周期箭狀矩陣的特征值反問題

摘 要：討論了由譜數據構造周期箭狀矩陣的特征值反問題，以及周期箭狀矩陣的相關性質.得出了該問題有解的充要條件以及有唯一解的充要條件，并且根據Boley與Lanczos的算法給出了求解該問題的可行數值算法.



關鍵詞：特征值反問題; Jacobi矩陣;箭狀矩陣;周期箭狀矩陣

中圖分類號：O241.6 文獻標識碼：A

An Inverse Eigenvalue Problem for Periodic Arrowlike Matrices



DENG Yuanbei， XIE Weisi

(College of Mathematics and Econometrics， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082，China)

Abstract:A class of inverse eigenvalue problem for periodic arrowlike matrices constructed by spectral data and its properties were discussed. The necessary and sufficient conditions for the solvability and uniqueness of the problem were obtained， followed by a feasible numerical algorithm according to Boley and Lanczos' algorithm.



Key words:inverse eigenvalue problem; Jacobi matrix;arrowlike matrix; periodic arrowlike matrix



周期箭狀矩陣具有以下形式：

An=α1βn0Lβ1βnα20Lβ200α3OMOO0βn-2MM0αn-1βn-1β1β2Lβn-2βn-1αn. (1)

式中:Aj表示An的j×j階順序主子陣，αi互不相同，βi＞0， i=1，…，n－1，n.當βn=0時，該矩陣為箭狀矩陣，文獻［1-2］闡述了Jacobi矩陣特征值反問題，文獻［3-4］對周期Jacobi矩陣進行了研究，文獻［5］研究了子周期Jacobi矩陣的特征值反問題.箭狀矩陣在現代控制理論和星形彈簧質量系統的振動問題中有廣泛應用，文獻［6］討論了其特征值反問題，文獻［7］研究了其廣義特征值反問題.本文研究了周期箭狀矩陣的特征值反問題，實際上是對箭狀矩陣特征值反問題的進一步推廣.即下述問題:

問題1 給定正數c以及兩組實數集

λ=λ1，λ2，…，λn，μ=μ1，μ2，…，μn－1同時滿足條件: 

λ1＜μ1＜λ2＜…＜λn-1＜μn-1＜λn.(2)

求一個周期箭狀矩陣An，使得

σAn=λ1，λ2，…，λn，σAn-1=μ1，μ2，…，μn－1，β1β2βn=c＞0.

1 An的性質

令φjλ=det λIj－Aj，φ0λ=1.

引理1 對于An的順序主子陣的特征多項式φnλ與φn－1λ有關系式： 

φn(λ)=(λ-αn)φn-1(λ)-∑2i=1β2i∏n-1 j=1(λ-αj)-

∑n-1i=3β2iφn-1(λ)(λ-αi)-2β1β2βnφn-1(λ)φ2(λ).(3)

證 將λI－An按最后一行作Laplace展開即得.證畢.

湖南大學學報(自然科學版)2012年

第4期鄧遠北等：周期箭狀矩陣的特征值反問題

令A11=α1βnβnα2，根據An的特點，可知An-1的特征值是由A11的特征值以及αi，i=3，…，n－1構成，又由于αi互不相同，不妨設

αk=μk，k=3，…，n－1，(4)

則A11的特征值就為μ1，μ2.

定理1 設λini=1，μjn－1j=1分別為An，An-1的特征值，則滿足式(2)中的交錯隔離關系.

證 由引理1及式(4)可得:

當k=3，…，n－1時，

|μkI-An|=φn(μk)=-β2k∏n-1j=1j≠k(μk-μj)，

則 sgn (φnμk)=－1n－k .(5)

又sgn (φn+

SymboleB@)=1，由柯西交錯定理有

μ3＜λ4＜μ4＜…＜λn－1＜μn－1＜λn. (6)

當k=1，2時， 

φn(μk)=-∑2i=1β2i∏2j=1j≠i(μk-αj)∏n-1s=3(μk-μs)-

2β1β2βn∏n－1j=3μk－μj， (7)

則sgn φnμ2=－1n－2.

下面考慮 sgn φnμ1.

由于βn＞0，A11為Jacobi矩陣，則μ1＜α1＜μ2且μ1+μ2=α1+α2，所以

μ1－α1＜0，μ1－α2＜0.

φnμ1=－β21μ1－α2+β22μ1－α1+2β1β2βn×∏n－1j=3μ1－μj.

由于 β21α2－μ1+β22α1－μ1≥

2β21α2－μ1β22α1－μ1=2β1β2βn，

所以 sgn φnμ1=－1n－1.

由式(5)知，

φnλ在－

SymboleB@，μ1，μ1，μ2μ2，μ3均有一根，得證.

引理2［8］ 令λ1＜μ1＜λ2＜…＜λn－1＜μn－1＜λn，如果ak=∑ni=1λi－∑n－1i=1μi，則下列線性方程組：

c1λi－μ1+c2λi－μ2+…+cn－1λi－μn－1=λi－ak，

其中i=1，2，…，n－1，n，有唯一解x=c1，c2，…，cn－1Τ，且

cj=－∏ni=1λi－μj∏n－1i=1，i≠jμi－μj－1＞0.

引理3［1］ 設n階Jacobi矩陣

Jn=a1b1b1an－1bn－1bn－1bn的特征值分別為λ1，…，λn，對應的標準正交特征向量為 x1，…，xn， 則對 m≤k，j=1，…，n 有

φ′nλjxmjxkj=φm－1λjbm…bk－1φm+1，nλj，

x2mj=θm－1λjθm+1，nλj/θ′nλj，(8)

其中xmj為xj的第m個分量， θnλ為Jn特征多項式.

2 問題的解An

定理2 給定兩組實數λini=1和μjn-1j=1以及正數c，則問題Ι有解的充要條件是：

當i=1，2時，

∏nj=1μi－λj≥4c－12－i∏n－1j=3μi－μj; (9) 

當i=3，…，n－1時，

－∏nj=1λj－μi∏n－1j=1，j≠iμj－μi－1＞0. (10)

證 必要性，考慮An的特征矩陣

λI－An=λIn－1－An-1yyΤλ－αn， 

其中y=－β1－β2…－βn－1Τ，則

In-10－yΤλIn-1－An-1－11λIn-1－An-1yyΤλ－αn=λIn-1－An-1y0λ－αn－yΤλIn-1－An-1－1y

由文獻［3-4］，

(λI-An-1)-1=∑n-1i=11λ-μixixTi.

其中xi為屬于An-1特征值μi的標準正交特征向量，當i=3，…，n－1時，

xi=ei. (11)

其中ei為第i個元素為1的單位向量. 若xji表示特征向量xi的第j個分量.

則yT(λIn-1-An-1)-1y=∑n-1i=1(xTiy)2λ-μi=

∑n－1i=1β1x1i+β2x2i+…+βn－1xn－1，i2λ－μi，

det λI－An=∏n－1j=1λ－μj×λ－αn－∑n－1i=1β1x1i+β2x2i+…+βn－1xn－1，i2λ－μi.

考慮方程 λj－αn－∑n－1i=1ciλj－μi=0，

其ci=β1x1i+β2x2i+…+βn－1xn－1，i2.

由引理2 知該方程有唯一解，且

ci=－∏nj=1λj－μi∏n－1j=1，j≠iμj－μi－1＞0. 當i=3，…，n－1時，由式(11)有

ci=β2i.即式(10)成立.

下證式(9)成立，由于xi的正交性，當i=1，2時，xmi=0，m=3，…，n－1，此時，

ci=β1x1i+β2x2i2，(12)

根據引理3有

x1ix2i=βnφ3，n－1μiφ′n－1μi，(13)

式中，φ′n－1μi=－1n－i－1∏n－1j=1，j≠iμi－μj，

當i=1，2時，φ′n－1μi=φ3，n－1μiφ′2μi，將式(13)代入式(12)中，得

β41［φ′2(μi)］2x41i+

2cφ′2(μi)-ciβ21［φ′2(μi)］2x21i+c2=0

解得

x21i=|φ′2(μi)ci|-2c(-1)2-i±Δi2β21|φ′2(μi)|，

其中

Δi=φ′2μici2－4c－12－iφ′2μici= φ′2μiciφ′2μici－4c－12－i.

由于A11為Jacobi矩陣， x21i＞0，i=1，2

所以，Δi≥0φ′2μici－2c－12－i±Δi＞0， 

解得

∏nj=1μi－λj4c－12－i∏n－1j=3μi－μj.

充分性令QΤ=QΤ2In-2，其中Q2∈R2×2為A11的標準正交特征向量組成的矩陣.則

QΤAnQ=QΤ2IΤn-2AnQ2In-2=

QΤ2A11Q2QΤ2A12A21QA22=

Λ0QΤ2β0βΤQ2A22.

其中Λ=μ100μ2，QΤ2=q1，q2，

A12=0…β10…β2=0…β

A22=α3β3αn－1βn－1β3…βn－1αn.

令 QΤ2β=β′1，β′2Τ=β′ (14)

λI－An=λ－αn∏n－1i=1λ－μi－

∑n－1i=1β′i2∏n－1j=1，j≠iλ－μj.

其中β′i=βi，i=3，…，n－1.則

β′i2=－∏nj=1μi－λj/∏n－1j=1，j≠iμi－μj，αn=∑ni=1λi－∑n－1i=1μi.(15)

下面去構造β1，β2以及A11.令

A-n=α1βn－β1βnα2β2αn－1βn－1－β1β2…βn－1αn，

β-=－β1，β2Τ，β″=QΤ2β-=β″1，β″2Τ，(16)

則

λI－A-n=λ－αnφn－1λ－∑2i=1β2i∏2j=1(λ-αj)-

∑n-1i=3β2iφn-1(λ)(λ-αi)+2β1β2βnφn-1(λ)φ2(λ)=

λI－An+4β1β2βnφn-1(λ)φ2(λ)=

λI－An+4β1β2βn∏n-1(i=3(λ-αi).

又由于

λI－A-n=λ－αnφn－1λ－

∑n－1i=1β″i2∏n－1j=1，j≠iλ－μj.

再根據式(9)知

β″i2=－∏nj=1μi－λj－4c(－1)2－i∏n－1k=3μi－μk∏n－1j=1，j≠iμi－μj＞0.(17)

式中:β″i=βi，i=3，…，n－1.由式(14)及式(16)，有

β1q1+β2q2=β′，－β1q1+β2q2=β″.

得2β1q1=β′－β″，

β1=‖β′－β″‖2，q1=β′－β″2β1.(18) 

由QΤ2A11=ΛQΤ2，由Lanczos構造法有

α1q11+βnq2=Λq1，βnq1+α2q2=Λq2.

則α1=q1TΛq1，βn‖Λq1-α1q1‖

q2=Λq1-α1q1βn，α2=q2TΛq2，

β2=cβ1βn.

(19)

從而構造了矩陣An.

推論 問題I有唯一解的充要條件是：

∏nj=1μi－λj=4c－12－i∏n－1j=3μi－μj，

i=1，2.

3 算 法

步驟1 由式(15)計算αn;

步驟2 由式(15)計算βi，i=3，…，n－1;

步驟3 由式(15)及式(17)計算β′，β″;

步驟4 由式(18)計算β1，q1;

步驟5 由q1及μ1，μ2用Lanczos方法按式(19)構造A11;

步驟6 計算β2=cβ1βn.

4 數值實驗

給定一組譜數據：

λ1=1.50，λ2=1.98，λ3=3.96，λ4=7.92，

μ1=1.70，μ2=2.41，μ3=5.64，c=8.12，

構造一個四階周期對稱箭狀矩陣.

通過matlab計算得到：

α4=5.610 0，β3=2.135 6，α3=5.6400，

β1=4.218 5，α1=2.019 9，β4=0.353 3，

β2=5.448 2，α2=2.090 1，即所求矩陣:

2.01990.353304.21850.35332.090105.4482005.64002.13564.21855.44822.13565.6100.參考文獻

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