非線性剛度軸支撐碰摩轉子系統的混沌控制

吳敬東， 李 濤， 金 瑩， 王 娜

(沈陽化工大學機械工程學院，遼寧沈陽110142)

轉子動力學問題絕大多數都是非線性的，在一定的參數范圍內，均有混沌運動發生.研究故障轉子的混沌運動及其控制，對于設備的故障診斷、保證生產的安全和提高生產效率等都具有重要的意義.自從20世紀90年代，Ott、Grebogi和Yorke［1］提出了OGY混沌控制方法以來，混沌的控制方法［2－5］在許多科學領域內得到了應用和發展.但對于轉子碰摩中的混沌控制研究還很少，張進思、路啟韶等［6］采用變量延遲反饋控制法(DVFC法)，將轉子碰摩運動鎮定到擦邊周期1軌道上，從而對碰摩轉子映射系統進行了有效的控制.梁海花、鄭偉峰［7］采用非線性反饋混沌控制方法，將碰摩轉子映射系統的混沌運動控制到有規則的擦邊周期1軌道和單點碰摩周期2軌道.于洪吉、呂和祥［8－9］小參數瞬態干擾反饋最優控制算法，有效地控制了動態油膜力作用下的柔性轉子系統中出現的混沌運動.本文采用文獻［8－9］的最優參數控制方法，對非線性剛度軸支撐的碰摩轉子系統的可調參數施以很小的瞬態干擾反饋，借助一個小的參數干擾反饋序列，將轉子系統的混沌運動控制在嵌入其中的某一不穩定的周期軌道上，從而使非線性剛度軸支撐的碰摩轉子系統的不穩定運動得到有效控制.

1 最優參數控制基本思想

一個離散時間動力系統可描述如下:

式中:Z∈Rn是一個n維變量，u∈Rm是一個m維系統可調參數.對于連續時間變量動力學系統，可由Poincare映射轉化為離散時間動力系統.假定當u=u0時，系統處于混沌狀態，對系統啟動一個瞬態小參數干擾，以便將系統的混沌運動穩定在某一個不穩周期軌Z*=F(Z*，u0)上.依據混沌的各態歷經性，混沌軌在某一時刻可接近不穩定周期軌，落入到該軌的任意小的鄰域，引入參數干擾△uk=uk－u0，控制混沌軌朝向該不穩定周期軌.利用映射(1)的一個線性逼近

式中D—n×n雅可比矩陣.

G—n×m梯度矩陣.

uk—對u0作一個適當小改變的控制參數，參數uk的調整被限制在如下范圍內:

式中Δumax—參數的最大調整量.為了控制混沌軌在周期軌Z*上，定義用于測量的距離:

那么所采用的最優控制策略如下:

在控制過程中，如果出現|Δuk|＞Δumax的情況，動力系統的輸出Zk將會以混沌軌的形式在Z*點處漫游，由混沌軌的各態歷經性，在有限的時間內，該混沌軌會返回Z*任意小的鄰域，此時再對混沌軌實施小參數干擾控制，將混沌軌導向并穩定在Z*上.

2 非線性剛度碰摩轉子系統混沌運動的最優控制

2.1 非線性剛度軸支撐碰摩轉子系統的混沌運動分析

非線性剛度軸支撐的Jeffcott轉子系統的轉子與碰摩力模型如圖1所示.

圖1 Jeffcott轉子(a)與碰摩力模型(b)Fig.1 Jeffcott rotor(a)and rubbing force model(b)

具有非線性剛度和線性阻尼的轉子系統局部碰摩運動微分方程［10］為:

式中:m為轉子的質量，c為軸的阻尼系數，u為質量偏心量，ω為轉子角速度，F1x、F1y為碰摩力.

引入無量綱參數:

進行無量綱變換，則得轉子系統的無量綱局部碰摩運動微分方程，省略上標“－”，方程為:

現利用定步長四階Runge-Kutta法，對式(9)進行數值分析，計算中每一周期積分步長為1/512，共計算2 200個周期，舍棄前2 000個周期，取后200個周期，誤差小于10－5.轉子系統參數為:ω=1.3，α=0.5，β=3.0，δ=0.001 6，f=0.12.在上述參數下，研究轉子參數變化對系統動力響應的影響.

圖2為碰摩轉子穩態響應位移隨轉子偏心量u變化的分岔圖和最大Lyapunov指數圖.圖3為碰摩轉子穩態響應位移隨轉子阻尼ξ變化的最大Lyapunov指數圖.

圖2 轉子位移隨偏心u的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.2 The rotor displacement of the bifurcation with eccentric u diagram and the biggest Lyapunov index figure

圖3 關于阻尼ξ的最大Lyapunov指數圖Fig.3 The biggest ξ about damping Lyapunov index figure

2.2 混沌運動控制

利用Poincare映射，對上述系統的軌跡進行頻閃采樣［8］，找出滿足式

的閉合回路Zj，1、Zj，2.定義

當u=0.126、ξ=0.15時的Poincare映射圖和相跡圖如圖4、圖5所示，可知其處于混沌狀態.另外可計算該點的最大Lyapunov指數為0.022 88，是正數，也表明系統呈現混沌狀態.

圖4 轉子系統混沌的Poincare截面圖Fig.4 Rotor system of chaos Poincare section graph

圖5 轉子系統混沌的相軌跡圖Fig.5 Rotor system chaos phase track graph

下面對3種情況分別進行探討:①對u和ξ同時進行小參數控制;②只對ξ進行小參數控制;③只對u進行小參數控制.

2.2.1 對u和ξ同時進行小參數控制

對上述混沌系統實施瞬態參數Δu和Δξ干擾控制.采樣混沌運動的時間歷程，當一個采樣點靠近ˉZ*時，即本文在i=22步時，一個采樣點落入ˉZ*的鄰域，此時開動最優瞬態小參數干擾，經過一段時間最終穩定下來.圖6顯示了系統控制后的Poincare映射點，圖7顯示了系統控制后的相軌跡圖.可見，此混沌軌經過控制最終穩定在十倍周期軌道上.

圖6 控制后的Poincare截面圖Fig.6 After control Poincare graph

圖7 控制后的相軌跡圖Fig.7 After control phase track graph

圖8(a)、(b)分別是小參數干擾反饋△u和△ξ與控制步i的關系圖.可看到△u在0.13和－0.23之間變化，最終穩定在－0.05上;△ξ在0.03與－0.05之間變化，最終穩定在0.011 2上.如果控制參數取得過小，將不能穩定到周期軌上來.

圖8 控制過程中參數調整與控制步i的關系Fig.8 The relationship between the parameterand control steep i

2.2.2 只對ξ進行小參數控制

對上述混沌系統實施瞬態參數Δξ干擾控制，也可將混沌運動最終穩定下來.圖9顯示了系統控制后的Poincare映射點，圖10顯示了系統控制的相軌跡圖.可見，此混沌軌經過控制最終穩定在多倍周期軌道上.其控制效果不如上述同時對u和ξ進行控制的效果.圖11是小參數干擾反饋△ξ與控制步i的關系圖.可見，△ξ在0.15與－0.20之間變化，最終穩定在－0.051 3上.若△ξ取得過小將不能穩定到周期軌上來.

圖9 控制后的Poincare截面圖Fig.9 After control Poincare graph

圖10 控制后的相軌跡圖Fig.10 After control phase track graph

圖11 控制過程中參數調整與控制步i的關系Fig.11 The relationship between the parameterand control steep i

2.2.3 只對u進行小參數調整

對上述混沌系統實施瞬態參數干擾控制Δu，也可將混沌最終穩定下來.控制參數u的調整量Δu取值范圍不同，其控制效果也不同.

如圖12(a)、(b)、(c)，圖13(a)、(b)、(c)，圖14(a)、(b)、(c)所示為偏心調整量Δu的最大值分別為0.05、0.01、0.005時，系統控制后的Poincare映射圖、相軌跡圖和調整量Δu隨控制步i變化的關系圖.

圖12 偏心調整量Δu的最大值為0.05時的控制圖Fig.12 The maximum eccentric Δu is 0.05 graph

圖13 偏心調整量Δu的最大值為0.01的控制圖Fig.13 The maximum eccentric Δu is 0.01 graph

圖14 偏心調整量Δu的最大值為0.005的控制圖Fig.14 The maximum eccentric Δu is 0.005 graph

經過計算可知，Δumax大于0.003時，能夠將混沌運動控制在不穩定的周期軌上.當Δumax小于0.003時不能將混沌控制住.

3 結論

利用控制混沌力學特性的小參數瞬態干擾反饋最優控制方法，對非線性剛度軸支撐碰摩轉子系統外部可調參數偏心量u和阻尼ξ同時制作一個小的干擾反饋序列進行控制，及分別只對偏心量u或阻尼ξ作一個小的干擾反饋序列控制，有效地將系統的混沌運動逐步控制到不穩定周期軌上，并使之穩定下來.結果表明:對兩參數分別控制不如同時對兩個參數控制的效果好，同時也說明該控制算法對非線性剛度軸支撐碰摩轉子系統混沌控制是有效的.

［1］ Ott E，Grebogi C，Yorke J A.Controlling Chaos［J］.Phys.Rev.Lett，1990，64(11):1196－1199.

［2］ Hunt E R.Stablizing High-period Orbits in a Chaotic System:the Diode Resonator［J］.Phys Rev Lett，1991，67(15):1953－1955.

［3］ Huberman B A.Dynamics of Adaptive Systems［J］.IEEE Trans Circuit Systm，1990，37(4):547－550.

［4］ Pyragas K.Continuous Control of Chaos by Selfcontrolling Feedback［J］.Phys Rev A，1992，170 (6):421－428.

［5］ Jackson E A，Hbler A.Periodic Entrainment of Chaotic Logistic Map Dynamics［J］.Physica D，1990，44(3):404－407.

［6］ 張進思，路啟韶，王士敏.碰摩轉子映射系統的延遲反饋混沌控制［J］.固體力學學報，2001，22(1): 89－94.

［7］ 梁海花，鄭偉峰.碰摩轉子映射系統的非線性反饋混沌控制［J］.動力學與控制學報，2007，5(1):30－33.

［8］ 于洪潔.多自由度轉子系統非線性動力學數值分析及混沌控制［D］.大連:大連理工大學，2002.

［9］ 于洪潔，呂和祥.壓縮映射-參數微擾控制混沌［J］.振動工程學報，2003，16(2):212－218.

［10］羅躍綱.轉子系統故障的若干非線性動力學問題及智能診斷研究［D］.沈陽:東北大學，2002.