一種低階大氣環流模型的全局指數吸引集估計

孔憲明，鞠培軍

(泰山學院數學與統計學院，山東泰安 271021)

1 引言

最近十多年來，混沌控制和同步得到廣泛而深入的研究［1－2］，其中許多結論的證明都用到了混沌系統最終有界的假設，因此，混沌系統的最終有界性證明非常重要.由于混沌系統的方程組是非線性的，進行純理論分析較困難.直到2002年，Tucker用計算機輔助方法嚴格論證了Lorenz吸引子存在性的信息［3］.俄羅斯學者Leonov針對Lorenz系統，得到系統全局吸引集的一個圓柱形估計式和一個球形估計式，這是典型混沌系統第一個全局最終有界的結果［4］.廖曉昕等通過構造廣義正定、徑向無界Lyapunov函數，給出了Lorenz系統全局指數吸引集的統一結果，囊括了目前一些類似結果為特例［5－7］.最近，我們針對廣義Lorenz系統，通過線性變換和構造Lyapunov函數，給出了系統全局指數吸引集估計的新方法，得到了最終有界的精確估計式.

文獻［8］提出了一個新的低階大氣環流模型

當a=1/4，b=10，G=2.1，F=7時，上述系統有一個混沌吸引子，如圖1所示.

文獻［8］討論了該系統吸引子的特征，并數值模擬了系統從分歧到混沌的過程.對于這種混沌模型吸引子的研究還沒看到.本文將研究這類大氣環流模型的吸引子存在性問題，給出一個全局指數吸引集的估計式，所得系統的有界性結果將為進一步研究奠定了很好的基礎.

2 問題描述

類似文獻［5－7］，我們稱

圖1 系統(1)的混沌吸引子

當t→+∞時，稱Ω={X|V(X)≤L}為式(1)的一個全局吸引集.若?X0∈Ω，?t＞t0，X(t，t0，X0)?Ω，則稱Ω為正向不變集.

若還存在r＞0，?X0∈3，當V(X0)＞L，且V(X(t))＞L時，存在指數估計式V(X(t))－L≤(V(X0)－L)e－r(t－t0)則稱Ω為式(1)的一個全局指數吸引集.

3 全局指數吸引集

為式(1)的廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數，其中X=(x，y，z).

定義1［5－7］若存在正數L＞0，則對于V(X0)＞L，且V(X(t))＞L，有

1=0，因此f1(x，y)在(x1，y1)達到全局極大值.

有

利用比較定理對式(2)兩邊進行積分有

從而當V(X(t))≥L1，V(X0)≥L1時，有全局指數估計式

有

故有

分別對式(3)、(5)兩邊取上極限，便有

即

推論1 當F=G=0時，系統(1)的平衡點(0，0，0)全局指數穩定.

推論2 對于控制系統

設計常數控制器:u1=－aF，u2=－G，則控制系統的平衡點(0，0，0)全局指數穩定的.

當a=1/4，b=10，G=2.1，F=7時，設計以上常數控制器，仿真如圖2所示.

圖2 控制系統(6)的常數控制仿真圖

4 結論

本文利用廣義Lyapunov函數方法估計了一種低階大氣環流模型最終有界的問題，給出了全局指數吸引集的估計式.混沌系統的最終有界性將為進一步研究控制和同步奠定基礎，本文所得結果具有一定的理論和實際意義.

［1］陳關榮，呂金虎.Lorenz系統族的動力學分析、控制與同步［M］.北京:科學出版社，2003.

［2］楊萬利，王鐵寧.非線性動力學理論及應用［M］.北京:國防工業出版社，2007.

［3］TuckeW.A rigorous ODE solver and Smale’s14 problem［J］.Found Comput Math，2002(2):53－117.

［4］Leonov G A.Bound for attractors and the existence of Hornoclinic orbits in the Lorenz system［J］.JApplMathmech，2001，65(1):19－32.

［5］廖曉昕.論Lorenz混沌系統全局吸引集和正向不變集的新結果及對混沌控制與同步的應用［J］.中國科學E輯:信息科學，2004，34(12):1404－1419.

［6］廖曉昕，羅海庚，傅予力，等.論Lorenz系統族的全局指數吸引集和正向不變集［J］.中國科學E輯:信息科學，2007，37(6):757－769.

［7］Liao X X，Fu Y，Xie S，Yu P.Globally exponentially attractive sets of family if Lorenz systems［J］.Science in China(Ser F)，Information Sciences，2008(51):283－292.

［8］Shilnikov A，Nicolis G，Nicolis C.Bifurcation and predictability analysis of a low order atmospheric circulation model［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1995(5):1701–1711.