Sylvester型泛函的極值問題

王廣廷

(上海大學理學院，上海200444)

設κn表示n維歐氏空間Rn中凸體的集合.對于K∈κn，泛函

表示隨機單形的體積的平均期望，其中V(K)表示K的體積，［x0，x1，…，xn］表示x0，x1，…，xn的凸包的體積.Sylvester問題是：尋找使得S(K，n)取得最大值和最小值的凸體.Blaschke［1］解決了當n=2時的情況，即橢圓是S(K，2)取得最小值的唯一凸體，三角形是S(K，2)取得最大值的唯一凸體.當n＞2時，Groemer［2］證明了橢球是使S(K，n)取得最小值的唯一凸體.尋找使得S(K，n)取得最大值的凸體，至今仍是一個公開問題.數學家們猜想，單形是S(K，n)取得最大值的唯一凸體.

Groemer給出了Sylvester泛函的一個自然的推廣，他考慮了如下形式的泛函：

Groemer［3］證明了當 m≥n及 p≥1時，橢球是使S(K;m，p)取得最小值的唯一凸體.當p＞0及m=n時，Sch?pf［4］得到了相同的結果.當n=2時，Dalla等［5］證明了三角形可使 S(K;m，1)取得最大值.Giannopoulos［6］證明了三角形是使S(K;m，1)取得最大值的唯一凸體.

對于K∈κn，支撐函數hK由下式定義：

式中，〈·〉表示標準內積.

設凸函數φ：R→［0，∞)，使得φ(0)=0，則φ在(-∞，0］內遞減，在［0，∞)內遞增.設函數φ或者在(-∞，0］內嚴格遞減，或者在［0，∞)內嚴格遞增，用C表示這一族函數.

假定K為Rn中包含原點為其內點的凸體，凸體K的Orlicz質心體Γφ(K)［7］為Rn中的一個凸體，其支撐函數由下式定義：

本工作將研究如下泛函：

并應用影子系統［8-9］證明主要定理.給定一個方向v和任意一個指標集I，使得對每個i∈I，ai為Rn中有界子集A中的一個點.沿著方向v的一個影子系統為Rn中的一族凸體Kt，其定義為

式中，α為定義在I上的有界實值函數，t為時間參數，t∈［t1，t2］，α(i)為點ai沿v方向的速度函數.

影子系統可以看作是一個給定集合的連續變換過程.一個特殊的影子系統是凸體的Steiner對稱.此時，速度函數α：K→R在每一個平行于方向v的弦上是常數，在每個時間t，這些弦的并就是Kt，具有這種性質的影子系統稱為平行弦運動.平行弦運動保持體積不變.如果平行弦運動的速度函數α：K→R是一個仿射函數，即α(x)=〈x，u〉+c，其中u∈v⊥，c∈R，那么對每個t，Kt為K的一個仿射象.

1 A(K)的極值

Rogers等［8］證明了如下引理.

引理1 一個影子系統的體積V(Kt)是t的凸函數.

Li等［10］證明了如下定理，它在研究泛函A(K)的極值問題中起到重要作用.

引理2 如果{Kt：t∈［0，1］}是沿著方向v的平行弦運動，則Γφ(Kt)是沿著方向v的影子系統，并且V(Γφ(Kt))是關于t的嚴格凸函數，除非速度函數α(x)=〈x，u〉.

由式(3)和(4)容易得到如下的引理3.

引理3 A(K)在Hausdorff度量下關于K連續.

引理4 A(K)是仿射不變的.

證明 設T∈GL(n)為一個線性映射，由式(3)可得

式中，TT為T的轉置矩陣.另一方面由支撐函數的定義，有

因此，Γφ(TK)=TΓφ(K).所以

又因為A(K)是平移不變的，因此，A(K)是仿射不變的.

定理1 如果Kt：t∈［0，1］是一個平行弦運動，則A(Kt)是t的凸函數，并且A(Kt)是嚴格凸的，除非速度函數是一個仿射函數.

證明 設平行弦運動的速度函數為α，運動方向為v，則

設

則

式中，s(t，x)1取值于 L1(K0).對每個 x∈K0，{Kt-x-α(x)tv：t∈［0，1］}為具有速度函數α(·)-α(x)的平行弦運動，因此，由引理2知，s(t，x)為關于t的凸函數.

由L1范數的Minkowski不等式，有引理2表明，上述第一個不等式當且僅當α為一個仿射函數時取得，此時的α(z)-α(x)=〈z-x，u〉，其中u∈v⊥.這時，s(t，x)為關于t的常值函數，上式等號處處成立.

定理2 在所有的凸體中，A(K)取得最小值，當且僅當K是一個橢球.

證明 固定一個方向v，設K∈κn為一個凸體.用K|v⊥表示K在v⊥上的正交投影，則K可以表示為

式中，fv，-gv為定義在v⊥上的凸函數.

凸體K關于v⊥的Steiner對稱可以用平行弦運動描述如下：在式(5)中，取α(x)=-(fv(x|v⊥)+ gv(x|v⊥))，t∈［0，1］;當t=0時，Kt=K;當t=1時，Kt=Kv，其中Kv為K關于v⊥的反射;當t=時，Kt為K關于v⊥的Steiner對稱.

A(K)在K和Kv取得相同的值.由定理1知，在A(K)從K變為K的Steiner對稱的過程中是不增的，并且A(K)是嚴格遞減的，除非平行弦運動的速度函數是一個仿射函數，即K的平行與v方向的弦的中點位于一個超平面上.Petty［11］證明了橢球是具有這種性質的唯一凸體.

注意到A(K)是定義在緊集上的連續函數，A(K)的最小值存在.由 A(K)的仿射不變性知，A(K)在橢球上取常數值.

如下的定理3給出了A(K)在n=2時的最大值.

定理3 當n=2時，在所有凸體中，A(K)取得最大值當且僅當K是一個三角形.

證明 由A(K)的連續性，只需證明在所有的多邊形中，三角形使A(K)取得最大值.設P為一個具有n≥3個頂點的多邊形，v1，v2，v3為P的3個連續的頂點，u為平行于v1和v3連線的方向，{Pt：t∈［t0，t1］}，t0＜0＜t1為沿著u方向的影子系統，并且Pt在v2的速度為1，在其余頂點的速度為0.如果t和t1充分接近0，則多邊形P中除三角形v1v2v3外，其余均保持不動.設［t0，t1］是使Pt，t∈［t0，t1］的面積保持不變的最大區間.因此，{Pt：t∈［t0，t1］}是平行弦運動的，且Pt0和Pt1有n-1個頂點.由定理1知，

由于平行弦運動的速度函數不是仿射函數，因此，上述不等式中的不等號是嚴格成立的.當n＞4時，重復上述過程可得，三角形使得A(K)取得最大值.

用類似于定理3的方法，有如下的定理4.

定理4 當n=2時，在所有中心對稱的凸體中，A(K)取得最大值當且僅當 K是一個平行四邊形.

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