分類(lèi)討論思想在三角形中的應(yīng)用

所謂分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答. 進(jìn)入初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，會(huì)出現(xiàn)越來(lái)越多的涉及分類(lèi)討論的題型，由于對(duì)知識(shí)的全面性，思維的邏輯性、條理性和縝密性要求較高，學(xué)生解題往往出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解情況. 在筆者的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致這些問(wèn)題的主要原因是學(xué)生知識(shí)掌握的不牢靠、不全面，沒(méi)有抓住與題相關(guān)的知識(shí)要點(diǎn)解題. 下面我結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，用具體的例子來(lái)談?wù)劮诸?lèi)討論思想在三角形中的應(yīng)用.

一、當(dāng)所示內(nèi)容對(duì)象不明確時(shí)，須進(jìn)行分類(lèi)討論

例1 如圖1，等腰三角形一腰上的中線(xiàn)把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為１２厘米和２１厘米兩部分，求其底邊長(zhǎng).

對(duì)于題目中周長(zhǎng)的兩部分ＡＢ ＋ ＡＤ和ＢＣ ＋ ＣＤ不能確定其長(zhǎng)是１２還是２１，故需要分類(lèi)討論：

①AB + AD = 12，BC + CD = 21或②BC + CD = 12，AB + AD = 21.

二、等腰三角形由于其腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)、頂角與底角的區(qū)別，往往需分類(lèi)討論

例2 等腰三角形的周長(zhǎng)為１２，一邊長(zhǎng)為５，求其另兩邊長(zhǎng).

此題中一邊長(zhǎng)為５沒(méi)有確定是等腰三角形的腰長(zhǎng)還是底邊長(zhǎng)，需分類(lèi)討論：①當(dāng)腰長(zhǎng)為５時(shí)，則另兩邊長(zhǎng)分別為５和２；②當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為５時(shí)，則另兩邊長(zhǎng)分別為３．５和３．５．當(dāng)然，此題最后還需注意檢驗(yàn)三角形的三邊是否滿(mǎn)足兩邊之和大于第三邊.

例3 等腰三角形的一個(gè)角為４０°，求其另外兩個(gè)角的度數(shù).

此題中一個(gè)角沒(méi)有確定是頂角還是底角，需分類(lèi)討論：①當(dāng)頂角為４０°時(shí)，則另兩個(gè)角均為底角，都為７０°；②當(dāng)?shù)捉菫椋矗啊銜r(shí)，則另兩個(gè)角一個(gè)為頂角１００°，一個(gè)為底角４０°.

三、三角形高的位置可能在三角形內(nèi)、三角形上、三角形外，需進(jìn)行分類(lèi)討論

例4 在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ２０，ＡＣ ＝ １５，ＢＣ邊上的高ＡＤ等于１２，求邊ＢＣ的長(zhǎng).

在本題中三角形的形狀不確定，除了直角三角形不符合題意外，此三角形可為銳角三角形或鈍角三角形，由此ＢＣ邊上的高可在三角形外或三角形內(nèi)，應(yīng)分兩種情形解題，如圖2和圖3.

四、有些題一次分類(lèi)討論不能解決問(wèn)題，在分類(lèi)的每一種情況中還可能再次出現(xiàn)分類(lèi)討論

例5 在等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ ＝ ４０°，求∠Ｂ的度數(shù).

此題∠Ａ不能確定是等腰三角形的頂角還是底角，需進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)∠Ａ是頂角，∠Ｂ必為底角，為７０°；當(dāng)∠Ａ是底角時(shí)，∠Ｂ在等腰三角形中又有可能為頂角或底角，故又需進(jìn)行分類(lèi)討論，得∠Ｂ為４０°或１００°，共三種結(jié)果.

例6 已知ＡＤ為等腰三角形ＡＢＣ的腰ＢＣ上的高，∠ＤＡＢ ＝ ６０°，求這個(gè)三角形的各內(nèi)角的度數(shù).

由題可分析，等腰三角形的形狀不確定，故首先要討論是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，在這三種情況中直角三角形不符合題意，故在另兩種情況下解題：（１）銳角三角形ＡＢＣ中，由于ＡＤ為等腰三角形ＡＢＣ的腰ＢＣ上的高，能確定Ａ為底角頂點(diǎn)，但Ｂ，Ｃ哪個(gè)是底角頂點(diǎn)無(wú)法確定，又需再次進(jìn)行分類(lèi)討論（如圖4，Ｂ為底角頂點(diǎn)，圖5中Ｂ為頂角頂點(diǎn)），在圖4中，若∠ＤＡＢ ＝ ６０°，則∠Ｂ ＝ ３０°，不符合銳角三角形的前提，應(yīng)舍去；（２）鈍角三角形，同于（１），也須再次討論Ｂ，Ｃ哪個(gè)是底角頂點(diǎn)，兩種情況均符合題意（如圖6，7）.

分類(lèi)討論思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的一種方法，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是一個(gè)難點(diǎn). 教師教學(xué)中應(yīng)有目的、有計(jì)劃地對(duì)學(xué)生滲透和強(qiáng)調(diào)，加強(qiáng)這方面題型的訓(xùn)練，強(qiáng)化、鞏固知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生逐漸產(chǎn)生分類(lèi)討論的意識(shí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.