基于最小耗能原理的塑性應變流動法則

王 紅， 袁 鴻， 夏曉舟， 章 青

(1.暨南大學應用力學研究所重大工程災害與控制教育部重點實驗室，廣州510632;

2.廣東工業大學土木與交通工程學院，廣州510006;3.河海大學工程力學系，南京210098)

目前，不可逆內變量的演化規律一般都是借助類似于經典塑性勢理論的方法來進行探討［1-2］.也就是說，必然存在一個與不可逆內變量相關的勢函數面，不可逆內變量應該沿著勢函數面的梯度方向流動，大小可由一致性方程確定.但是，該勢函數是否存在，即便存在，應該是什么形式，這些在理論上還無法確切獲知［3-6］.Valanis［7］引入內蘊時間來表示這個變形和溫度歷史.Bazant等［8］將內蘊時間理論引入混凝土研究中，對混凝土的材料特性進行了模擬［8］.此外，研究者們還開展了大量基于能量耗散的材料性質的研究［9-14］.這些都為混凝土本構關系的研究指出了新方法和新思路.但是這些方法還存在著諸如對隱含條件考慮不足、參數較多、經驗性強且部分參數物理意義不明確等缺點.顯然，基于傳統塑性勢理論推導的流動方程并不令人信服：一方面，勢函數面與加載路徑無關，塑性勢函數面是否像彈性勢面一樣存在令人懷疑;另一方面，勢函數形式的選擇具有隨意性，難以測定剪脹角，使得非關聯流動法則模型沒有一個堅實的理論基礎.為了避免理論上的不足，有必要研究一個具有堅實理論基礎的新的塑性應變流動法則.本研究試圖基于一個普適的原理——最小耗能原理［15-16］來建立一個全新的塑性應變流動法則，并以Drucker-Prager屈服準則為例，推導出塑性應變的流動方程.在新的塑性應變流動法則下，本研究將討論準脆性材料(如土壤)剪脹性的內在機理，期望能得到一個合理的解釋.最后，利用虛功原理，在最小耗能原理的框架下，本研究推導出新的流動法則下的有限元增量迭代格式.

1 基于最小耗能原理的塑性應變流動法則的一般表達式

最小耗能原理的理論基礎是非平衡態熱力學下的最小熵產生原理.周筑寶等［16］提出了一種新的最小耗能原理，可適用于遠離平衡態的非線性熱力學過程的任何瞬時情況.該最小耗能原理可描述為：在遠離平衡態的非線性熱力學系統中發生的任何耗能過程，都將在與其相應的約束條件下，以最小耗能的方式進行.該原理可廣泛地用于研究各個學科領域中的自由能耗散問題.

假定在整個系統中只有塑性變形消耗能量，則能量耗散率為

式中，ρ表示密度，φ為單位質量的耗能率，σ為應力張量，εP為塑性應變張量.總耗能率Ψ為

能量耗散過程只有在滿足屈服準則之后才有可能發生.假設有m個屈服面，約束條件(即屈服準則)為

根據周筑寶提出的最小耗能原理，即總耗能率在約束條件下取駐值，因此，式(2)應在滿足式(3)的約束條件下取駐值.于是式(1)在引入Lagrange乘子dλi(i=1，2，…，m)后，有

將式(4)的最后兩項移到右邊，可以得到其分量形式為

即塑性應變的流動法則.與經典塑性應變流動法則相比，該流動法則中的塑性應變增量還包括一項交叉耦合項，即考慮了當前塑性矩陣的變化對塑性應變的貢獻.更重要的是，新的流動法則不需要構建一個額外的勢函數面，因此，所導出的基于最小耗能原理下的塑性應變流動法則具有良好的理論基礎.新的流動法則體現了非關聯的流動特征，當交叉耦合項為0時，該法則也可退化為關聯流動法則.

2 含有交叉耦合項的新流動法則下的本構關系

假設硬化參數κ為塑性功的函數(這里直接取為塑性功)，于是有dκ=σTdεP.將式(5)代入式(6)，有

可以推得

整理得

由Hooke定律，應力增量可推導如下：

這樣就得到了含交叉耦合項流動法則下的本構關系：

與傳統塑性理論相比，基于最小能量耗散原理下導出的新的本構關系考慮了塑性矩陣增量的變化.

3 新流動法則下的有限元增量迭代格式

由式(11)的線性化可得

將式(14)代入式(12)，可得

將各單元內任意一點的位移增量表示成節點位移的插值形式，即

則根據幾何關系，可得到應變增量為

結合虛位移的任意性，將τ取為上一迭代步的時刻t，通過區域離散化，可將式(15)改為

4 新流動法則下變形和破壞過程模擬的有效性驗證

為了驗證最小耗能原理下建立的新流動法則的有效性，本研究試圖通過一土試樣的數值實驗來進行驗證.該土試樣尺寸為40 mm×80 mm，材料參數為E=5.0E+7 Pa，ν=0.3，黏聚系數為c=2.0E+ 4 Pa，摩擦角為φ=15°，剪脹角為φ'=15°.軸向壓縮實驗采用Legendre正交多項式對應力-應變數據作曲線擬合［17］，結果如圖1所示.為了與實驗加載過程相符，在試樣頂部增加一層剛性單元，荷載施加到剛性單元上，相當于位移加載模式.計算后，有效塑性應變的演化過程如圖2所示.可以看出，有效塑性應變并非如關聯和非關聯流動法則模擬的那樣均勻發展(見圖3).對兩類不同黏聚程度的土樣進行軸向壓縮實驗，結果如圖4所示.可見，隨著荷載增大，由于邊界約束的原因，土試樣在中央部位出現凸肚現象.所不同的是，粘性土樣相對于粘性弱的土樣，凸肚效果明顯，即剪脹效應強.

圖1 土樣單軸受壓的應力-應變關系曲線Fig.1 Uniaxial stress-strain relationship curve for soil sample

新流動法則中的交叉耦合項是材料屈服之后的遲滯效應對流動方向的影響，即粘性阻尼對塑性變形的影響，因此，模擬出的塑性應變呈現非均勻發展的態勢，驗證了實驗現象，表明當前塑性矩陣的變化對塑性應變具有很大的影響.而新流動法則中關于當前應力和塑性柔度增量矩陣的交叉耦合項恰恰體現了這一點，可以很好地解釋應變局部化的機制.另外，σ1-σ3與軸向應變εa之間關系的趨勢(見圖5)也與實驗結果(見圖6)［18］基本吻合.因此，基于最小耗能原理所推導的含有交叉耦合項的塑性應變流動法則不僅具有堅實的理論基礎，而且也通過實驗證明了其合理性和可靠性.

圖2 有效塑性應變的演化Fig.2 Evolvement of the effective plastic strain

圖3 關聯和非關聯流動法則模型下的塑性應變Fig.3 Effective plastic strain modeled by associated and non-associated flowing rules

5 新流動法則在土質邊坡中的應用

一土質邊坡，底寬為40 m，頂寬為30 m，高為10 m，其彈性模量為E=5.0E+7 Pa，ν=0.3，黏聚系數為c=5.0E+4 Pa，摩擦角為φ=15°，剪脹角為φ'=15°，網格剖分如圖7所示.為了方便壓力荷載的施加，在土質邊坡的右頂部布置一層剛性單元，并對剛性單元層施加偏心壓力.分別采用關聯流動法則、非關聯流動法則和基于最小耗能原理的含交叉耦合項的流動法則對模型土質邊坡的變形和破壞過程進行了模擬，模擬結果分別如圖8～圖10所示.可以看出，采用關聯流動法則所得到的結果幾乎沒有出現剪脹效應，而采用非關聯流動法則和含交叉耦合項的流動法則的模型，出現了非常明顯的剪脹效應，這與實際情況較為吻合.模擬過程和結果表明，與非關聯流動法則相比，基于最小耗能原理導出的含交叉耦合項的流動法則模型不僅體現了剪脹效應，而且具有堅實的理論基礎和高效率的計算(因為剛度矩陣是對稱的).

圖4 圍壓和軸向壓力同時作用下土樣的變形和破壞形式Fig.4 Deformation and fracture form with surrounding and axial press for soil samples

圖5 新流動法則下的σ1－σ3與軸向應變εa之間關系曲線Fig.5 Curve of the relationship(σ1－σ3)～εafor the new flowing rule

圖6 實驗得到的σ1－σ3與軸向應變εa之間關系曲線Fig.6 Curves of the relationship(σ1－σ3)～εafor the experiment

圖7 土試樣的有限元網格剖分Fig.7 Finite element meshes for soil slope

圖8 關聯流動法則下的有效塑性應變Fig.8 Effective plastic strain with associated flowing rule

圖9 非關聯流動法則下的有效塑性應變Fig.9 Effective plastic strain with non-associated flowing rule

圖10 含交叉耦合項的流動法則下的有效塑性應變Fig.10 Effective plastic strain with cross couple item

6 結束語

基于周筑寶等提出的最小耗能原理，本研究推導了含有交叉耦合項的塑性應變流動法則的一般表達式.由于交叉耦合項的出現，塑性應變并不總是沿著屈服面的法向方向流動，很好地揭示了準脆性材料(如混凝土、巖石以及粘土)剪脹效應的內在機理，同時推導了該流動法則下的彈塑性本構的有限元增量迭代格式.相對于非關聯流動法則下彈塑性本構方程的剛度矩陣是非對稱的，新的流動法則下的剛度矩陣是對稱的，因此，大大提高了計算效率.不僅如此，由于本研究是基于一個普適的原理——最小耗能原理，因此，與非關聯流動法則相比，所推導的含有交叉耦合項的塑性應變流動法則具有更堅實的理論基礎.為了進一步驗證該流動法則的有效性，本研究對一土試樣在圍壓和軸壓作用下的變形和破壞過程進行了追蹤模擬.與實驗現象相比，模擬的變形和破壞模式都與實驗結果相接近.最后，采用基于最小耗能原理下含有交叉耦合項的流動法則模型，模擬了土質邊坡的變形破壞過程.結果顯示，破壞形式符合實際情況，即表現出了明顯的剪脹性特點.這表明，基于含交叉耦合項的流動法則的數值模擬不僅能體現剪脹效應，而且具有堅實的理論基礎和高效率的計算，展現了廣闊的應用前景.

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