基于金屬材料統一本構及損傷理論的模型研究

吳敬東， 李 濤， 金 瑩， 馬運惠

(沈陽化工大學機械工程學院，遼寧沈陽110142)

近幾十年來，隨著科學技術的迅猛發展，特別是航空、航天、核電等高尖端科技方面的突飛猛進，要求精準高速地模擬部件的力學特性，這就需要建立更加完善的材料統一本構模型，從而更準確地模擬材料受載狀態下應力應變關系.

在經典力學基礎上，隨著理論和實驗以及高尖端科學的發展，人們開始嘗試建立新的金屬材料本構模型，這類模型在模擬一維、二維、三維以及循環載荷加卸載作用下的塑性變形的同時，還能夠模擬與時間相關的蠕變變形，這就是所謂的粘塑性統一本構模型.粘塑性統一本構理論是從上世紀60年代開始發展起來的新型本構理論，粘塑性統一本構模型有如下幾種:Miller［1－2］模型、Hart［3］模型、Walker模型等.在研究材料的本構模型中，其理論體系由3類方程組成:一是本構方程;二是非彈性應變率方程;三是運動硬化和等向硬化內變量演化方程.粘塑性統一本構模型利用一套耦合的內變量演化方程來描述材料的應力-應變相互間的影響，不需要將彈性變形、非彈性變形和蠕變變形單獨計算，不需要建立不同的本構模型，也不用判別加載和卸載，在整個過程中只需使用一個模型，減小了工作量，提高了工作效率.

在建立材料統一本構模型過程中，為更準確地描述材料受載情況下的內部結構變化，許多研究者引入損傷變量的概念.在損傷模型的研究中，以Voyiadjis和Deliktas［4］的貢獻最為突出，他們以上述理論為基礎構建了材料的耦合各向異性損傷非彈性模型，Ragueneau和Guatuingt［5］研究了混凝土的損傷模型.國內學者們對材料的本構模型研究也取得了很大的成就，主要有:董毓利、沈新普、張盛東［6］等.

不可逆熱力學以內變量變化為基礎來表征材料內部結構的變化特征，為材料本構模型的構建提供了理論基礎和方法.文中以不可逆熱力學為基礎，以運動硬化和等向硬化為內變量，構造了Helmholtz自由能函數和勢函數，推導了流動方程和內變量演化方程，引入非彈性乘子，以及損傷變量，構建了金屬材料含損傷的粘塑性統一本構模型.

1 模型的構建

粘塑性統一本構模型的一般通用框架［7－8］可以寫為:

式中Zij為拉應力，Ωij為背應力.在構建粘塑性統一本構方程的過程中，仍然采用B-P［9－10］模型，因此，任意一點的應變率變化都可以用彈性應變和非彈性應變之和來表示.彈性應變是可逆的，而非彈性應變是不可逆的.材料內部任意一點的應變率包括彈性應變率和非彈性應變率兩部分.其中，總應變率為，彈性應變率為，非彈性應變率為.在材料發生彈性變形的過程中，應變和應力符合Hook定律:

另外，在材料受載發生非彈性應變時，材料的應力應變關系不再符合虎克定律，此時非彈性應變率可以表示為:

在對金屬材料粘彈性研究的過程當中，不可逆熱力學為其提供了充分的理論依據，下面圍繞著不可逆熱力學知識來構造金屬材料的統一本構模型.在構造數學模型過程中主要分兩步:第一，確定模型中的內變量和外變量;第二，設定材料的Helmholtz自由能函數表達式.這兩點是構建統一本構模型的基礎.

對于金屬材料可以假設其單位質量的Helmholtz自由能函數［11］表達式為:

其中Vk為內變量，T為溫度系數.在等溫或者絕熱條件下Clausius-Duhem不等式為:

由于在等溫(˙T=0)或者絕熱(▽T=0)的條件下進行，即不考慮溫度對材料的影響，則Helmholtz自由能函數可簡化為:

式中σij為Cauchy應力張量，ρ為材料密度.將式(1)和(12)代入式(11)可得:由于與和之間是相互獨立的，因此，通過上述表達式可以進一步推導出以下本構方程:

則Clausius-Duhem不等式簡化為:

式中

其中Ak為熱力學力，與狀態變量Vk是相關聯的.

由Clausius-Duhem的簡化形式可以看出:在內變量發生變化時，自由能是耗散的，為了滿足式(11)，令勢函數為:

則Clausius-Duhem不等式變為:

在上述建立的勢函數中，只要勢函數是關于σij，Ak是凸函數，以及 ˙λ＞0，則上式成立.因此，可以得到以下本構方程、流動方程和內變量演化方程:

由于金屬材料的變形與靜水壓無關，而且它的非彈性變形過程中不會引起體積的變化，即不會發生體積膨脹等現象，因此，根據上述性質可以設定金屬材料變形的勢函數Φ和Helmholtz自由能函數ψ分別如下:

其中:

為材料常數，σij'為σij的偏量，Ωij'為Ωij的偏量.

根據Helmholtz自由能函數取Vk={αij，B}，可以得出如下本構方程和演化方程:

由方程(22)和(23)可得:

而由方程(27)、(28)(29)和(30)可得:

在上式中

Helmholtz自由能函數ψ可以分為2個部分，彈性ψe和非彈性ψi，因此，又可以描述為:

可以看出˙λ是關于應力σ、背應力Ω、拉應力Z的一個函數關系式.在以往的統一本構方程中，˙λ的數學表達式主要有以下3種形式［9］:冪函數(Axn)、指數函數(A(ex－1))、雙曲正弦函數(Asinh(xm)n)，由于金屬材料的變形過程中與靜水壓無關，所以，選取雙曲正弦函數形式構造關于自變量x的一般性表達式:

在經典塑形理論中，g(σij)－Z=0表示的是屈服面方程，文中選Mises為屈服條件，一般表達式為:

根據材料變形屈服面準則，則可以得出D-P模型的函數關系式為:

因而有:

對于金屬材料，引入損傷變量d，選擇雙曲正弦函數表達形式，˙λ具體表達式如下:

其中D0是與溫度T相關的函數:

式中

最后，由建立的勢函數表達式，分別對應力σij、背應力Ωij、拉應力Z進行求導并代入 ˙λ，就可以依次得到損傷狀態下的彈性應變率背應力Ωij、拉應力Z的關系式:

這樣基于不可逆熱力學構建出了粘塑性統一本構方程.

2 損傷模型的建立

金屬材料在加卸載的過程中材料內部都可能存在不同程度的損傷，從而影響材料的性能，因此，為了更好地描述材料性質，需要引入損傷度d這一變量.由Kachanov損傷理論可得有效應力、實際應力σ和損傷度d的關系式:

在上述建立的本構模型中，材料的損傷是等向的，并且可以用標量d來表示:

在此，dc和dt分別表示壓縮和拉伸時的損傷，而相應的αc和αt分別為其對應的參量［12］.

單軸拉伸，αc=0，單軸壓縮，αt=0，多軸載荷，αc+αt=1.將d帶入上面不可逆熱力學建立的統一本構模型中就可以得出材料的損傷統一本構模型.

3 數值模擬

將文中所建立的金屬材料模型利用數值方法，并結合所給定的參數:E=1.517×105，υ= 0.10，˙ε=8.3×10－5，計算相應的數值結果.反向加載、給定應變率、軟化、比例加載應力應變模擬曲線如圖1～圖4所示.

圖1 模型反向加載的應力應變模擬曲線Fig.1 Stress-strain curve of unified constitutive model in reverse loading

從圖1中可以看出:材料在加載的過程中，由于蠕變和運動硬化的存在，應力應變模擬曲線出現了尖點，這也就是平時所說的包辛格效應.文中所建立的模型將該效應所產生的曲線過方現象有所改善，在實驗曲線中可以看出卸載時的應力應變曲線圖的斜率在不斷地減小，進而可以得出在此循環加卸載的過程中，材料在不斷地損傷，更能體現材料的內部變化特性.

圖2 給定應變率下的應力應變模擬曲線Fig.2 Stress-strain curve of unified constitutive del in given loading

圖3 軟化應力應變曲線Fig.3 Stress-strain curve of unified constitutive model in softening

圖4 比例加載應力應變曲線Fig.4 Stress-strain curve of unified constitutive model in proportional loading

圖2顯示了在給定應變率下的應力應變曲線，反映了材料應變隨著應力變化時的特性.圖3給出了材料在軟化過程中應力應變關系曲線，圖4模擬出了比例加載過程中按照1∶1加載的相應應力應變曲線圖.圖3和圖4中可以看出:材料在加卸載過程中出現了跳躍現象，更能反映出材料在變形過程中的內部變化特征.

4 結論

在熱力學基礎上，以熱力學第二定律為準則的前提下構建了金屬材料的理論本構模型.應用熱力學勢函數和Helmholtz自由能函數，引進非彈性乘子以及損傷變量，建立了材料損傷狀態下的統一本構模型，并且根據材料的參數模擬出材料變化相對應的曲線，反映出材料內部結構的變化情況，提高了工作和計算效率.

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