巧解幾何難題的三點策略

解幾何題常常成為初中學生學習的“關口”，特別是有一定深度的幾何題更讓他們難以下手.其實，只要抓住圖形的特征，掌握一定的技能技巧，對解題能力的提高和突破是有很大幫助的，本文就從以下幾個方面進行分析和點撥.

一、巧用特殊圖形的性質

在現行的初中幾何課本中，以軸對稱和中心對稱圖形為主線，分成兩類來研究，只要掌握這兩類圖形的（對稱、平移、旋轉）性質，大多數的問題都可以迎刃而解.

例如，圖1中，已知B、A、C三點在同一條直線上，AB=AC，四邊形ABFE和四邊形ACDE都是正方形，線段AF和AD有什么關系?（相等且互相垂直）

圖2中，已知三角形ABC，AB=AC，E、F分別是AB、AC的中點，D為BC的中點，四邊形AEMG和四邊形AFNH都是正方形，線段DM和DN具有上述關系嗎？請說明理由.

圖1 圖2

不難看出，圖1中線段AF和AD是相等且互相垂直的關系，也易于證明.圖2中雖然上述結論仍然成立，相等也易于證明，但要證明互相垂直卻并不容易.為此，可以通過尋找圖中的一些特殊圖形，結合其性質來尋求解決問題的方法.可以從以下幾個問題著手：圖中可以證明幾對三角形全等？有幾個等腰三角形？有幾個直角三角形？要證DM⊥DN，那么∠AND必為45°，圖形中能出現45度角嗎？從而連接AN構造出等腰直角三角形，得∠NAF和∠ANF為45°角.

問題集中到四邊形ADFN內部，這里有等腰△AFD和等腰△DFN，則有∠FAD=∠FDA，∠FDN=∠FND，有等腰直角三角形AFN，則有∠FAN=∠FNA=45°，再由∠NAD+∠NDA+∠AND=180°，通過代換可得∠NDA+45°－∠FND+45°+∠NDA+∠FDN=180°，既2∠NDA=90°，從而使問題得以解決.

二、巧用基本圖形中的基本結論

對于有難度的幾何題，大多數的情況是本身的圖形比較復雜，或者需要作的輔助線比較隱蔽，甚至需要作的輔助線條數比較多.但是無論如何復雜，其中總是可以看成是由若干個小問題組成的，這就需要平時注重對一些小題目中一些結論和方法的積累，以便在復雜的題目當中能看透它們，從而使復雜的問題簡單化.先看以下比較淺顯的問題中的一些結論.

1．點P為正方形ABCD的對角線上任意一點（圖3），你能得出哪些結論？

不難得出三對全等的三角形，從而得出一些相等的線段PA=PC和相等的角，如∠DAP=∠DCP，∠ADP=∠CDP=45°等.

2．已知，如圖4所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，E為CD的中點，連接AE、BE.求證：AE=BE.

其中一種證法：可以取AB的中點F，連接EF，通過證明EF與兩底平行來得到EF是AB的垂直平分線，而線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，自然得到結論.

如果帶著以上兩個問題的結論當著基本結論來研究下面的問題，則可使難題轉化為較為容易的題：

例如，已知正方形ABCD中（圖5），E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF的中點，連接EG、CG.

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖6所示，取DF的中點G，連接EG、CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

問題（2）難度比較大，但是如果能結合前面正方形對角線上的點和直角梯形斜腰中點的特征，構造出如圖6的輔助線，則可以使問題得以順利解決.從圖中可以發現有正方形對角線上的一點G，得GA=GC，有直角梯形EFDA及其中位線，其實就是上面問題的基本圖形，再利用等腰△AFG的兩底角相等，綜合利用角的和差與等量代換即可以得到EG與GC互相垂直且相等的結論.

以上三點雖然能解決諸多問題，但僅屬于大海中的點點浪花，要想提高分析問題和解決的能力，還需不斷靜心地去“悟”，相信只要我們善于抓住一些特殊圖形的性質，善用基本圖形中的基本結論，以及題目中涉及的思想方法，就一定能更為快捷地解決問題.

(責任編輯 金 鈴）