一種新的時頻分析方法局部特征尺度分解

摘 要：在定義瞬時頻率具有物理意義的內稟尺度分量（Intrinsic scale component，ISC）的基礎上，提出了一種新的自適應時頻分析方法——局部特征尺度分解(Local characteristicscale decomposition，LCD)，該方法可以自適應地將一個復雜信號分解為若干個ISC分量之和.對LCD方法的基本理論進行了闡述，分別采用LCD方法和經驗模態分解（Empirical mode decomposition，EMD）方法對仿真信號進行了分析，分析結果表明：兩種方法都可以有效地對信號進行分解，但LCD方法在計算效率和抑制端點效應等方面要優于EMD 方法.此外，還將LCD方法應用于滾動軸承故障診斷，實驗信號的分析結果進一步表明了該方法的有效性.



關鍵詞：故障診斷；局部特征尺度分解；內稟尺度分量；滾動軸承

中圖分類號：TH115 文獻標識碼：A

A New Timefrequency Analysis Method the Local Characteristicscale Decomposition



YANG Yu， ZENG Ming，CHENG Junsheng

(State key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082， China)

Abstract:Based on the definition of intrinsic scale component (ISC)， a new selfadaptive timefrequency analysis method， local characteristicscale decomposition (LCD)， is proposed in this paper. By using LCD， a complicated signal can be decomposed into a number of ISC whose instantaneous frequencies have physical meaning. After expatiation on the basic theory of LCD， this paper analyzes the processed simulation signal by LCD and empirical mode decomposition (EMD). The analysis results have demonstrated that the validity of both the two decomposition methods. Moreover， LCD is superior to EMD in computational efficiency and restriction of end effects. In addition， LCD is also applied to fault diagnosis for roller bearing and the analysis results from the actual fault vibration signal have further proved the effectiveness of LCD.



Key words:fault etection；local characteristicscale decomposition; intrinsic scale component; roller bearing



對非平穩信號的分析一直是相關學者關注的熱點，由于時頻分析方法能同時提供非平穩信號在時域和頻域的局部化信息而在非平穩信號的分析中得到了廣泛的應用.典型的時頻分析方法有窗口傅里葉變換、Wigner分布、小波變換等，這些方法有一個共同的缺陷，那就是缺乏自適應性［1-3］.

近年來最具代表性的自適應時頻分析方法是經驗模態分解［4-5］，該方法在定義瞬時頻率具有物理意義的內稟模態函數分量的基礎上，將復雜的多分量信號自適應地分解為若干個IMF分量之和.局部均值分解［6］是另外一種新的自適應時頻分析方法，該方法將一個單分量的調幅調頻信號看成是其本身的包絡信號和一個純調頻信號的乘積，即PF（Product function）分量.該方法首先采用極值點獲得局部均值函數和包絡估計函數，然后在對原始信號不斷解調的過程中獲得瞬時頻率具有物理意義的純調頻信號和相應的包絡信號，將純調頻信號和包絡信號相乘便可以得到一個PF分量，從而可以將復雜信號自適應地分解為若干個PF分量之和.

由上述可知，EMD方法與LMD方法有一個共同點，那就是首先采用基于極值點的局部特征尺度參數定義一種瞬時頻率具有物理意義的單分量信號，然后據此對信號進行自適應分解.當然，在這類自適應時頻分析方法中，關鍵的問題是如何給出瞬時頻率具有物理意義的單分量信號所需要滿足的條件.實際上，EMD方法中定義的IMF分量或者LMD方法中定義的PF分量需要滿足的條件都只是瞬時頻率具有物理意義的充分條件，而并非必要條件，也就是說滿足其它條件的單分量信號的瞬時頻率也同樣可以具有物理意義.因此，論文采用基于極值點的局部特征尺度參數，定義了另一種瞬時頻率具有物理意義的單分量信號——內稟尺度分量，并在此基礎上提出了一種新的自適應時頻分析方法——局部特征尺度分解方法.

湖南大學學報(自然科學版)2012年

第4期楊 宇等：一種新的時頻分析方法局部特征尺度分解

1 LCD方法

1.1 內稟尺度分量的定義

為了定義瞬時頻率具有物理意義的ISC分量，考察瞬時頻率具有物理意義的典型單分量信號，如正弦（或余弦）信號、調幅信號、調頻信號、調幅調頻信號.圖1給出了這4種典型信號的時域波形圖.在圖中，連接任意兩個相鄰的極大（小）值點，再過其中的極小（大）值點B做縱坐標軸的平行線，兩條線相交于A點.從圖1中可以看出，在這4種典型信號中相鄰兩個極值點的時間跨度都無規律可循.但是，它們都有一個共同點，那就是圖1中的A點與B點相對于時間坐標軸近似對稱.由此，可以給出瞬時頻率具有物理意義的單分量信號所需要滿足的條件，將滿足該條件的單分量信號定義為ISC分量，并在此基礎上提出了LCD方法.

(a) 正弦信號

(b) 調幅信號

(c) 調頻信號

（d）調幅調頻信號

圖1 瞬時頻率具有物理意義的4種典型信號

Fig.1 Four typical signals whose instantaneous 

frequencies own physical meaning

LCD方法假設任何復雜信號由不同的ISC分量組成，任何兩個ISC分量之間相互獨立，這樣任何一個信號x(t)就可以被分解為有限個ISC分量之和，其中任何一個ISC分量滿足以下條件：

1）在整個數據段內，任意兩個相鄰極值點符號互異；

2）在整個數據段內，其極值點為Xk，k=1，2，…，M，各個極值點相對應的時刻為τk，k=1，2，…，M，由任意兩個極大（小）值點(τk，Xk)，(τk+2，Xk+2)連接形成的線段在其中間極小（大）值點(τk+1，Xk+1)相對應時刻τk+1的函數值Ak+1=Xk+(τk+1－τkτk+2－τk)(Xk+2－Xk)與該極小（大）值Xk+1的比值關系不變，即

aXk+(τk+1－τkτk+2－τk)(Xk+2－Xk)+(1－a)Xk+1＝0，即滿足A2X2=…=A6X6=…μ，如圖2所示.其中，a∈(0，1)為一常量，典型地，a=1/2，例如正弦信號或余弦信號、調幅信號、調頻信號、調幅調頻信號等.在實際應用中，比值μ不可能恒定為某一值，可以在某一許可的范圍內變動.

以上兩個條件保證了ISC分量任意兩個相鄰極值點之間具有單一的模態，而且在局部（極值點與相鄰的零交叉點之間）近似吻合標準正弦曲線，因此瞬時頻率具有物理意義［7］.

圖2 內稟尺度分量需要滿足的條件

Fig.2 Conditions for intrinsic scale component

1.2 LCD分解過程

根據所定義的ISC分量，將任意信號x(t)進行局部特征尺度分解，將其分解為若干個ISC分量之和，其分解步驟如下：

1）確定x(t)的所有極值Xk，k=1，2，…，M及其相對應的時刻τk，k=1，2，…，M，并設置參數a，連續相鄰極值點可將信號x(t)分割成若干個區間，在任意兩個相鄰極值點之間對x(t)進行線性變換，得到

Hk=Lk+(Lk+1－LkXk+1－Xk)(xt－Xk)t∈(τk，τk+1）.(1)

Hk表示對原始信號的第k個區間進行線性變換后得到的基線信號段，特別地，對于正弦或者余弦信號，基線信號Hk理論上應該為零.式(1)中.

Lk+1=aAk+1+(1－a)Xk+1=

aXk+(τk+1－τkτk+2－τk)(Xk+2－Xk)+

(1－a)Xk+1.(2)

2）由Hk依次連接成H1，并將H1從原始信號中分離出來，得到P1.理想地，P1為一個ISC分量，則P1為信號x(t)的第1個分量.

3）如P1不滿足ISC的條件，則將P1作為原始信號重復步驟1），2），循環k次，直到得到內稟尺度分量Pk，Pk即為信號x(t)的第1個分量ISC1.

4）將ISC1從x(t)中分離出來，得到一個新的信號r1，將r1作為原始信號重復步驟1），2），3），得到x(t)的第2個滿足ISC條件的分量ISC2，重復循環n次，得到信號x(t)的n個滿足ISC條件的分量，直到rn為一單調函數為止.這樣便可以將x(t)分解為n個內稟尺度分量ISC和一個單調函數rn之和，即

x(t)=∑np=1ISCp(t)+rn(t). (3)

2 LCD和EMD的對比分析

LCD方法與EMD方法一樣，都需要對端點效應進行處理.為了與EMD方法進行對比，首先在都不對端點進行處理的情況下，分別采用LCD方法和EMD方法對仿真信號進行分析.

考察如式（4）所示的仿真信號，t∈0，1.

x1(t)=［1+0.5sin (5πt)］cos ［300πt+

2cos (10πt)］，

x2(t)=2e－2tsin(60πt)，

x(t)=x1(t)+x2(t).(4)

仿真信號x(t)由調幅調頻信號x1(t)和調幅信號x2(t)合成，其時域波形如圖3所示.

t/s

圖3 仿真信號的時域波形

Fig.3 Timedomain waveform of the simulated signal

對信號進行LCD分解，設置參數a=1/2，ISC分量采用標準差判據，經過初步實驗，得到1個較為合理的標準差范圍：SD＜0.01.LCD分解結果如圖4所示.經過2次迭代后滿足分量判據條件，得到第一個分量ISC1，其運行時間為0.015 s.將ISC1從x(t)中分離出來，再對剩余信號進行LCD分解，經過1次迭代后得到第2個分量ISC2，其運行時間接近零，可忽略不計.由該分解結果可以看出，ISC1和ISC2分別對應著原信號中的調幅調頻信號和調幅信號，基本上能正確地反映出原始信號的特征，這驗證了LCD方法是一種有效地自適應分解方法.但同時可以較明顯地看出，由于未對信號端點效應進行處理，ISC2的波形在兩端點附近出現了輕微的畸變.

t/s

圖4 LCD方法分解結果（未進行端點處理）

Fig.4 Decomposition result of LCD (no endpoint extension)

對信號進行EMD方法分解，采用標準差判據，設置迭代閾值為0.2~0.3［1］，分解結果如圖5所示.經過59次迭代后滿足IMF分量判據條件，得到第1個分量IMF1，其運行時間為0.313 s.將IMF1從x(t)中分離出來，再對剩余信號進行EMD分解，經過360次迭代后得到第2個分量IMF2，其運行時間為1.562 s.由該分解結果可以看出，IMF1和IMF2的波形在兩端點附近都出現了非常明顯的畸變.

t/s

圖5 EMD方法分解結果（未進行端點處理）

Fig.5 Decomposition result of EMD (no endpoint extension)

對比圖4和圖5可以看出，雖然LCD方法和EMD方法一樣都需要對端點效應進行處理，但是 LCD方法采用對信號逐段進行線性變換的方法而使得迭代次數少，因而端點效應不明顯.而在EMD方法中，需要不斷地“篩分”才能獲得IMF，從而使得迭代次數較多，因而產生了較明顯的端點效應［8］，同時殘差r2(t)也較大.由此可以看出，在都沒有對端點效應進行處理的情況下，LCD方法優于EMD方法.

為了盡量減弱端點效應對計算效率的影響，需對信號兩端做適當的延拓.將仿真信號x(t)由兩端分別向外延拓至區間［－1，2］，其他參數保持不變，分別采用LCD方法和EMD方法對其進行分解.

對信號進行LCD方法分解，分解結果如圖6所示.經過2次迭代后滿足分量判據條件，得到第1個分量ISC1，其運行時間為0.031 s.將ISC1從x(t)中分離出來，再對剩余信號進行LCD方法分解，經過1次迭代后得到第2個分量ISC2，其運行時間為0.016 s.LCD方法分解所需總時間為0.047 s.

t/s

圖6 LCD方法分解結果（對端點進行延拓）

Fig.6 Decomposition result of LCD (endpoint extension)

對信號進行EMD方法分解，分解結果如圖7所示.經過6次迭代后滿足分量判據條件，得到第1個分量IMF1，其運行時間為0.079 s.將IMF1從x(t)中分離出來，再對剩余信號進行EMD方法分解，經過7次迭代后得到第2個分量IMF2，其運行時間為0.063 s.EMD分解所需總時間為0.142 s.

t/s

圖7 EMD分解結果（對端點進行延拓）

Fig.7 Decomposition result of EMD (endpoint extension)從分解結果時域波形來看，進行端點延拓后，LCD方法和EMD方法分解得到的分量都能正確地反映出原始信號的真實信息.對比LCD方法和EMD方法分解所需的總時間及總迭代次數可以得出：LCD方法的計算效率高于EMD方法.這是因為EMD方法中采用3次樣條插值形成上下包絡線，再計算包絡平均并將其作為基線信號，計算量較大，而LCD方法對原始信號逐段進行線性變換即得到基線信號，避免了整體插值的過程，這樣計算量大大減少，這一優點也使得LCD方法能夠應用于信號實時在線分析.

3 LCD方法在滾動軸承故障診斷中的應用

實測的軸承為6311型滾動軸承，故障是通過在外圈激光切割開槽來設置的，槽寬為0.15 mm，槽深為0.13 mm.振動加速度信號由安裝在軸承座上的加速度傳感器拾取.

圖8所示是測得的外圈有凹槽的滾動軸承振動加速度信號的時域波形，實驗時采樣頻率為4 096 Hz，軸轉頻率為25 Hz.經計算，滾動軸承外圈故障特征頻率為fo=76 Hz.

t/s

圖8 外圈故障滾動軸承振動加速度信號

Fig.8 Vibration acceleration signal of roller

bearing with outer ring faulty

采用標準差判據對該信號進行LCD方法分解，由于滾動軸承信號的主要信息集中在高頻段，因此只選取分解結果的前兩個ISC分量，如下圖9所示.

f/Hz

圖9 LCD方法分解結果的前兩個分量

Fig.9 The first two components of LCD

采用基于Hilbert變換的包絡解調方法分別對ISC1，ISC2進行解調，再進行包絡譜分析，得到的譜圖如圖10、圖11所示.

f/Hz

圖10 ISC1的包絡譜圖

Fig.10 Envelope spectrum for ISC1

f/Hz

圖11 ISC2的包絡譜圖

Fig.11 Envelope spectrum for ISC2

從圖中可以看出，外圈故障特征頻率76 Hz處都存在著明顯的譜線，與實際情況相符，由此可說明LCD方法識別滾動軸承外圈故障的有效性.

4 結 論

LCD方法是一種新的基于極值點的局部特征特征尺度參數的自適應、非平穩和非線性信號處理方法，LCD方法其優越性主要體現在以下兩個方面：

1）避免EMD方法計算量大的問題.因為EMD方法中采用3次樣條線形成上下包絡線，計算包絡平均并將其作為基線信號，而LCD方法對原始信號逐段進行線性變換即得到基線信號，這樣使得計算量大大減少.計算效率高這一優點也使得LCD方法能夠應用于信號實時在線分析.

2）LCD方法的端點效應不明顯.LCD方法采用對信號逐段進行線性變換的方法而使得迭代次數少，因而端點效應不明顯.而在EMD方法中，需要不斷地“篩分”才能獲得IMF，從而使得迭代次數多，產生明顯的端點效應.參考文獻

［1］ COHEN L. Timefrequency distributiona review［J］. Proceedings of the IEEE，1989， 77(7): 941-981.

［2］ CLASSEN T， MECKLENBRAUKER W. The aliasing problem in discretetime Wigner distribution［J］. IEEE Transactions on Acoustics， Speech and Signal Processing，1983，31(5):1067-1072.

［3］ MALLAT S. A theory for multiresolution decomposition， the wavelet representation［J］. IEEE TransPAM I， 1989，11(7):674-689.

［4］ HUANG N E，SHEN Z，LONG S R. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis［J］. Proceedings of the Royal SocietyA， 1998，454:903-995.

［5］ HUANG N E，SHENZ， LONG S R. A new view of nonlinear water waves: the Hilbert spectrum［J］. AnnuRevFluid Mech， 1999，31: 417-457.

［6］ JONATHAN S S. The local mean decomposition and its application to EEG perception data［J］. Journal of the Royal Society Interface， 2005， 2(5): 443-454.

［7］ MARKGF，IVAN O. Intrinsic timescale decomposition: timefreqeucnyenergy analysis and realtime filtering of nonstationary signals［J］. Proceedings of the Royal Society A， 2007， 463: 321-342.

［8］ QI Keyu，HEZhengjia，ZIYanyang. Cosine windowbased boundary processing method for EMD and its application in rubbing fault diagnosis［J］. Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(7):2750-2760.