點擊2011年中考中的動態問題

【摘要】 數學因為“動態”才充滿了魅力與活力．近年來，“動態問題”以其綜合性強、能力要求高，牢牢地占據著各地中考的有利位置．它能全面考查學生的邏輯推理能力、實踐操作能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力．這類問題主要融于函數的關系、三角形的相似以及最值問題等探索性強、綜合性高的問題中，對于培養學生觀察、發現、分析、歸納、探究與猜想等能力，有較大的促進作用．

【關鍵詞】 中考試題；動態問題；幾何問題；試題分類

近幾年來，“動態問題”大量出現在全國各地的中考試題中，突顯其魅力所在．現以２０１１年各地中考試題為例，加以分析，與同行共享．

一、與函數相關的動態問題

函數在中考中占據著舉足輕重的地位，很多省市對函數的考查都與圖形的運動結合起來，使得試題綜合性強，這種題型難度較大，它能全面考查學生的邏輯推理能力以及分析問題和解決問題的能力．而且，在這些動態問題中，又分為單動點、雙動點、多動點等情況．

１. 單動點

例1 （２０１１安徽）如圖1所示，Ｐ是菱形ＡＢＣＤ的對角線ＡＣ上一動點，過Ｐ垂直于ＡＣ的直線，交菱形ＡＢＣＤ的邊于Ｍ，Ｎ兩點，設ＡＣ ＝ ２，ＢＤ ＝ １，ＡＰ ＝ ｘ，△ＡＭＮ的面積為ｙ，則ｙ關于ｘ的函數圖像的大致形狀是 （ ）.

【答案】Ｃ

解析 此題考查的知識綜合性較強，通過動點作為紐帶，將三角形相似和二次函數巧妙地融合在同一題中，而且，在點Ｐ由Ａ到Ｃ的運動過程中，對于△ＡＭＮ的面積的求法分為兩種情況，所以對應的函數是分段函數．此題全面地考查了學生的邏輯推理能力，將數學分類的思想滲透其中是一道區分度較大的一題．

２. 雙動點

例2 （２０１１山東威海）如圖2，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ ３ ｃｍ，動點Ｍ自Ａ點出發沿ＡＢ方向以每秒１ ｃｍ的速度運動，同時動點Ｎ自Ａ點出發沿折線ＡＤ—ＤＣ—ＣＢ以每秒３ ｃｍ的速度運動，到達Ｂ點時運動同時停止. 設△ＡＭＮ的面積為ｙ（ｃｍ２），運動時間為ｘ（s），則下列圖像中能大致反映ｙ與ｘ之間的函數關系的是 （ ）.

【答案】Ｂ

解析 此題是一道雙動點題．在Ｍ與Ｎ這兩個動點中，點Ｎ的運動路線較復雜些．恰恰是動點Ｎ沿折線ＡＤ—ＤＣ—ＣＢ的三段運動，使得所對應的函數是一個三分段函數，對應的函數圖像也是由三部分組成的曲線． 數學中的分類思想在這里得以很好的體現．

３. 多動點

例3 （２０１１甘肅蘭州）如圖3，正方形ＡＢＣＤ的邊長為１，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分別為各邊上的點，且ＡＥ ＝ ＢＦ ＝ ＣＧ ＝ ＤＨ，設小正方形ＥＦＧＨ的面積為Ｓ，ＡＥ為ｘ，則Ｓ關于ｘ的函數圖像大致是 （ ）.

【答案】Ｂ

解析 此題是一道多動點題． Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分別為邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上的點，且有條件ＡＥ ＝ ＢＦ ＝ ＣＧ ＝ ＤＨ， 正是這個條件，使得ＥＦＧＨ是一個正方形，求其面積，無論直接求還是間接來求，都不難，要求考生對于二次函數的圖像很好的掌握．

二、與相似相關的動態問題

三角形相似是幾何中較基礎的知識，也是各地中考必考的內容之一，而且通常與一次函數、 二次函數、多邊形等融合在一起，綜合性較強． 下面的例題將相似與點的動態結合在一起，是考查相似并不少見的一種形式．

例4 （２０１１浙江舟山）已知直線y = kx + 3（k ＜ ０ ）分別交x軸、y軸于Ａ，Ｂ兩點，線段ＯＡ上有一動點Ｐ由原點Ｏ向點Ａ運動，速度為每秒１個單位長度，過點Ｐ作x軸的垂線交直線ＡＢ于點Ｃ，設運動時間為t s．

（1）當k = -1時，線段ＯＡ上另有一動點Ｑ由點Ａ向點Ｏ運動，它與點Ｐ以相同的速度同時出發，當點Ｐ到達點Ａ時兩點同時停止運動（如圖4）．

① 直接寫出t ＝ １ s時Ｃ，Ｑ兩點的坐標；

② 若以Ｑ，Ｃ，Ａ為頂點的三角形與△ＡＯＢ相似，求t的值．

（２）當ｋ ＝ －時，設以Ｃ為頂點的拋物線ｙ ＝ （ｘ ＋ ｍ）２ ＋ n與直線ＡＢ的另一交點為Ｄ（如圖5），

① 求ＣＤ的長；

② 設△ＣＯＤ的ＯＣ邊上的高為h，當t為何值時，h的值最大？

解析 對于此題（１）中的②題，源于教材，但又高于教材，對于學生來說，并不陌生，而且較易想到分為△ＡＱＣ∽△ＡＯＢ與△ＡＣＱ∽△ＡＯＢ兩種情形．本題通過雙動點，將相似和一次函數有機地結合在一起， 一方面有一定的綜合性，同時作為壓軸題還是一種不錯的選擇．

三、與最值相關的動態問題

“最值”問題在各地中考試卷中占有著非常重要的地位，尤其在壓軸題上，而其中的動點就像一條紐帶，將出題者要考查的知識，如一次函數、二次函數、多邊形等連同最值緊緊地連在一起．

例5 （２０１１山東菏澤）如圖6，拋物線ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｂｘ － ２與ｘ軸交于Ａ，Ｂ兩點，與ｙ軸交于Ｃ點，且Ａ（－１，０）．

（１）求拋物線的解析式及頂點Ｄ的坐標；

（２）判斷△ＡＢＣ的形狀，證明你的結論；

（３）點Ｍ（ｍ，０）是ｘ軸上的一個動點，當ＭＣ ＋ ＭＤ的值最小時，求ｍ的值．

解析 對于本題中的第（３）小題的原型是“飲馬問題”， 作出點Ｃ關于ｘ軸的對稱點Ｃ′，則Ｃ′（０，２），ＯＣ′ ＝ ２．連接Ｃ′Ｄ交ｘ軸于點Ｍ，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，此時ＭＣ ＋ ＭＤ的值最小．與此相關的問題很多，屢屢出現在各地的中考試卷上．縱觀近幾年的中考試題，我們不難發現，很多綜合題是基礎知識的組合、加工和拓展，這充分體現教材的基礎功能，啟示我們教師要注重基礎知識、基本問題的教學，學生只有學好基礎知識，才能在綜合的應用中得心應手．

例6 （２０１１山東濟寧）如圖7，在平面直角坐標系中，頂點為（4，-1）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側）． 已知A點坐標為（0，3）．

（１）求此拋物線的解析式；

（２）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D， 如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；

（３）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．

解析 這是一道動點與圓、二次函數、最值相融合在一起的綜合題．在本題的第（３）問中，已知拋物線上的動點Ｐ，構造出△PAC，直接求其面積在初中階段不容易求得，故過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q（如圖8）．可求出AC的解析式為y = -x + 3．設P點的坐標為（m，m2 - 2m + 3），則Q點的坐標為（m，-m + 3）．

∴ PQ = -m + 3 - （m2 - 2m + 3） = -m2 + m.

∵ S△PAC = S△PAQ + S△PCQ = × （-m2 + m） × 6 = -（m - 3）2 + .

∴當m = 3時，△PAC的面積最大為．

此時，P點的坐標為（３，-）．

通過求解過程，我們會發現，通過動點這一紐帶，緊緊地將一次函數、二次函數和最值有機地融合在一起，不僅很好地考查了學生的基礎知識，而且要求學生有較強的邏輯推理能力、計算能力以及知識的運用能力．

“動態”就像一根線一樣將三角形的相似、函數、圓、多邊形等知識串在一起，所以，“動態”在綜合題中起著不可估量的作用，在全國的中考試卷的壓軸題中更是屢見不鮮．“動態”問題綜合性強，能力要求高，它不僅能考查學生的基本知識技能，而且能全面考查學生的思維能力．所以，在當今不但注重基礎更注重能力的中考中，“動態”扮演著重要的角色．

【參考文獻】

［１］李天舟．例談中考中“圖形運動”問題的建構［Ｊ］．中國數學教育（初中版） ，２０１１（３）：２５－２７.

［２］向雋，何訓光．點擊中考中圖形旋轉問題［Ｊ］． 中國數學教育（初中版） ，２０１１（３）：２８－２９.