圓錐曲線中定點問題的解題策略

解析幾何中定值問題的考查是近幾年高考的一個重點和熱點內容.這類問題常常以直線與圓錐曲線的位置關系為載體，以參數處理為核心，需要綜合運用函數、方程、不等式、平面向量等諸多數學知識以及數形結合、分類討論等多種數學思想方法進行求解，對考生的代數恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求.因此學生對處理此類問題都頗感棘手，筆者就定點問題談談自己的幾點體會.

在解析幾何中，有些幾何量與參數無關，這就構成了定值問題，解決這類問題時，要善于在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，解答思路有兩種：

一種思路是進行一般計算推理求出其結果，選定一個適合該題設的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義、方程、幾何性質，再用韋達定理、點差法等導出所求定值關系需要的表達式，并將其代入定值關系式，化簡、整理，求出結果；

另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉化為有方向有目標的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉化為代數形式或三角形式，證明該式是恒定的.同時有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索.如果試題是以客觀題形式出現，特殊化方法往往更有效.

恒過定點在解析幾何中以兩種形式呈現：

點斜式方程和過定點的直線系或曲線系方程.

一、由點斜式方程求出定點

y-y1=k(x-x1)，k∈R，直線恒過定點(x1，y1).

【例1】 已知離心率為52的雙曲線C的中心在坐標原點，左、右焦點F1、F2在x軸上，雙曲線C的右支上一點A使AF1·AF2＝0且△F1AF2的面積為1.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）若直線l:y=kx+m與雙曲線C相交于E、F兩點（E、F不是左右頂點），且以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D.求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標.

分析：采用思路一，第（2）問中已設有參變量k與m，若直線l:y=kx+m過定點，則參數k與m之間必然存在一個等量關系，利用y=kx+m，x24-y2=1消y得一個關于x的一元二次方程，再利用DE·DF=0列出k與m的關系即可.

解：（1）由題意設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)

，

由已知得e=ca=a2+b2a=52

，解得a=2b.

∵AF1·AF2=0且△F1AF2的面積為1，

∴|F1A|-|F2A|=2a，S△F1AF2=12|F1A|·|F2A|=1，|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2.



∴(|F1A|-|F2A|)2=4c2-4=4a2，∴b=1，a=2.

∴雙曲線C的標準方程為x24-y2=1.

（2）設E(x1，y1)，F(x2，y2)，聯立得y=kx+m，x24-y2=1，得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0.



顯然k≠±12，否則直線l與雙曲線C只有一個交點.

Δ=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)＞0，即4k2-m2-1＜0，

則x1+x2=-8km4k2-1，x1x2=4m2+44k2-1，又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.

∵以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D(2，0)，

∴DE·DF=0，即(x1-2，y1)·(x2-2，y2)=0.

∴(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0.

∴(x2+1)·4m2+44k2-1+(km-2)·-8km4k2-1+m2+4=0，

化簡整理得3m2+16km+20k2=0，

∴m1=-2k，m2=-103k，且均滿足4k2-m-1＜0.

當m1=-2k時，直線l的方程為y=k(x-2)，直線過定點（2，0），與已知矛盾；

當m2=-103k時，直線l的方程為y=k(x-103)，直線過定點（103，0）.

∴直線l過定點（103，0）.

【例2】 已知A、B是拋物線y2=2px（p>0）上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α、β變化且α+β=45°時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標.

分析：采用思路一，設出直線AB的參變量，尋找k與m之間的等量關系，由y=kx+m，y2=2px消x得一個關于y的一元二次方程，再利用tan(α+β)=1求出k與m的關系即可.

二、由過定點的直線系或曲線系方程求出定點

當直線系或曲線系存在一點與參數無關時，則直線系或曲線系中每條曲線皆過定點.一般方法是把含參數的同類項集中在一起，并令其系數為0，或取特殊值求出可能的定點，然后驗證.

【例1】 已知橢圓C過點M（1，62)，F(-2，0)是橢圓的左焦點，P、Q是橢圓C上的兩個動點，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數列.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A.

分析：采用思路一，第（2）問因涉及線段PQ的垂直平分線，則設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入橢圓C方程，用點差法引出線段PQ的斜率及中點公式，再恰當設參數，列出線段PQ的垂直平分線方程，最后把參數的同次項集中在一起，求出定點.

解：（1）設橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1

，由已知得1a2+64b2=1a2-b2=2，

，解得a2=4，b2=2.

所以橢圓的標準方程為x24+y22=1.

（2）證明：設P(x1，y1)，Q(x2，y2).由橢圓的標準方程x24+y22=1可知

|PF|=(x1+2)2+y21=(x1+2)2+2-x212=2+22x1.

同理，|OF|=2+22x2，|MF|=2+22.



∵2|MF|=|PF|+|QF|，∴2(2+22)=4+22(x1+x2)，∴x1+x2=2.



①當x1≠x2時，由x21+2y21=4，x22+2y22=4得x21-x22+2(y21-y22)=0，

從而y1-y2x1-x2=-12·x1+x2y1+y2.

設線段PQ的中點為N(1，n)，

由kPQ=y1-y2x1-x2-12n，

得線段PQ的中垂線方程為y-n=2n(x-1)，

∴(2x-1)n-y=0，該直線恒過一定點A(12，0).



②當x1=x2時，P(1，-62)，Q(1，62)或P(1，62)，Q(1，-62).

線段PQ的中垂線是x軸，也過點A(12，0)，∴線段PQ的中垂線過點A(12，0).



【例2】 動直線l:mx+ny+13n=0(m，n∈R)交橢圓方程x22+y2=1于A、B兩點，試問：

在坐標平面上是否存在一個定點T，使得TA·TB=0，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.



分析：直線l:mx+ny+13n=0(m，n∈R)可化為l:mx+n(y+13)=0(m，n∈R)，顯然恒過點(0，-13)，若設直線l的方程為：y=kx-13（k存在），由y=kx-13，x2+2y2=2消y得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系及TA·TB=0，因點A、B、T坐標均不知，無法做下去.故采用思路二，取特殊值（當斜率為0，斜率不存在時）求出可能的定點，然后驗證.

此例采用特殊探索法，先確定出定值，揭開其神秘的面紗，將盲目探索問題轉化為有方向有目標的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，同時有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索，如果試題是以客觀題形式出現，特殊化方法往往比較奏效.

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參考文獻

［1］楊瑞強.例談圓錐曲線中幾類定值問題［J］.高中數學教與學，2008，2.

［2］崔寶法.巧用參數分離法解曲線系過定點問題［J］.數學教學通訊.2006，9.

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(責任編輯 金 鈴）