電材料良好的力電耦合性能而被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工業(yè).由于材料在制備和使用過程中不可避免會(huì)產(chǎn)生各種缺陷，例如，孔洞，位錯(cuò)，裂紋等，這些缺陷會(huì)不同程度的影響壓電材料的電彈耦合性能［1-6］.因此，研究壓電材料中位錯(cuò)與第二相夾雜或缺陷的干涉作用具有重要的科學(xué)意義. 

在研究位錯(cuò)和夾雜的長程交互作用機(jī)理時(shí)，界面邊界條件是一個(gè)關(guān)鍵的影響因素.眾所周知，對于微米級及其以上的夾雜，界面區(qū)域與夾雜的體積比很小，界面效應(yīng)不明顯，可以忽略；而對于納米尺寸第二相，界面區(qū)域與夾雜的體積比相對較大，界面應(yīng)力效應(yīng)不可忽略的［7］.Gurtin 和 Murdoch［8］ 首次研究了彈性固體的表/界面效應(yīng)問題，提出了所謂的“表/界面效應(yīng)模型”.在他們的模型中，界面是粘結(jié)在夾雜上沒有厚度的一個(gè)區(qū)域，但界面具有與夾雜不同的彈性模量和本構(gòu)方程.在夾雜和基體中平衡方程和本構(gòu)方程與經(jīng)典彈性力學(xué)的一樣，但是界面應(yīng)力的存在產(chǎn)生了新的局部擾動(dòng)邊界條件.當(dāng)前，界面應(yīng)力模型已被廣泛用來研究納米尺度結(jié)構(gòu)和納米材料中的各種力學(xué)問題［9-10］.Fang和Liu［11］研究了彈性各向同性材料中位錯(cuò)與含界面應(yīng)力納米尺寸圓形夾雜彈性干涉作用.Luo和Liu［12］研究了向錯(cuò)與含界面效應(yīng)納米尺度圓形夾雜彈性干涉作用.最近，Ou和 Pang［13］研究了螺型位錯(cuò)與含界面效應(yīng)圓形涂層夾雜的彈性干涉問題. 

近年來，Huang和Yu［14］研究了壓電材料環(huán)中表面效應(yīng)對力電場的影響.Pan等［15］研究了壓電復(fù)合材料中界面效應(yīng)對復(fù)合材料有效彈性模量的影響規(guī)律.到目前為止，尚未有學(xué)者研究位錯(cuò)與考慮界面效應(yīng)的納米尺寸壓電夾雜（壓電纖維）的交互作用問題.本文研究縱向剪切和平面電場作用下，螺型位錯(cuò)與含界面效應(yīng)壓電夾雜的電彈耦合干涉效應(yīng).

1 問題描述和解答

1.1 基本公式

對于極化方向沿z軸的橫觀各向同性壓電介質(zhì)，設(shè)xoy平面為各向同性面，在無窮遠(yuǎn)處反平面加載和面內(nèi)電場作用下，僅產(chǎn)生沿z軸方向的反平面位移w，應(yīng)變分量γxz和γyz，應(yīng)力分量τxz和τyz，電勢φ，電場強(qiáng)度Ex和Ey，電位移分量Dx和Dy都將會(huì)出現(xiàn)在基本方程中.并且上述各量均為x，y的函數(shù)力電耦合本構(gòu)方程可表示為［16］：

τxz=c44wx+e15φx，

τyz=c44wy+e15φy. (1)

Dx=e15wx－d11φx ，

Dy=e15wy－d11φy .(2)

式中：c44，e15，d11分別表示壓電材料的縱向剪切模量(恒定電場)，壓電常數(shù)和介電常數(shù)(恒定應(yīng)力場).

平衡方程和控制方程可以簡化成如下調(diào)和方程：

SymbolQC@2w=0，

SymbolQC@2φ=0.(3)

式中:

SymbolQC@2=2/x2+2/y2表示二維Laplace算子.

湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2012年

第4期方棋洪等：壓電螺型位錯(cuò)與含界面效應(yīng)納米夾雜干涉研究

引入廣義位移矢量U={w，φ}T，將其代入式(3)中可以得到：

SymbolQC@2U=0 .(4)

引入廣義應(yīng)力和應(yīng)變

Σx=τxzDx， Σy=τyzDy，(5)

Yx=γxz－Ex，Yy=γyz－Ey. (6)

代入式(1)、式(2)得到:

Σx=MYx， Σy=MYy.(7)

式中M稱為電彈模量矩陣：M=c44e15e15－d11.

式(4)中的廣義位移矢量的一般解可用解析函數(shù)f(z)表示:

U=Re f(z).(8)

式中:Re表示取實(shí)部，并且f(z)=fw(z)fφ(z) .

函數(shù)fwz和fφz為一般解析函數(shù).所以式(7)可以表示為：

Σx－iΣy=MF(z). (9)

式中：F(z)=f′z，“′”表示對z求導(dǎo).在極坐標(biāo)下，式(9)可寫為:

Σr－iΣρ=eiθMF(z).(10)

1.2 問題描述

無限大壓電介質(zhì)中包含一半徑為R的圓形納米夾雜，假設(shè)基體和夾雜為橫向各向同性體，且以xoy平面為各向同性面，夾雜在z方向無限延伸.設(shè)基體在無窮遠(yuǎn)處受反平面力荷載(τ

SymboleB@xz，τ

SymboleB@yz）和平面電荷載(D

SymboleB@x，D

SymboleB@y).壓電螺型位錯(cuò)位于基體中的任意點(diǎn)z0(=x0+iy0=ρeiθ).夾雜和基體材料所占據(jù)的區(qū)域分別用S+和S－標(biāo)記，夾雜和基體的界面用L標(biāo)記，如圖1所示.令圓形夾雜的中心為復(fù)平面z=x+iy的原點(diǎn)，t=Reiθ表示|z|=R上的點(diǎn).該問題的廣義位移矢量和廣義應(yīng)力界面連接條件可以表示為：

U+1(t)=U－2(t)， t∈L.(11)

圖1 含界面效應(yīng)夾雜

Fig.1 Inhomogeneity with interface 



Σ+r1(t)－Σ-r2(t)=－1RMsθI(xiàn)m ［eiθf′(z)］，

t∈L.(12)

式中:Ms=cs44－τs0es15es15－ds11是界面的電彈模量矩陣，τs0是殘余應(yīng)力， R是夾雜的半徑，下標(biāo)“1”和“2”分別代表區(qū)域S+(夾雜)和S－(基體)，上標(biāo)“+”和“－”表示函數(shù)從S+和S－趨向界面時(shí)所取的值.

1.3 問題的一般解答

根據(jù)推廣的Schwarz解析延拓原理，引用兩個(gè)新的解析函數(shù)F1*(z)和F2*(z)，并注意到在|z|=R上，t=R2，

F1*(z)=－R2z2F1R2z， z∈S－ .(13)

F2*(z)=－R2z2F2R2z， z∈S+.(14)

式中：“-”表示對復(fù)數(shù)取共軛.

當(dāng)螺型位錯(cuò)在基體中時(shí)，由奇性分析可知區(qū)域S－的復(fù)勢函數(shù)可以表示為：

F2(z)=B1z－z0+Γ+F20(z) ， z∈S－ .(15)

式中：B=12πib=12πi{bz，bφ}T，表征廣義螺型位錯(cuò)的位錯(cuò)強(qiáng)度.F20(z)是區(qū)域S－內(nèi)的全純函數(shù)，Γ由無窮遠(yuǎn)應(yīng)力和電位移確定：

Γ=M-12（Σ∞x-Σ∞y)=M-12τ∞xz-iτ∞yz.

D∞x-iD∞y.

式中：M2=c(2)44e(2)15e(2)15－d(2)11，上標(biāo)“－1”表示矩陣求逆.

將式(15)代入式(14)中可以得到F2*(z)：

F2*(z)=1z－z*－1z－R2z2Γ+F20*(z)， 

z∈S+.(16)

式中：z*=R2/z0，F(xiàn)20*(z)是區(qū)域S+內(nèi)的全純函數(shù).

將式(8)對θ求微分，代入式(11)有：

F1(t)－F2*(t)+=［F2(t)－F1*(t)］－，t∈L. (17)

考慮式(13)~式(16)，并根據(jù)推廣的Liouville定理［17］和方程(17)可以得到：

F1(z)－F2*(z)=g(z)， z∈S+.(18)

F2(z)－F1*(z)=g(z)， z∈S－.(19)

并且在全平面上有

g(z)=B1z－z0－1z－z*－1z+Γ+R2z2Γ. (20)

結(jié)合式(10)，并考慮式(13)~式(16)，邊界條件(12)可以表示如下：

M1F1(t)－M2F2*(t)+1RMsF2*(t)+=

M2F2t－1RMsF2t+M1F1*t-

1RMstF′2(t)-1RMse-2iθtFR2t-. (21)

式中:M1=c(1)44e(1)15e(1)15－d(1)11.

將式(14)對z微分可以得到如下關(guān)系：

F′2(z)=-e4iθF′2*(z)-2eiθRF(z) .(22)

式(21)可以表示如下：

M1F1(t)+M2F2*(t)+1RMsF2*(t)+tRMsF′2*(t)+=

M2F2(t)+M21F1*(t)+1RMsF2(t)+tRMsF′2(t)-.(23)

根據(jù)推廣的Liouville定理［17］和式(23)可以得到：

M1F1(z)+M+zRMsF2*(z)+zRMsF′2*(z)=h(z)，

z∈S+. (24)

M+1RMsF2(z)+M1F1*(z)-zRMsF′2(z)=h(z)，

z∈S－ .(25)

并且由式(14)，式(15)，式(24)，式(25)可得到全平面上：

h(z)=M2－1RMsB1z－z0+M2+1RMs

1z－z*－M21z+1RMsBzz－z02－

1RMszz－z*2+M2－1RMsΓ－

M2－1RMs2R2z2Γ.(26)

由式（18）和式（24）得到：

［M1+M2+1RMs］F1(z)+zRMsF′1(z)=

h(z)+［M2+1RMs］g(z)+1RMszg′(z).(27)

運(yùn)用冪級數(shù)展開法得到：

F1z=∑

SymboleB@k=0akzk ， z＜R .(28)

式中：

a0=－2M1+M2+1RMs－1M2B1z0－M2Γ，

ak=－2M1+M2+1+kRMs－1M2B(1z0)k+1，

k≥1.

由式(13)有：

F1*(z)=－∑

SymboleB@k=0akR2k+1z－k－2，|z|＞R .(29)

將式(29)代入式(19)可以得到：

F2(z)=B1z－z0－(1z－z*－1z)+Γ-

2M1+M2+1RMs－1M1－M2+1RMsR2z2Γ+

2∑

SymboleB@k=0M1+M2+1+kRMs－1M2R20k+1z－k－2，

|z|＞R. (30)

將以上結(jié)果經(jīng)過退化可以得到Fang［12］的結(jié)果.

2 考慮無窮遠(yuǎn)加載時(shí)應(yīng)力場和電位移場

1)不存在位錯(cuò)時(shí)，把式（30）代入（10）中，得到界面上的應(yīng)力場和電位移場為：

Σrt－iΣρt=eiθM2F2t=eiθM2Γ+

eiθM2M1+M2+1RMs－1M1－M2+1RMsΓR2t2. (31)

式中t=Re iθ.

2)位錯(cuò)在基體中時(shí)，由式(9)和(28)得到夾雜內(nèi)的應(yīng)力場和電位移場為：

Σx－iΣy=M1F1(z)=-

2M1ΛM2B1z0－M2Γ－

2∑

SymboleB@k=1M1M1+M2+1+kRMs－1M2B(1z0)k+1zk.(32)

式中：Λ=M1+M2+1RMs－1.

3)位錯(cuò)在基體中時(shí)，由式(9)和(30)得到基體中的應(yīng)力場和電位移場為：

Σx－iΣy=M2F2(z)=

M2B1z－z0－M2(1z－z*－1z)+M2Γ－

2M2ΛM1－M2+1RMsR2z2Γ+

2∑

SymboleB@k=0M2M1+M2+1+kRMs－1M2R20k+1×

z－k－2.(33)

3 廣義螺型位錯(cuò)上的位錯(cuò)力

作用在壓電螺型位錯(cuò)上的位錯(cuò)力可以用Pak［18］的廣義PeachKoehler公式計(jì)算：

Fx－iFy=ibTΣxz0－iΣyz0.(34)

式中:Fx和Fy分別表示沿x和y方向的位錯(cuò)力;Σx(z0)和Σy(z0)分別代表由夾雜引起的擾動(dòng)(干涉)應(yīng)力場和廣義電位移場分量.由式(30)和式(34)，并參考Lee［19］的文獻(xiàn)，我們可以得到位錯(cuò)點(diǎn)的擾動(dòng)廣義應(yīng)力場.

考慮到位錯(cuò)在基體中任意點(diǎn)z0，所以有

Fx-iFy=ibTM2F2(z0)=

12πbTMb1z0-R2/0-1z+bTiτ∞xz+τ∞yz

iD∞x+D∞y+

bTM2ΛM1－M2+1RMsR2z20M-12iτ∞xz-τ∞yz

iD∞x-D∞y-

1πbTM2∑

SymboleB@k=0ΛM2bR20k+1z-k-20.(35)

不失一般性，作如下假設(shè)：無窮遠(yuǎn)加載為零(Γ=0)和位錯(cuò)位于x軸上某點(diǎn)(z0=x0＞R)，此時(shí)，沿y方向的位錯(cuò)力Fy=0.可以得到位錯(cuò)在基體材料中時(shí)x方向的位錯(cuò)力為：

Fx=12πbTM2b1x0－R2/x0－1x0－

bTM2π∑

SymboleB@k=0M1+M2+1+kRMs－1M2bR2k+1x－2k－30.(36)

式(36)表明廣義壓電螺型位錯(cuò)在x軸上時(shí)只能沿著x軸運(yùn)動(dòng).

x方向無量綱位錯(cuò)力Fx0=2πRbTM2b－1Fx可以表示為:

Fx0=Rx0－R2/x0－Rx0－

2bTM2b－1bTM2∑

SymboleB@k=0ΛM2bR2k+3x－2k－30.(37)

4 分析和討論

現(xiàn)在，討論各參數(shù)對位錯(cuò)力的影響.假設(shè)無窮遠(yuǎn)加載為Γ=M-12τ∞xz-iτ∞yz

0，基體材料為PZT5H壓電陶瓷，其剛度模量矩陣

M2=12.6×1010N/m26.5 C/m26.5 C/m2－1.51×10－8 C/Vm，

界面的剛度模量矩陣為:

Ms=7.56 N/m3×10－8 C/m3×10－8 C/m0［14］，

壓電螺型位錯(cuò)b={bzbφ}T={1.0×10－9 m 1.0 V}T［20］.設(shè)納米壓電夾雜和壓電基體的介電常數(shù)d(1)11=d(2)11.定義如下無量綱量α=c(1)44/c(2)44，β=e(1)15/e(2)15，n=τ

SymboleB@xz/τ

SymboleB@yz和es15=δes0，其中es0=3×10－8C/m.

利用式(31)說明當(dāng)基體中不存在壓電螺型位錯(cuò)，只承受無窮遠(yuǎn)加載時(shí)界面上的應(yīng)力場分布.取不同的δ (δ取負(fù)值表示負(fù)的界面效應(yīng))，α=0.5， β=1時(shí)界面上應(yīng)力分布如圖2所示，圖2表明，隨著δ的增大，界面應(yīng)力的值也相應(yīng)增大.

假設(shè)無窮遠(yuǎn)應(yīng)力場和電場為零(Γ=0)，忽略殘余應(yīng)力τs0.利用式(37)說明螺型位錯(cuò)在基體中時(shí)，夾雜與基體的相對剛度、相對壓電常數(shù)和界面效應(yīng)對位錯(cuò)力的影響規(guī)律.

θ/rad

圖2 Σx在界面上的分布曲線

Fig.2 Stress Σx as a function of θ



圖3描繪了當(dāng)β=1.0，R=10 nm時(shí)，基體和夾雜的相對剛度α取不同的值時(shí)，位錯(cuò)力Fx0隨著位錯(cuò)在x軸上的相對位置ρ的變化規(guī)律.從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)界面效應(yīng)不存在(Ms=0)時(shí)，納米軟夾雜會(huì)一直吸引基體中的壓電螺型位錯(cuò)，符合經(jīng)典彈性理論；當(dāng)存在界面效應(yīng)(Ms≠0)時(shí)，若夾雜與基體的相對剛度相當(dāng)(α=1.0)，壓電螺型位錯(cuò)一直被排斥，并且越靠近界面排斥力越大，軟夾雜(α=0.3)對位錯(cuò)先排斥后吸引，并且在x軸上存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；而硬夾雜(α=2.0)對位錯(cuò)總是排斥，說明界面效應(yīng)對位錯(cuò)產(chǎn)生排斥效果.

ρ圖3 Fx0隨位錯(cuò)相對位置ρ的變化規(guī)律

Fig.3 Fx0  as a function of ρ



圖4描繪了當(dāng)α=0.5，R=10 nm時(shí)，基體和夾雜的相對壓電常數(shù)β取不同的值時(shí)，位錯(cuò)力Fx0隨著位錯(cuò)在x軸上的相對位置ρ的變化規(guī)律，從圖4中不難看出，位錯(cuò)向界面靠近，當(dāng)界面效應(yīng)不存在(Ms=0)時(shí)，納米軟夾雜將一直吸引基體中的壓電螺型位錯(cuò)，這是與經(jīng)典彈性理論的結(jié)果一致的；當(dāng)存在界面效應(yīng)(Ms≠0)時(shí)，納米軟夾雜(α=0.5)將先吸引后排斥位錯(cuò)，在x軸上存在一個(gè)位錯(cuò)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，并且隨著相對壓電常數(shù)β的增大位錯(cuò)力也增大. 

ρ

圖4 Fx0 隨位錯(cuò)相對位置ρ的變化規(guī)律

Fig.4Fx0 as a function of  ρ 

圖5描繪了當(dāng)ρ=1.2，α=1.0，β=0.5時(shí)，納米夾雜半徑R取值不同時(shí)，位錯(cuò)力Fx0隨界面效應(yīng)的變化規(guī)律，從圖5不難看出，夾雜半徑R越小，界面效應(yīng)對位錯(cuò)力的影響效果越明顯，即曲線的斜率越大，當(dāng)夾雜半徑R很大(如R=100 nm)時(shí)，位錯(cuò)力幾乎不受界面效應(yīng)的影響，故界面效應(yīng)對位錯(cuò)力的影響可以忽略，從而我們可以認(rèn)為界面效應(yīng)只有在納米尺度下才存在.

δ

圖5Fx0隨δ的變化規(guī)律

Fig.5Fx0 as a function of  δ

5 結(jié) 論

研究了壓電材料中螺型位錯(cuò)與含界面應(yīng)力納米尺度夾雜的力電耦合交互作用.運(yùn)用復(fù)勢函數(shù)方法和位錯(cuò)理論，求解了作用在壓電螺型位錯(cuò)上的位錯(cuò)力，最后分析和討論了彈性參數(shù)，壓電參數(shù)以及界面效應(yīng)對位錯(cuò)力的影響規(guī)律.

研究結(jié)果表明，正的界面效應(yīng)排斥基體中的壓電螺型位錯(cuò).考慮界面效應(yīng)時(shí)，軟夾雜會(huì)排斥基體中的壓電螺型位錯(cuò)，并且越靠近界面，作用在位錯(cuò)上的排斥力越大，在夾雜附近存在一個(gè)位錯(cuò)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)夾雜半徑縮小到納米尺度時(shí)，隨著界面效應(yīng)的變化位錯(cuò)力的變化非常明顯，而當(dāng)夾雜半徑增大到一定程度(R=100 nm )后位錯(cuò)力隨著界面效應(yīng)的變化趨于不明顯，甚至不受界面效用的影響，由此可見，壓電材料中界面效應(yīng)也只在納米尺度時(shí)才對位錯(cuò)力的影響效果明顯.上述研究表明界面效應(yīng)在界面處產(chǎn)生了一個(gè)局部的界面硬化區(qū)域，導(dǎo)致對壓電基體中的壓電螺型位錯(cuò)產(chǎn)生排斥作用.參考文獻(xiàn)

［1］ DENG W， MEGUID S A. Analysis of a screw dislocation inside an elliptical inhomogeneity in piezoelectric solids ［J］. International Journal Solids and Structures， 1999， 36(10):1449-1469.

［2］ MEGUID S A， DENG W. Electroelastic interaction between a screw dislocation and elliptical inhomogeneity in piezoelectric materials ［J］. International Journal Solids and Structures， 1998， 35 (13): 1467-1482.

［3］ HUANG Z， KUANG Z B. Dislocation inside a piezoelectric media with an elliptical inhomogeneity［J］. International Journal Solids and Structures， 2001， 38 (46/ 47) :8459-8479.

［4］ KATTIS M A， PTOVIDAS E， KALAMKAROV A L. Twophone potentials in the analysis of smart composite shaving piezoelectric components ［J］. Composites Part B: Engineering， 1998， 29 (1): 9-14.

［5］ 劉金喜， 姜稚清， 馮文杰. 壓電螺型位錯(cuò)和橢圓夾雜的電彈相互作用［J］ .應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2000， 21 (11): 1185-1190.

LIU Jinxin， JIANG Zhiqing， FENG Wanjie. On the electroelastic interaction of a piezoelectric screw dislocation with an elliptical inclusion in piezoelectric materials ［J］. Applied Mathematics and Mechanics， 2000， 21 (11): 1185-1190.(In Chinese)

［6］ LIU Y W， FANG Q H. A piezoelectric screw dislocation interacting with an interphase layer between a circular inclusion and the matrix ［J］. International Journal of Solids and Structures， 2004， 41(11/12):3255-3274.

［7］ PAK Y E. Circular inclusion problem in antiplane piezoelectricity ［J］. International Journal of Solids and Structures， 1992， 29(19):2403-2419.

［8］ GURTIN M E， MURDOCH A I. A continuum theory of elastic material surfaces ［J］. Archive for Rational Mechanics and Analysis， 1975， 57(4):291-323.

［9］ DUAN H L， WANG J， HUANG Z P. Sizedependent effective elastic constants of solids containing nanoinhomogeneities with interface stress ［J］. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2005， 53(7):1574-1596.

［10］LIM C W， LI Z R， HE L H. Size dependent， nonuniform elastic field inside a nanoscale spherical inclusion due to interface stress ［J］. International Journal of Solids and Structures， 2006， 43(17): 5055-5065.

［11］FANG Q H， LIU Y W．Sizedependent elastic interaction of a screw dislocation with a circular nanoinhomogeneity incorporating interface stress ［J］. Scripta Materialia， 2006，1(55): 99-102.

［12］ LUO J， LIU F. Stress analysis of a wedge disclination dipole interacting with a circular nanoinhomogeneity ［J］. European Journal of MechanicsA/Solids， 2011， 30(1): 22-32.

［13］ OU Z Y， PANG S D. A screw dislocation interacting with a coated nanoinhomogeneity incorporating interface stress ［J］. Materials Science and Engineering: A， 2010， 528(6): 2762-2775.

［14］ HUANG G Y， YU S W. Effect of surface piezoelectricity on the electromechanical behavior of a piezoelectric ring ［J］.Physica Status Solidi (b)， 2006， 243(4): R22-R24.

［15］ PAN E， WANG X， WANG R. Enhancement of magnetoelectric effect in multiferroic fibrous nanocomposites via sizedependent material properties ［J］. Applied Physics Letters， 2009， 95(18): 181904-181904-3.

［16］ TIERSTEN H F. Linear piezoelectric plate vibrations ［M］. New York:Plenum Press，1969.

［17］ MUSKHELISHVILI N L.Some basic problems of mathematical theory of elasticity ［M］. Noordhoff， Leyden， 1975.

［18］ PAK Y E. Force on piezoelectric screw dislocation ［J］. American Society of Mechanical Engineers. Journal of Applied Mechanics，1990， 57(3): 863-869. 

［19］ LEE S. The image force on the screw dislocation around crack of finite size ［J］. Engineering Fracture Mechanics， 1987， 27(5): 539-545.

［20］ LEE K Y， LEE W G， PAK Y E， Interaction between a semiinfinite crack and a screw dislocation in a piezoelectric material ［J］. American Society of Mechanical Engineers. Journal of Applied Mechanic，2000， 67(1):165-170.