鼓型振動膜系統(tǒng)的振動方程解及其振動模式特性

成泰民， 葛崇員， 孫樹生

(沈陽化工大學數(shù)理系，遼寧沈陽110142)

Elias F等利用均勻的肥皂薄膜演示了聲波的傳播［1］.他們利用圓形管子清楚地演示了管子中的聲駐波，圓形肥皂薄膜的振動模式的演示實驗中有1張照片是2個半圓形的圖［1］.這張圖與一階第一類貝塞爾函數(shù)的等值線圖結果非常相近，這引起了筆者的注意.膜結構是一種新型的張力結構形式.膜結構的特點在于剛度小、重量輕、受力作用后變形大.由于膜結構的上述特點，膜結構對微小振動作用很敏感，所以研究膜結構的動力特性尤為重要［2－3］.呼格吉樂等研究了圓形和特殊三角形平板振動模式，并利用Mathematica 7.0模擬了易拉罐底振動的全息圖［4］，但沒有研究振子位置對圓形薄膜振動的影響.羅吉等利用分離變量法對圓環(huán)膜橫向自由振動進行了推導并給出了系統(tǒng)的頻率及節(jié)線［5］.上述工作理論上都涉及到貝塞爾函數(shù)，貝塞爾函數(shù)屬于特殊函數(shù)［6－10］.對于圓形、圓環(huán)型薄膜的振動的偏微分方程［6－10］的求解中常采用柱坐標或者極坐標，并且一般采用分離變量法.為此，本文對半徑為r0的鼓的圓形振動面上以角頻率ω振動的諧振子處于(r'，θ')位置時，系統(tǒng)的振動方程進行研究.這對理解鼓型振動膜系統(tǒng)的振動方程的解及其振動模式特性具有關鍵意義.

1 鼓型振動膜系統(tǒng)的振動方程及其解的表達式［5，11］

半徑為r0的鼓的圓形振動面上以角頻率ω振動的諧振子處于(r'，θ')位置時，系統(tǒng)的振動方程可寫成

其中υ為波的傳播速度.利用分離變量法把ψ(r，θ，t)寫成

將(2)式代入到(1)式可得

其中k=ω/υ.

利用滿足圓形振動面上的齊次微分方程▽2φ(r，θ)+k2φ(r，θ)=0及其邊界條件(在r=r0處φ(r，θ)=0)的解表示(3)式振動方程的級數(shù)展開的解為

對于(4)式的φ(r，θ)級數(shù)展開為

將(5)式代入到(4)式，即可確定其系數(shù)

將(6)式代入到(5)式可得

(7)式是利用不同m的貝塞爾(Bessel)函數(shù)的級數(shù)形式的解.令

其中f(r)是區(qū)間［0，r0］的連續(xù)函數(shù)，可以展開成Jm(kmnr)的Fourier-Bessel級數(shù)［1］:

因為Jm(kmnr)=0的根為kmnr0(表示m階貝塞爾函數(shù)的第n個零點(不包括坐標原點))，從而可得

將(10)式、(9)式代入到(8)式，并與(7)式相比較可得

其中連續(xù)函數(shù)f(r)是關于k的函數(shù)，并且滿足邊界條件(在r=r0處f(r0)=0).因此可寫成

其中:r＜表示r＜r0的位置，r＞表示r＞r0的位置，r0是振子位置.而且Hm(kr＞)及Hm(kr0)是Hankel函數(shù)，其表示分別為

(13)式中Nm(kr＞)和Nm(kr0)是Neumann函數(shù).當r＜r'時，(12)式可寫成

當r＞r'時，(12)式可寫成

將(16)式代入到(8)式可得滿足方程(3)式與邊界條件的表達式

(17)式表示圓形振動面上產(chǎn)生的本征函數(shù)φ(r，θ)隨著振子的位置(r'，θ')不同發(fā)生變化規(guī)律.

2 討論

振子的波數(shù)與鼓的固有波數(shù)一致時，產(chǎn)生共振.因此當k=kmn時φ(r，θ)的振幅最大，將(17)式改寫成

時當且僅當m'=m時，φ(r，θ)的振幅最大，其余的項相對于這個項是非常小的項，可以忽略不計.因此當k=kmn時，(17)式可表示為

在(18)式中與r'相關的函數(shù)

隨著振子位置r'的不同，振動面的振幅依賴于貝塞爾函數(shù)，并且當k=kmn時振幅變得無限大.

對(18)式中的eim(θ－θ')只取實部cos［m(θθ')］，并且只考慮振動面振幅相對變化規(guī)律的部分，那么可得

當θ=θ'時，振動面的振幅最大.因此，振動模式也隨著振子方位角θ'發(fā)生旋轉.表示f(r)的相對變化規(guī)律的部分為

根據(jù)(2)式、(18)式、(19)式，鼓型振蕩模的振動模式的變化可表示為

其中:φ0為振動模式的初位相，ωmn為對應kmn的角頻率.當(21)式中若取 θ'=0，且不考慮Jm(kmnr')部分，那么其變化規(guī)律與文獻［4］所述一致.即(22)式更全面地考慮了敲擊鼓的諧振子位置對鼓的振動模式的影響.

3 實驗及理論模擬

實驗裝置很簡單，如圖1所示，需半徑為0.3 m的圓形鼓1個、1臺信號發(fā)生器、與傳感器相連的可移動振子1個、1臺數(shù)碼相機、一些染黑色的干燥沙子.把沙子平鋪在鼓面上，并由信號發(fā)生器調節(jié)振子的頻率，鼓面上的沙子在振子的周期性敲擊下出現(xiàn)其振蕩模式，振幅最小的區(qū)域(即節(jié)線區(qū)域)沙子將堆積成圖.

圖1 圓形鼓振動模式實驗裝置Fig.1 The experimental device of a drum vibration

3.1 鼓型振蕩模振動模式的變化規(guī)律

利用(19)式、(20)式，并且假設鼓的半徑為r0=0.3 m時，k11r0=3.831 706 0，k21r0=5.135 622 3，極坐標與直角坐標的關系x=rcosθ;y= rsinθ，根據(jù)(19)式可得直角坐標下的振動模式，并利用Mathematica 7.0模擬［10，12］，結果如圖2、圖3所示.

圖2 當(m，n)=(1，1)時鼓型振蕩膜振動模式的變化規(guī)律Fig.2 The variation of vibration mode of drum vibration membrane system at(m，n)=(1，1)

圖3 當(m，n)=(2，1)時鼓型振蕩膜振動模式的變化規(guī)律Fig.3 The variation of vibration mode of drum vibration membrane system at(m，n)=(2，1)

從圖2、圖3的實驗結果與理論模擬可知，振子所處位置的方位角θ'變化引起振動模式圖樣繞圓心發(fā)生旋轉.這是因為使鼓面產(chǎn)生共振的最大振幅的位置在圓心與振子的連線上.從系統(tǒng)的對稱性角度進行分析可知，由于圓形系統(tǒng)具有旋轉對稱性，其上任意方向均平權，因此當加入一個特殊點(振子所在位置)時，無論該點的方位如何，對應的系統(tǒng)必然是等價的.因此，隨振子所處位置的方位θ'角變化也改變了鼓模振動的節(jié)線發(fā)生變化(振幅為零的點構成的線，實驗圖中的黑色部位).并且圖2的理論模擬與實驗結果與文獻［1］的實驗結果較相似.

3.2 振子位置對鼓型振動膜系統(tǒng)的影響

根據(jù)(20)式，進行數(shù)值計算可得不同的振子位置r'下的(m，n)=(0，1)振動模式、(m，n) =(1，1)振動模式、(m，n)=(2，1)振動模式的相對振幅變化規(guī)律，結果如圖4～圖6所示.

圖4 不同的振子位置r'=rp下，(m，n)=(0，1)振動模式相對振幅g01(r)的變化規(guī)律Fig.4 The relative amplitude g01(r)variation of vibration mode at differen position r'=rpwhen(m，n)=(0，1)

圖5 不同的振子位置r'=rp下，(m，n)=(1，1)振動模式相對振幅g11(r)的變化規(guī)律Fig.5 The relative amplitude g11(r)variation of vibration mode at different position r'=rpwhen(m，n)=(1，1)

圖6 不同的振子位置r'=rp下，(m，n)=(2，1)振動模式相對振幅g21(r)的變化規(guī)律Fig.6 The relative amplitude g21(r)variation of vibration mode at different position r'=rpwhen(m，n)=(2，1)

由圖4、圖5、圖6可知，振子離圓心的徑向半徑r'對鼓模振動的振動模式的相對振幅變化影響很大.例如對于(m，n)=(0，1)振動模式其相對振幅的變化規(guī)律為:隨r'從零開始增大，振動模式的相對振幅逐漸減小.但是對于(m，n)=(1，1)振動模式、(m，n)=(2，1)振動模式而言其相對振幅的變化規(guī)律為:首先隨振子位置的徑向半徑r'從零開始增大，振動模式的相對振幅也從零開始增大;在r'達到某一值時，振動模式的相對振幅取最大值;而后又隨著r'的增大，振動模式的相對振幅逐漸減小.在鼓的邊緣相對振幅都為零.

4 波數(shù)相近的不同振動模式的雜化

根據(jù)(17)～(21)式可知，當ωmn=ωm'n'(其中ωmn=υ/kmn，ωm'n'=υ/km'n')且與諧振子頻率ω相近時，Ωmn振動模式與Ωm'n'振動模式出現(xiàn)雜化.例如，Ω51振動模式與Ω03振動模式之間的雜化.Ω51振動模式而言5階貝塞爾函數(shù)的第一個零點為k51r0= 8.771 483 8;Ω03振動模式而言0階貝塞爾函數(shù)的第3個零點為k03r0=8.653 727 9.因為k51r0與k03r0相近，所以Ω51振動模式與Ω03振動模式出現(xiàn)雜化.利用Mathematica 7.0模擬如圖7所示.

圖7 振子位置在(r'=0.2 m，θ'=0)時Ω51振動模式與Ω03振動模式的雜化模擬Fig.7 The simulation of Ω51and Ω03vibration mode hybridization at vibration position(r'=0.2 m，θ'=0)

圖7所示結果與文獻［4］的實驗結果非常相似.與文獻［4］系數(shù)不同在于Ω51與Ω03含有與振子位置(r'，θ')相關的因子是主要原因.

5 結論

(1)鼓型振動膜系統(tǒng)的振動方程的解由(2)式和(17)式可得，其振動方程的解是各階貝塞爾函數(shù)相關的線性組合的級數(shù)解.

(2)振子所處位置的方位角θ'變化引起振動模式圖樣繞圓心發(fā)生旋轉.這是因為使鼓面產(chǎn)生共振的最大振幅的位置在圓心與振子的連線上.因此，隨振子所處位置的方位角θ'變化也改變了鼓模振動的節(jié)線發(fā)生變化.

(3)敲擊鼓的振子離圓心的徑向半徑r'對鼓型振動膜振動模式的相對振幅變化影響很大.

(4)不同振動模式之間雜化現(xiàn)象出現(xiàn)于不同振動模式之間的角頻率相近且與敲擊鼓的振子頻率相近時產(chǎn)生.

［1］ Elias F，Hutzler S，F(xiàn)erreira M S.Visualization of Sound Waves Using Regularly Spaced Soap Films［J］.Eur. J.Phys.，2007，28:755－765.

［2］ 林文靜，陳樹輝，李森.圓形薄膜自由振動的理論解［J］.振動與沖擊，2009，28(5):84－87.

［3］ 姚文娟，李武，黃新生，等.耳膜振動方程的建立與求解［J］.振動與沖擊，2008，27(3):63－67.

［4］ 呼格吉樂，邱為鋼.振動模式的可視化［J］.大學物理，2010，29(6):40－42.

［5］ 羅吉，羅亮生.圓環(huán)膜自由振動的數(shù)學模型及其若干聲學特性［J］.數(shù)學雜志，2010，30(1):168－172.

［6］ 奚定平.貝塞爾函數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，1998:29－143，181－195.

［7］ 梁昆淼.數(shù)學物理方法［M］.北京:高等教育出版社，1998:328－346.

［8］ 彭桓武，徐錫申.數(shù)理物理基礎［M］.北京:北京大學出版社，2001:367－375.

［9］ 王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論［M］.北京:北京大學出版社，2000:337－447.

［10］吳崇試.數(shù)學物理方法［M］.北京:北京大學出版社，2003:76－80，146－158，252－274.

［11］朗道，栗弗席茲.理論物理教程第七卷:彈性理論［M］.北京:高等教育出版社，2009:117－119.

［12］張雋，沈守楓，潘祖梁.數(shù)學物理方程與Mathematica軟件應用［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2008: 59－76，159－203.