巧用隔板法解題
2012-01-01 00:00:00楊玉鳳
中學教學參考·理科版 2012年5期
眾所周知，把N個相同的元素分成n(n≤N)份，每份至少一個元素，常用隔板法，其方法是在N個相同元素所形成的N-1個空檔中間插入n-1個隔板，共有Cn-1N-1種情況.其方法數Cn-1N-1等價于線性不定方程x1+x2+x3+…+xn=N(xi≥1，i=1，2，…，n；n≤N)的正整數解的個數Cn-1N-1，但由于受“xi≥1”的限制，在具體解題中隔板法往往不能得到很好的應用.筆者在處理此類問題時，發現了一個非常適用的好方法，使得隔板法的應用更靈活更方便.本文特列舉幾例說明如下.
【例1】 10個相同的小球放入3個不同的盒子里，每個盒子不空，共有多少種不同放法？
分析：此題是隔板法的最典型例題，可直接用隔板法.
解法1：把10個球分成3份，每份至少1個球，在10個相同的小球中間有9個空檔，插入兩塊隔板，共有C29不同的放法.
解法2：設放入第i(i=1，2，3)個盒子的球的個數為xi，則x1+x2+x3=10(xi≥1，i=1，2，3).
此不定方程解的個數為C29=36，即為此題的方法數.
【例2】 把20個相同的球全部裝入編號分別為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒子中球的個數不小于盒子的編號數，問有多少種不同的裝法？
分析：此題要求每個盒子中球的個數不小于盒子的編號數，比例1難多了，不可直接用隔板法，此例說明隔板法并不具一般性.常見解法為解法1，其思維突破口是：先在1、2、3號盒中分別放進0、1、2個球，然后再分，此法有一定的思維要求，不太容易想到.其實在實際解題時，有不少學生會有如下思維：先在1、2、3號盒中分別放進1、2、3個球，再分剩下的14個球，其答案為C213＝78是錯誤的.但如能充分利用隔板法與不定方程之間的等價性，則可得解法2，此解法更具一般性，使隔板法的應用更靈活更方便.
解法1：先在1、2、3號盒中分別放進0、1、2個球，再把剩下的17個球分成3份，每份至少1個球，在17個球中間有16個空檔，插入兩塊隔板，共有C216＝120種不同的裝法.
解法2：設放入第i(i=1，2，3)個盒子的球的個數為xi，則x1+x2+x3=20(x1≥1，x2≥2，x3≥3)①，此不定方程解的個數即為此題的方法數，但方程①的解的個數不可直接求，可設y1=x1，y2=x2-1，y3=x3-2，則可得新的不定方程y1+y2+y3=17(y1≥1，y2≥1，y3≥1)，此不定方程①解的個數為C216＝120，等價于方程的解的個數，所以此題的方法數為C216＝120.
【例3】 將k個相同的球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，每個盒子可以放任意多個球，也可以是空的，共有多少種不同放法？
分析：因為允許有些盒子不放球，其常見解法有兩種：解法1對空盒子的個數進行分類討論；解法2就很難想到了，把4個盒子也看作4個相同的球，思維能力要求極高.但如能充分利用隔板法與不定方程之間的等價性，則可得解法3.
解法1：如有零個盒子空，有C3k-1種放法；如有一個盒子空，有C14C2k-1種放法；如有兩個盒子空，有C24C1k-1種放法；如有三個盒子空，有C34種放法.共有C3k-1+C14C2k-1+C24C1k-1+C34=C3k+3
種放法.
解法2：k個球可放進1個盒子或2個、3個、4個盒子，有些盒子可以是空的，直接用隔板法是不行的，因為隔板法只適用于每份至少一個球的情形，把4個盒子也看作4個相同的球，則共有k+4個球，然后再把它們分成4份，每份至少一個球，則不同的放法有C3k+3種.
解法3：設放入第i(i=1，2，3，4)個盒子的球的個數為xi，則x1+x2+x3+x4=k(xi≥0，i=1，2，3，4)②，此不定方程解的個數即為此題的方法數，但方程②的解的個數不可直接求，可設y1=x1+1，y2=x2+1，y3=x3+1，y4=x4+1，則可得新的不定方程y1+y2+y3+y4=k+4(yi≥1，i=1，2，3，4)，此不定方程解的個數為C3k+3，等價于方程①的解的個數，所以此題的方法數為C3k+3.
【例4】 (a+b+c)8的展開式共有多少項？
分析：此題是三項式問題，可轉化為二項式問題求解，可得解法1.但實際上，此題也可用隔板法求解，可得解法2.
解法1：(a+b+c)8=［a+(b+c)］8=a8+C18a7(b+c)+…(b+c)8.
在a8中有1項；在C18a7(b+c)的展開式中有2項；…在Cr8a8-r(b+c)r的展開式中有r+1項；…在(b+c)8展開式中有9項，所以(a+b+c)8的展開式共有1+2+3+…+9=45項.
解法2：設(a+b+c)8的某個展開式中含x1個a，x2個b，x3個c，則x1+x2+x3=8(xi≥0，i=1，2，3)③.設y1=x1+1，y2=x2+1，y3=x3+1，則可得新的不定方程y1+y2+y3=11(y1≥1，y2≥1，y3≥1)，此不定方程解的個數C210=45為，等價于方程③的解的個數，所以(a+b+c)8的展開式共有C210=45項.
(責任編輯 金 鈴）
