利用二維極值分布模擬我國幾個代表站的強降水概率特征

余錦華，李佳耘，丁裕國

(1.南京信息工程大學氣象災害省部共建教育部重點實驗室，江蘇南京210044;2.南京信息工程大學大氣科學學院，江蘇南京210044;3.安徽省亳州市氣象局，安徽亳州236800)

利用二維極值分布模擬我國幾個代表站的強降水概率特征

余錦華1，2，李佳耘3，丁裕國1，2

(1.南京信息工程大學氣象災害省部共建教育部重點實驗室，江蘇南京210044;2.南京信息工程大學大氣科學學院，江蘇南京210044;3.安徽省亳州市氣象局，安徽亳州236800)

基于中國6個代表站5—9月的逐日降水資料，利用二維Gumbel-Logistic分布，研究了中國不同區域的過程降水量和日最大強降水雨量的聯合概率特征。結果表明，各代表性臺站的過程雨量和強降水雨量的聯合分布均符合二維Gumbel分布。強降水雨量與過程降雨量聯合分布所描述的極端事件是更小的小概率事件。相同強降水雨量條件下，過程雨量越大，重現期越長;當強降水雨量增大時，同一過程雨量的重現期也延長。在同級強降水雨量出現的條件下，各地過程降雨量往往是愈往南方其條件概率愈大，而其出現的過程雨量也隨之增大。這為研究強降水極端狀況的全方位特征做出了新的試驗，也更加客觀地揭示了極端氣候事件的多方面概率特征。

強降水雨量;過程雨量;極端降水事件;二維Gumbel-Logistic分布模式

0 引言

研究表明，強降水(如暴雨)要素涉及到降水的歷時、強度、面積、深度等多方面的時空分布特征，它既有一定的持續時間，又占據一定的區域面積或范圍，更有量級和強度大小，因此強降水事件實際上是一種過程性的極端天氣氣候事件。這類極值問題僅僅運用一維極值分布模式來描述其特征，并不能滿足實際工作的需要，應用二維或多維極值分布模式描述其全方位特征則較為恰當。近年來，國際上已有不少學者利用二維極值分布模式，研究應用區域和單站強降水概率特征來描述表征兩個及兩個以上變量同時達到極值的隨機現象的概率問題。早在20世紀60年代，Gumbel(1960a，1960b，1961)、Gumbel and Mustafi(1967)在一維分布的基礎上就已提出了耿貝爾分布的二維形式，但并未引人注目。其后，由于水利水電工程技術科學的發展，許多學者紛紛研究各種多變量聯合分布用于極端降水事件或暴雨事件的概率描述，不少學者曾經提出過各種形式的聯合概率分布模型。例如，描述雨強和雨深的二維指數分布、二維正態分布及可以通過正態化變換的非正態二維分布等(Wang，1991;Bacchi，1994;Yue et al.，1999;Yue，2000，2001)。在極值分布研究中，對于取樣方法，不但發展了年極值序列(Annual Maximum Series，AMS)，而且還發展了部分歷時序列(Partial Duration Series，PDS)、超門限峰值序列(Peaks Over Threshold Series，POTS)等一系列抽樣方法(Coles，2001)。至于分布模型的參數估計方法，近幾年來也有很大發展，除經典的矩估計方法、最小二乘法估計、極大似然估計以外，還發展了概率加權矩估計、L-矩估計等更加有效而簡便的方法。近年來國內水文氣象學界除了水文學中有個別應用二維分布模式以外(馮平等，2008)，絕大多數學者在研究水文氣象學極值事件中，只局限于應用一維極值分布模式，而在大氣科學領域運用極值分布模式也都以一維模式為主(羅純，2005a，2005b;張志才等，2007;蔡敏等，2009)，僅在某些著述中提到或介紹過國外研究成果(么枕生，1984;么枕生和丁裕國，1990;丁裕國和江志紅，2009)。

本文采用二維Gumbel分布研究強降水過程的概率特征。運用二維概率分布模式的優點在于，它不但能較全面地描述一些極端天氣氣候事件的特征，而且它在一定程度上更能解釋某些復雜的極端事件產生的原因。例如，某地多年一遇的極端暴雨過程，俗稱強降水過程，若以單一要素降水指標量為研究對象，則僅表示其概率為p=的極端事件，或表示概率為的極端事件;如果用兩個變量的聯合值作為指標量，則其聯合重現期(或聯合概率)可能會更長(或概率更小)。換言之，假定事件x為10 a一遇，事件y也為10 a一遇，在一定的條件下，則兩者的聯合重現期可能會接近百年一遇。也就是說，只有在兩種變量同時都發生極端情況時，聯合極端事件才可能發生，所以它是更小的小概率事件。假定已知各個變量的概率特征，其聯合概率特征便可由此而推定。

1 二維Gumbel分布模式的估計

根據Gumbel(1960a，1960b，1961)提出的Gumbel分布二維形式

式中:F(x)和F(y)分別是x和y變量的邊際分布函數。

(1)式中，m(≥1)是描述兩個隨機變量x和y相互關系的關聯參數，可用下式估算:

式中:ρ為通常的線性相關系數。將兩個隨機變量的邊緣分布取下列通式:

式中:(ux，αx)和(uy，αy)分別為x和y的Gumbel分布的位置參數和尺度參數。由式(1)還可得到x和y的聯合累積分布函數。假定Y≤y，則x的條件累積分布函數為

同理也可得到y的條件累積分布函數。假設Y≤y和X≤x，變量x和y的條件重現期可分別由下面兩式表達:

利用5—9月逐日降水量資料估計其極值分布參數，采用部分歷時序列法(PDS)組成極值序列，并借助經典矩估計方法求得參數，且參照Yue(2001)確定經驗累積頻率的方法，可得

式中:參數k和l分別為相應變量x、y各自的序號;N為樣本總容量即序列長度。之所以考慮這一公式，是因為兩變量出現極值并非完全同步，有的年份出現暴雨極大值，但未必過程總雨量也是最大值。此外，根據前述的參數估計方法計算得到的理論累積頻率(即聯合累積概率)，就可在此基礎上，作二維分布的擬合優度科爾莫哥洛夫—斯米爾洛夫(KS)檢驗，并估計其聯合重現期。

2 描述逐日強降水概率特征的資料基礎

一次強降水過程，往往是由多次暴雨雨峰所組成的，在其間隙的雨量通常較少。因此，較為完整地描述一次強降水過程必然包含兩種指標:總雨量和雨峰雨量。本文利用逐日降水資料中的過程降水量及日最大強降水雨量來近似地描述強降水概率特征。由北往南選取齊齊哈爾、北京、武漢、重慶、南京、廣州等6個代表站5—9月期間的逐日降水過程做為試驗對象，并采用過程降水量(連續數日的總雨量)和其間的日最大強降水雨量(簡稱強降水雨量)這兩個量同時達到全年最大值作為其二維分布的基本資料。嚴格地說，應當用基本觀測資料中的原始雨量自記記錄為依據，并扣除局地雷陣雨記錄數據，但由于現有觀測資料的限制加之連續降雨過程的物理原因往往不易區分，所以本文只能利用現有降水資料選取指標近似地來描述其極值概率特征。

3 結果分析

3.1 各站累積概率和分布函數

1)邊際分布和聯合分布

對于過程雨量和強降水雨量，分別估計了理論累積頻率和經驗累積頻率，并做擬合優度檢驗，結果表明，在0.05顯著性水平上過程雨量和強降水雨量都符合一維Gumbel分布。圖1為南京站的邊際分布曲線。

根據K-S檢驗，應用有序樣本，首先計算得一維Gumbel分布函數F(x)和經驗頻率函數f(x)，二維Gumbel分布函數，然后計算二維Gumbel分布的條件分布函數以及各站各相應序列的K-S統計量，其通式(如為二維或條件分布，相應地類推)為

由于統計量Dn仍為隨機變量，且與F(x)無關，故K-S檢驗為非參數檢驗。由表1可見，各站5—9月逐日強降水過程中，過程雨量和強降水雨量各自均符合Gumbel分布。計算還表明，過程雨量和強降水雨量的聯合分布也都符合二維Gumbel分布，經K-S檢驗，它們的擬合優度在0.05顯著性水平上都符合二維Gumbel分布。圖1為南京站一維Gumbel分布曲線的理論與實測對比符合情況示例。圖2為南京、廣州、齊齊哈爾3站的聯合分布函數曲線與實測累積頻率曲線對比。可見，3個代表站的理論聯合概率分布都與實測吻合較好。

圖1 南京過程雨量(a)與強降水雨量(b)一維Gumbel分布曲線Fig.1 Gumbel distribution of(a)course precipitation and(b)heavy precipiation at Nanjing station

表1 各站5—9月逐日強降水過程的二維Gumbel分布擬合優度檢驗結果Table 1 Statistics of bivariate Gumbel distribution of daily heavy precipitation from May to September by KS test

圖2 南京(a)、廣州(b)和齊齊哈爾(c)站聯合分布函數理論曲線與實測累積頻率曲線的對比Fig.2 Comparison between theoretical probabilities and empirical probabilities by the brivate Gumbel-Logistical model at(a)Nanjing，(b)Guangzhou and(c)Qiqihar stations

為了直觀地描述二維變量的分布函數，本文給出了各站的聯合累積分布概率的曲面圖及其重現期曲面圖。圖3為南京站的聯合累積分布概率曲面及其對應的投影圖(圖中，z軸代表過程雨量和強降水雨量的聯合累積分布概率，也即是兩者同時發生的概率)。圖4為南京站的重現期曲面及其對應的投影圖(圖中，z軸代表過程雨量和強降水雨量的聯合重現期，也即是某一強降水雨量和過程雨量同時發生所需的重現期)。結果表明，聯合分布所描述的極端事件恰恰表明了兩種小概率事件同時發生的可能性，它往往是更小的小概率事件，這與前人的研究結果一致。

圖3 南京站強降水雨量與過程雨量的聯合累計概率分布a.三維曲面圖;b.投影圖Fig.3 Joint cumulative probability distribution of heavy precipitation and the corresponding course precipitation at Nanjing stationa.three-dimension curved surface;b.projection map

圖4 南京站強降水雨量與過程雨量的聯合重現期分布a.三維曲面圖;b.投影圖Fig.4 Joint return period distribution of heavy precipitation and the corresponding course precipitation at Nanjing stationa.three-dimension curved surface;b.projection map

2)條件分布(累積條件分布函數)

由上可見，不難求得不同前提條件(如不同強降水雨量)下的過程總雨量的條件分布函數及其相應重現期和分位數。以南京5—9月為例，圖5為南京強降水雨量和過程雨量條件重現期列線圖。可見，相同強降水雨量條件下，過程雨量越大，重現期越長;當強降水雨量增大時，同一過程雨量的重現期也延長。

3.2 各站聯合重現期和條件重現期特征

表2列出了齊齊哈爾、南京、廣州3個測站的過程降水在強降水雨量分別為50和100 mm條件下的非超過概率f(x/50)、f(x/100)和分位數。可見，由北往南，在同級強降水雨量出現的條件下，各地過程降雨量往往是愈往南方其條件概率愈大，而其出現的過程雨量也隨之增大，這是符合氣候實際的。例如，當出現50 mm降水時，齊齊哈爾的條件概率(超過概率)為0.43，其過程雨量為67.9 mm;南京的超過概率為0.51左右，過程雨量可達69.8 mm;但廣州卻不盡然，當出現50 mm降水時，其過程雨量的超過概率卻為0.74，過程雨量為113.1 mm。由北往南，重現期逐漸縮短。廣州每年的強降水雨量最大值幾乎都超過50 mm，其重現期相比齊齊哈爾、南京而言更短。在強降水雨量最大值超過100 mm時，齊齊哈爾的超過概率僅為0.01，也就是說，其重現期是100 a，這種情況就是百年一遇;相比而言，南京的超過概率為0.03，其重現期為40 a;但是，到了雨水充沛的廣州，其超過概率竟達0.51，且其重現期為2 a。比較而言，條件概率之間的差異不如過程雨量之間的差異大，強降水雨量為50 mm時的超過概率遠比大于100 mm時的超過概率，在條件重現期上體現得更加明顯。

圖5 南京暴雨雨量(a)和過程總雨量(b)條件重現期列線Fig.5 Conditional return periods of(a)heavy precipitation and(b)the corresponding course precipitation at Nanjing station

4 結論與討論

采用6個代表性測站的1957—2007年5—9月逐日降水數據進行二維Gumbel分布模式研究。試驗結果表明，二維Gumbel分布模型用于同時描述各站強降水過程的兩個主要特征(強降水雨量及過程總雨量)是較適當的。之所以考慮強降水過程的兩方面特征，是由于強降水過程往往既有降水強度又有其持續性，嚴格地說，應當用真實的持續時間長度(小時或分鐘)，但受資料本身的局限，目前只能用強降水雨量及過程總雨量來代表，當然，也可以用更有物理意義的氣象變量來代替，例如用過程雨日平均雨量來代替。但由于時間關系未能作相應的試驗。

表2 三個代表測站強降水、過程雨量及其條件概率的比較Table 2 Comparisons of heavy precipitation，the corresponding course precipitation and its conditional probabilities at three representative stations

蔡敏，丁裕國，江志紅.2009.我國東部極端降水時空分布及其概率特征［J］.高原氣象，26(2):309-316.

丁裕國，江志紅.2009.極端氣候研究方法導論［M］.北京:氣象出版社:79-93.

馮平，王仲玨，田為民.2008.基于二維Gumbe1分布的長距離輸水系統水文風險評估［J］.災害學，23(1):23-26.

羅純.2005a.Gumbe1分布參數估計及在水位資料分析中應用［J］.應用概率統計，21(2):169-175.

羅純.2005b.再論Gumbe1分布參數估計及在水位資料分析中應用［J］.上海理工大學學報，27(3):278-282.

么枕生.1984.氣候統計學基礎［M］.北京:氣象出版社:394-401.

么枕生，丁裕國.1990.氣候統計［M］.北京:氣象出版社:698-721.

張志才，陳喜，王文，等.2007.貴州降雨變化趨勢與極值特征分析［J］.地球與環境，35(4):351-355.

Bacchi B，Becciu G，Kottegoda N T.1994.Bivariate exponential model applied to intensities and durations of extreme rainfall［J］.Journal of Hydrology，155:225-236.

Coles S.2001.An introduction to statistical modeling of extreme values［M］.New York:Springer Verlag:36-78.

Gumbel E J.1960a.Distributions del valeurs extremes en plusieurs dimensions［J］.Paris:Publications de L`Institute de Statistique，9:171-173.

Gumbel E J.1960b.Multivariate extremal distributions［J］.Bulletin of the International Statistical Institute，39(2):471-475.

Gumbel E J.1961.Bivariate logistic distributions［J］.J Am Stat Assoc，56:335-349.

Gumbel E J，Mustafi C K.1967.Some analytical properties of bivariate extreme distributions［J］.J Am Stat Assoc，62:569-588.

Wang Q J.1991.The POT model described by the generalized pareto distribution with poisson arrival rate［J］.Journal of Hydrology，129:263-280.

Yue S.2000.Joint probability distribution of annual maximum storm peaks and amounts as represented by daily rainfalls［J］.Hydroscience Journal，45(2):315-326.

Yue S.2001.The Gumbel logistic model for representing a multivariate storm event［J］.Advances in Water Resources，24:179-185.

Yue S，Ouarda T B M J，Bobee B，et al.1999.The Gumbel mixed model for flood frequency analysis［J］.Journal of Hydrology，226(1/2):88-100.

Probability characteristics of heavy precipitation in China based on bivariate Gumbel-Logistic model

YU Jin-hua1，2，LI Jia-yun3，DING Yu-guo1，2

(1.Key Laboratory of Meteorological Disaster of Ministry of Education，NUIST，Nanjing 210044，China;2.School of Atmospheric Sciences，NUIST，Nanjing 210044，China;3.Bozhou Meteorological Bereau，Bozhou 236800，China)

Based on the daily precipitation data of six representative stations in China from May to September，the joint probability characteristics of the heavy precipitation and the corresponding course precipitation are investigated by the bivariate Gumbel-Logistic model.Results show that the bivariate Gumbel-Logistic model is suitable for the joint distribution of the heavy precipitation and the corresponding course precipitation at the selected stations.The probability of the joint distribution is smaller than the probability of either.On the certain heavy precipitation condition，the more the course precipitation is，the longer the return period is.The return period of the corresponding course precipitation can be prolonged by the increased amount of heavy precipitation.The probability of course precipitation in south is larger than that in north and the same as the amount of course precipitation under the same heavy precipitation conditioan.The study is a new attempt of research on extreme precipitation in all domains and reveals the multi-sided probability characteristics of extreme climate events.

heavy precipitation;course precipitation;extreme precipitation event;bivariate Gumbel-Logistic model

P426

A

1674-7097(2012)06-0652-06

2011-02-20;改回日期:2012-08-28

全球變化研究國家重大科學計劃項目(2012CB955903);國家科技支撐項目(2007BAC29B0602);江蘇高校優勢學科建設工程資助項目(PAPD)

余錦華(1964—)，女，安徽黟縣人，博士后，教授，博士生導師，研究方向為熱帶氣旋、氣候變化等，jhyu@nuist.edu.cn.

余錦華，李佳耘，丁裕國.2012.利用二維極值分布模擬我國幾個代表站的強降水概率特征［J］.大氣科學學報，35(6):652-657.

Yu Jin-hua，Li Jia-yun，Ding Yu-guo，et al.2012.Probability characteristics of heavy precipitation in China based on bivariate Gumbel-Logistic model［J］.Trans Atmos Sci，35(6):652-657.(in Chinese)

(責任編輯:倪東鴻)