一題多解,開闊解題視野
2012-01-01 00:00:00黃乃林
中學(xué)教學(xué)參考·理科版 2012年5期
中考備考復(fù)習(xí)中，應(yīng)精選典型題，通過一題多解，訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，達(dá)到將知識串聯(lián)、方法歸納、以少勝多的效果，從而不斷提高學(xué)生解題能力和應(yīng)變能力.
【例】 如右圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸交于A、B兩點，AC是⊙M的直徑，過點C的直線交x軸于點D，連接BC，已知點M的坐標(biāo)為（0，3），直線CD的函數(shù)解析式為y=-3x+53.
(1)求點D的坐標(biāo)和BC的長;
(2)求點C的坐標(biāo).
分析：點D的坐標(biāo)容易由y=-3x+53與y=0組成方程組解之得D（5，0），而第（2）問求點C的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求線段BC與OB的長，而通過觀察只要求出BC的長，便可以通過直線DC的解析式y(tǒng)=-3x+53求出點C的橫坐標(biāo)，因此如何求出線段BC的長是本題解題之關(guān)鍵，求BC的長可以考慮以下幾種途徑.
解法一（三角形中位線定理的運用）
∵y軸過圓心且與AB垂直，AC為⊙M的直徑，
∴OA=OB，MA=MC，
∴OM為△ABC的中位線，
∴BC=2OM=23.
解法二（勾股定理的運用）
設(shè)點C的坐標(biāo)為C（a，-3a+53），
在Rt△AOM中有OA2+OM2=AM2，
在Rt△ABC中有AC2=AB2+BC2.
∴AM=a2+3，AC=2a2+3，
∴4(a2+3)=4a2+(-3a+53)2，
解得a1=7(舍去)，a2=3.
∴BC=-3×3+53=23.
解法三（面積法的運用1）
連接CO.∵M(jìn)為AC的中點，
∴S△AOM=S△COM.
∵O為AB的中點，
∴S△AOC=S△BOC.
∴2S△AOM=S△BOC.
設(shè)B的坐標(biāo)為B（a，0），
∴2a·3=a·BC.
∴BC=23.
解法四（面積法的運用2）
連接CO、BM.
∵AC為⊙M的直徑，
∴CB⊥AB.
又x軸⊥y軸，
∴OM∥BC.
∴S△MOC=S△MOB.
∴S△MOC+S△AOM=S△MOB+S△AOM，
即S△AOC=S△ABM，
∴12AO·BC=12AB·OM.
設(shè)點B的坐標(biāo)為B（a，0），
則有a·BC=2a·3，
∴BC=23.
解法五（相似三角形性質(zhì)的運用）
∵AC為⊙M的直徑，
∴CB⊥AB.
又x軸⊥y軸，
∴OM∥BC.
∴∠AMO=∠ACB，∠AOM=∠ABC=90°.
∴△AOM∽△ABC.
∴MOBC=AMAC，即3BC=12.
∴BC=23.
解法六（構(gòu)造全等三角形）
過點C作CN⊥y軸，垂足為N.
∵x軸⊥y軸，∠ABC=90°，
∴四邊形NOBC為矩形.
∴CB=ON.
∵M(jìn)A=MC，∠AMO=∠CMN，
∠CNM=∠AOM=90°，
∴△AOM≌△CNM.
∴OM=12ON=3.
∴BC=ON=23，這樣點C的縱坐標(biāo)為y=23，
∴23=-3x+53.
解得x=3，∴點C的坐標(biāo)為C（3，23）.
以上通過一題多解的訓(xùn)練，從不同切入點切入，從而活躍了學(xué)生的解題思維，達(dá)到舉一反三的復(fù)習(xí)效果.
(責(zé)任編輯 金 鈴）
(上接第80頁)
∴x1+x2=2k2-2kk2-2=2×１，k=2，
代入消y后的方程，計算得Δ＜0，∴滿足題中條件的直線m不存在．
突破策略：特例引路，猜想證明
解決此類問題，我們通常假定題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論．
題型4 探索方法、規(guī)律
基本特征：需要非常規(guī)的解題方法或被指定要用兩種以上的方法解決同一個問題，難度較高的構(gòu)造法即屬此型．
圖3
【例4】
（上海）如圖3，正方體OABC-O′A′B′C′
棱長為a，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE＝BF．
（1）求證：A′F⊥C′E；
（2）當(dāng)三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，
求二面角B′-EF-B的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．
解析：本題要求學(xué)生在陌生的問題情境中能自主探索，
提取相關(guān)信息，獲得規(guī)律，從而解決問題．
（1）題中E、F雖在棱上運動，但始終體現(xiàn)出直線A′F⊥C′E的
一個不變關(guān)系，而C′E⊥A′O不變，故只要去證C′E⊥OF即可達(dá)到目的．
（2）題中尋求的是E、F在變化過程中二面角的最值狀態(tài)，易看到該三棱錐的高一定，因此，只要底面面積最大即可．考察E、F在變化過程中當(dāng)E由A向B運動時，△BEF的面積先由小逐漸變大到一定值后又逐漸變小，因此，在E為AB的中點時該三棱錐的體積取得最大值，從而解決問題．
突破策略：變換角度，等價轉(zhuǎn)換
美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程”．在解決此類探究題的過程中，常常需要我們變換角度，對題目進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，先研究其簡化形式但卻保持本質(zhì)的特殊情形，再運用類比、猜測、聯(lián)想來探路，對解題過程進(jìn)行創(chuàng)造性地思考．
通過長期的教學(xué)實踐，我們發(fā)現(xiàn)解幾何探索性問題要注意三個環(huán)節(jié)：一是認(rèn)真審題，確定目標(biāo)；二是深刻理解題意，實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化；三是開闊思路，發(fā)散思維，運用觀察、比較、類比、聯(lián)想、猜想等帶有非邏輯思維成分的合理推理，以便為邏輯思維定向．方向確定后，又需借助邏輯思維，進(jìn)行嚴(yán)格推理論證，這兩種推理的靈活運用，兩種思維成分的交織融合，便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略．
(責(zé)任編輯 金 鈴）
