數列通項公式的題型及求解方法

求數列的通項公式是數列的一個基本問題，也是高考命題的一個熱點和難點.近幾年高考試題中求數列的通項公式的問題可歸結為三種類型，下面分類解析.

一、利用數列遞推關系結構特征

型如an-an-1=f(n)(n≥2，n∈N*)和an=an-1·f(n)(n≥2，n∈N*)的遞推關系可分別看成是an+1-an=d和an+1=an·q推及一般的結果，可采用累加法或累乘法求解：

①an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1；②an=anan-1·an-1an-2…a2a1·a1.

【例1】（2010，全國）設數列{an}中a1=2，an+1-an=3·22n-1，求通項an.

解析:當n≥1時，an+1=［(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)］+a1=22(n+1)-1.

而a1=2，所以an=22n-1.

評注：本題用累加法，注意只能推導出an+1=22(n+1)-1，而a1=2需單獨驗證.

二、利用整體思想，構造輔助的等差、等比數列

有些遞推關系可利用整體思想化歸轉化，構造輔助數列，這些輔助數列一般是等差或等比數列，或者是可用累加法、累乘法求解的數列.常用的化歸轉化方法有待定系數法、特征方程法、不動點法等.如：

（1）an=b·an-1+c·dn或an=b·an-1+c·n+d（b≠1，n≥2，n∈N*）型，可用待定系數法按以下步驟構造等比數列：①設an+A·dn+B=b·(an-1+A·dn-1+B)或an+A·n+B=b·［an-1+A·(n-1)+B］；②用待定系數法可求出A、B；

（2）an+1+p·an+q·an-1=0（p·q≠0，n≥2，n∈N*）型，可用特征方程法構造為等比或等差數列．若特征方程x2+p·x+q=0的兩實數根為x1、x2，則x1+x2=-p，x1·x2=q，從而an+1-(x1+x2)·an+(x1·x2)·an-1=0，即an+1-x2·an=x1·(an-x2·an-1)且an+1-x1·an=x2(an-x1·an-1)；

（3）an+1=aan+bcan+d型，可用不動點法構造等比或等差數列．若方程x=ax+bcx+d的兩實根為x1、x2，則當x1≠x2時，(an+1-x1an+1-x2)/(an-x1an-x2)=q（q為常數），即｛an-x1an-x2｝是等比數列；當x1=x2時，1an+1-x1-1an-x1=d

（d為常數），即{1an-x1}是等差數列．

【例2】 （2010，全國）已知數列{an}中，a1=1，an+1=c-1an.設c=52，bn=1an-2，求數列{bn}的通項公式．

解析:（法一）an+1-2=52-1an-2=an-22an

，則1an+1-2=4an-2+2

，即bn+1=4bn+2.設bn+1+A=4(bn+A)，則3A=2，即A=23，故bn+1+23=4(bn+23)，

因此，{bn+23}是首項為-13，公比是4的等比數列，即bn=-13×4n-1-23．

（法二）方程x=52-1x

的兩根為12，2．∵an+1-0.5an+1-2=2.5-1an-0.5

2.5-1an-2

=4·an-0.5an-2

，

∴an-0.5an-2=a1-0.5a1-2×4n-1＝-12×4n-1

．從而bn=-13×4n-1-23．

評注：法一用變換法得到bn+1=4bn+2，用待定系數法構造等比數列{bn+23}，最終求出bn;法二用不動點法構造成等比數列{

an-0.5an-2

}，最終求出bn．

（3）利用通項和前n項和的關系轉化

對于f(an，Sn)型，可利用通項和前n項和的關系=an＝a1 (n=1);Sn-Sn-1(n≥2)轉化成關于an的遞推關系或關于Sn的遞推關系，再利用前述方法或數學歸納法求解通項公式.

【例4】 （2008，全國）設數列{an}的前n項和為Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．（1）設bn=Sn-3n，求數列{bn}的通項公式；（2）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．

解析:（1）Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，用待定系數法，得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)．因此，bn=Sn-3n=(a-3)2n-1，n∈N*．

（2）易得an=Sn-Sn-1=2×3n-1+(a-3)2n-2，n≥2.

∵an+1-an=2n-2(12×1.5n-2+a-3)，∴當n≥2時，an+1≥an12×1.5n-2+a-3≥0對n≥2，n∈N*恒成立a≥-9．又a2=a1+3＞a1．所以a的取值范圍是［-9，+∞)．

評注：本題將an+1=Sn+3n轉化為關于Sn的遞推關系，先求Sn后求an．當然，也可以轉化為關于an的遞推關系an+1-an=Sn-Sn-1+2·3n-1=an+2·3n-1(n≥2)，用待定系數法得到an+1-2·3n=2(an-2·3n-1)(n≥2)，最終求得an．

(責任編輯 金 鈴）