混沌隨機系統的響應預測

沈焰焰

(福建船政交通職業學院,福建福州 350007)

其中,平均首爾穿越率定義為,

0 引 言

考慮到非線性動力學系統可能具有的復雜確定性響應以及隨機響應,Y im等[1]和Naess等[2,5-7]建議利用隨機響應的概率密度來分析混沌響應.事實上,在動力結構的工程分析中一個基本的響應預測就是估計相關響應變量的極值,對此,研究者通常是去估計它在一個特定時間范圍內,超過某一個水平的可能性.基于此,本文主要利用路徑積分法[2,5-7]來研究2種非線性動力系統的混沌響應,分別計算了高斯隨機激勵的混沌系統和l vy噪聲激勵的混沌系統的平均概率密度,討論了高斯噪聲和勒維噪聲的首爾穿越率.

1 路徑積分法原理

在文獻[7]中,Naess介紹了Wehner等研究了借助路徑積分法來尋求“非線性”FPK方程的形式解的思路,并首先提出求解較高維的FPK方程的路徑積分數值方法.這里“非線性”指的是FPK方程漂移向量和擴散向量對系統狀態變量的非線性依賴關系.研究人員之所以對形式解感興趣,是因為路徑積分能給出繞確定性路徑的近似解的適當初值點.

路徑積分的基本思想是,在空間和時間上分別離散化,以路徑和代替積分,即通過連接短時的轉移概率密度形成全局的轉移概率密度,進而得到狀態向量的聯合概率密度函數.路徑積分法最優越的特性在于可得到非負的、較準確的尾部概率密度.此外,路徑積分法還可以計算系統的非平穩瞬態概率密度以及首次穿越問題等.

定義路徑積分的最簡便方法是把連續過程離散化在空間和時間限定的充分小的網格點上,然而,一個連續過程的離散化并不唯一.這樣,對于不同的離散規則,就產生了許多不同的路徑積分方法.為建立協變路徑積分,就需要選擇特定的離散化規則,這使得很多研究者致力于在不給出特定的離散化規則的情況下,提出各種推導佃變路徑積分的方法.

2 兩種混沌隨機系統的平均概率密度

平均概率密度能很好地描述混沌吸引子.針對時變系統,特別是漂移或擴散系數中含有周期函數的系統,文獻[3]引入時間上的平均概率密度定義:

2.1 高斯噪聲的混沌運動

本研究在前人的工作基礎上分析了復雜化的Van der Pol system混沌運動[3]:

其中,γ、ζ都是正的,wt是標準的高斯白噪聲,其強度為ζ,f0、α分別表示周期項系數的強度和頻率.

當ζ=0時,式(2)就變成了確定性系統:

考慮式(2)在參數γ=2,β=1,ω20=1,f0= 0.3,α=1,ζ=0.005時,其時間平均的聯合概率密度如圖1所示.

圖1 特定參數下式(2)的時間平均的聯合概率密度

由圖1知,在隨機激勵較小時,隨機系統的概率密度的形狀在一定程度上可以表征相應的確定性系統的混沌吸引子結構,但當隨機激勵較大時,會使得確定性系統受到破壞.

2.2 l vy噪聲的混沌運動

鑒于l vy過程越來越廣泛地被應用在各相關領域,本研究嘗試把高斯白噪聲改成l vy噪聲,l vy過程為α-stablel vy過程[4].考慮如下的動力系統:

其中,γ、ζ、β都是正的,Lt是α-stablel vy噪聲,其強度為ζ,f0、α分別表示周期系數的強度和頻率.

當ζ=0時,式(4)為確定性系統:

用路徑積分方法求解式(4)在參數為,γ=0.3, β=1,δ=1,f0=0.6,α=1.2,ζ=0.0005時,其時間平均的聯合概率密度分布如圖2所示.

圖2 特定參數下式(4)的時間平均的聯合概率密度

3 混沌隨機系統的響應預測

在動力結構的工程分析中一個基本的響應預測就是估計相關響應變量的極值,對此,研究者通常是去估計它在一個特定時間范圍內,超過某一個水平的可能性.假設在有噪聲激勵的情況下,Yt=(Xt, X·t)的概率密度為,

假設通過使用Rice公式可以計算水平為ζ的首爾穿越率.Rice公式如下,

實際估計 Xt的極值分布是依賴于高水平的首爾穿越事件是獨立的這個前提假設.在給定一定的時間T內,就可以得到關于最大值X∧(T)=sup(Xt; 0≤t≤T)的分布函數,

因為轉移概率密度函數是周期的,故當t′充分大,且 t>t′時,可以得到,

其中,ω為周期項系數的頻率.設 T=mtp,則可得,

由平均概率密度可以導出,

這樣,極值分布就可以改寫成,

其中,平均首爾穿越率定義為,

在這里,對于大的響應預測,平均概率密度是很重要的.式(2)、式(4)的首爾穿越率曲線如圖3、圖4所示.

圖3 式(2)的首爾穿越率曲線

圖4 式(4)的首爾穿越率曲線

4 結 論

本研究著重討論了受高斯白噪聲激勵的混沌運動(2)在參數為γ=2,β=1,ω20=1,f0=0.3,α= 1,ζ=0.005下的平均概率密度、響應預測及首爾穿越率.本研究的另外一個重點就是嘗試把高斯白噪聲改成 l vy噪聲,討論了受 l vy噪聲激勵的混沌運動(4)在參數γ=0.3,β=1,δ=1,f0=0.6,α= 1.2,ζ=0.0005下的平均概率密度、響應預測及首爾穿越率.此外,還可以用概率密度角度解釋混沌吸引子的存在性,即借助隨機系統的概率密度在一定程度上刻畫確定性系統的混沌吸引子.同時,通過實驗發現,l vy噪聲與高斯白噪聲相比,其噪聲強度要求相對更小,否則會使得確定系統遭到嚴重的破壞.

[1]Y im S C S,Lin H.Unified Analysis of Complex Nonlinear Motion Via Densities[J].Nonlinear Dynamics,2001,24(1):103-127.

[2]Naess A.Chaos and Nonlinear Stochastic Dynamics[J].Probalistic Engineering Mechanics,2000,15(1):37-47.

[3]Moon F C.Chaotic and Fractal Dynamics:An Intorduction for Applied Scientists and Engineers[M].New Y ork:Wilery-Interscience,1992.

[4]Samorodnitsky G,Taqqu M S.Stable Non-Gausian Random Processes[M].New Y ork:Chapman and Hall,1994.

[5]Naess A,JohnsenJ M.Response Statistics of Nonlinear Compliant Offshore Stuctures by the Path Integral Solution Method[J]. Probabilistic Engineering Mechanics,1993,8(2):91-106.

[6]Naess A,Moe V.Stationary and Non-stationary Radom Vibraton of Oscillators with Bilinear Hysteresis[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,1996,31(5):553-562.

[7]Naess A,Moe V.Efficinet Path Integration Mehtod for Nonlinear Dynamic Systems[J].Probabilistic Engineering Mechanics, 2000,15(2):221-231.