體會策略價值,發展數學思維

《數學課程標準（實驗稿）》中明確提到，“解決問題”是數學課程目標的四大領域之一. 而讓學生“初步學會從數學的角度提出問題，理解問題，并能綜合運用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識，形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神”又是這一目標的具體內容.

解決問題的策略很多，小學數學教材中編排的策略大致分為兩塊：一塊是最基本的策略——綜合與分析；另一塊是較常用的策略——整理、畫圖、列表、枚舉、倒推、假設、轉化等. 教師在平時的教學和輔導中如何教給學生這些解決問題的策略，達到啟迪思維，激發學習數學的興趣呢？在此，筆者借助“雞兔同籠”這個載體，談談如何讓學生體會策略價值，發展學生數學思維的一點做法.

題目是這樣的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問：雞兔各幾何？

一、等效轉化策略

“轉化”，通俗地說就是把一個數學問題變成一類已經解決或比較容易解決的問題，從而使原問題得到解決的一種策略. 教學中應從三個方面把握轉化的策略：第一，轉化的方向，化復雜為簡單，化未知為已知，化抽象為直觀，化曲為直等；第二，轉化的前提，等值轉化；第三，轉化的方法，變形、數形結合、正難則反等.

“雞兔同籠”原題中的數據比較大，不利于首次接觸該類問題的學生進行探究. 根據化復雜為簡單的思想，先安排數據較小的問題，讓學生嘗試練習. 如“籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有８個頭，從下面數有２２只腳，雞和兔各有幾只？”學生自主合作，探索出解決此類問題的一般方法后，再應用于解決數據較大的原題，問題便迎刃而解了. 同時進一步拓展，如“龜鶴問題” 、“坐船問題”、“住房問題”等，這些問題都可以通過轉化，歸結為“雞兔同籠”問題，再進一步求解. 使學生感受“雞兔同籠”問題的變式及其在生活中的廣泛應用，體會轉化策略在解題中的魅力.

二、列表枚舉策略

列表枚舉法，就是利用表格把每種情況一一列舉出來，直至得出結論. 為了讓學生經歷列表，嘗試和不斷調整的過程，從中體會出解決問題的一般策略——列表枚舉法，筆者設計了以下的教學流程.

1. 聯系現實，激趣導入

主要通過編歌謠激發學生的學習興趣，探尋解決“雞兔同籠”的問題.

２．自主探索，嘗試解決

這一過程主要引導學生認真分析題意，個人獨立思考，讓學生通過猜測、推算、拼擺等形式尋找結論.

３． 嘗試列表枚舉，不斷改進方法

首先我把表頭畫出來，讓大家共同嘗試，通過嘗試，說說自己的體會.

通過學生的交流，發現列表枚舉法比較麻煩. 那如何改進減少列舉次數呢？有的同學提出了兩種列舉的方案：第一，５只５只地增減. 第二，中間開花法，即總共有３５個頭，假設雞１８只，兔１７只，再借助列表，通過增雞減兔的辦法進行調整，簡化了過程，提高了效率，讓學生從中體會到列表枚舉法的應用價值.

三、假設論證策略

假設是一種重要的數學思想方法. 假設驗證法是先假定一種情況或結果，然后通過推導、驗證來解決問題的方法. 合理運用假設驗證法，往往可以使問題化難為易，使解題另辟蹊徑，有利于培養學生靈活的解題技能，發展學生的邏輯推理能力.

用假設驗證法解答“雞兔同籠”的問題有多種思路. 可以先假設全部都是雞或全部都是兔，再計算實際與假設情況下總腳數之差，最后推理出雞和兔的只數.運用假設論證法解題是教學的難點，教師可讓學生按步驟畫圖，計算的過程中適時地引導學生進行思考. 在“假設都是雞”后讓學生思考：畫出的腳比實際的９４只是多還是少？為什么？在給畫出的雞添腳前要思考：相差的２４只腳應該怎樣去添？添腳后的“雞”變成了什么？有幾只“雞”需要變成“兔”？假設全是兔呢？教師可以讓學生試著用“畫圖觀察法”，學生會在直觀操作活動中通過數形結合而建立思維的表象，再進一步抽象. 這樣有助于學生真正理解“假設論證法”，形成有序地、嚴密地思考問題的意識.

四、畫圖觀察策略

小學生的思維以形象思維為主. 而數無形，少直觀，形無數，難入微. 教學中可根據學習的內容，把某些具有一定抽象思維的數學問題進行直觀操作、演示，讓學生在操作、觀察、思考的過程中理解、內化，使問題化難為易，化繁為簡，激發學生學習的興趣. 在教學“雞兔同籠”問題時，可先根據前面題中數據較小的特點，讓學生用“畫圖觀察法”解題（如下圖）. 用○表示頭，用 | 表示腳. 先畫８個頭，如果每個頭下都畫上２只腳. 數一數，共有１６只腳，比題中給出的腳數少了６只. ２只２只地添，添了３次后剛好是２２只腳，得到籠中有５只雞３只兔. 也可以先在每個頭下畫上４只腳，結果比題中給出的腳數多了１０只. ２只２只地劃去，劃５次后腳的只數剛好是２２只，得到相同答案.

第一種

第二種

運用畫圖觀察法，對于初次接觸此類問題的學生，不僅學得有興趣，而且能加深用假設論證法解題思路的理解，從而發展學生的思維能力.

當然，解決小學數學問題的策略還很多，教師要根據各種數學問題的特點、知識間的內在聯系和小學生的年齡特征，適當教給學生一些解題的策略，以培養學生學習數學的興趣，提高靈活解決數學問題的技能技巧，全面提升學生的數學綜合素質.